(共22张PPT)
提纲挈领复习知识
总结归纳专题突破评估验收(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法正确的是( )
A．棱柱的侧面都是长方形
B．棱柱的所有面都是四边形
C．棱柱的侧棱不一定相等
D．一个棱柱至少有五个面
解析：由棱柱的定义及性质，A，B，C不正确．三棱柱的面最少，两个底面和三个侧面，D正确．
答案：D
2．若一个圆柱的轴截面是面积为8的正方形，则这个圆柱的侧面积为( )
A．4π
B．8π
C．4π
D．12π
解析：设轴截面的边长为a，则a2＝8，
所以a＝2.
所以圆柱的底面半径R＝，母线长l＝2，
因此S圆柱侧＝2πR·l＝8π.
答案：B
3．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为10，则h为( )
A.
B.
C．3
D．5
解析：由三视图可知，该几何体是四棱锥，其底面是长为6、宽为5的矩形，高为h，所以V＝×6×5×h＝10，解得h＝.
答案：B
4．如图，Rt△O′A′B′是一平面图的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是( )
A.
B．1
C.
D．2
解析：因为Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，
斜边O′B′＝2，
所以直角三角形的直角边长是，
所以直角三角形的面积是××＝1，
所以原平面图形的面积是1×2＝2.
答案：D
5．已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为( )
A.π
B.π
C.π
D.π
解：设圆锥的底面半径为r，母线长为R，如图所示，
则2πr＝πR，
因为r＝1，所以R＝2，所以圆锥的高h＝＝，
所以圆锥的体积V＝π×12×＝π.
答案：A
6．若长方体相邻三个面的面积分别为，，，则长方体的体积等于( )
A.
B．6
C．6
D．36
解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，
则不妨设ab＝，ac＝，bc＝.
所以a2b2c2＝××＝6.
故长方体的体积V＝abc＝.
答案：A
7．若在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )
A.
B.
C.
D.
解析：易知V＝1－8×××××＝.
答案：C
8．过球的一条半径的中点作垂直于该半径的平面，则所得截面圆的面积与球的表面积的比值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：设球的半径为R，截面圆的半径为r，
则＋r2＝R2，所以r2＝R2.
故＝＝×＝.
答案：A
9．一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与轴所成的角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
解析：设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，
则由题意得πrl＝2πr2，所以l＝2r，
所以圆锥的母线与轴所成的角为30°.
答案：A
10．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是( )
A．24
cm3
B．40
cm3
C．36
cm3
D．48
cm3
解析：由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱截去两个全等的与三棱柱等底面且高为2的三棱锥形成的，故该几何体的体积V＝×4×3×8－2×××4×3×2＝40(cm3)．
答案：B
11．(2017·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )
A．3
B．2
C．2
D．2
解析：在正方体中还原该四棱锥，如图所示，
可知SD为该四棱锥的最长棱．
由三视图可知正方体的棱长为2，
故SD＝＝2.
答案：B
12．如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为等腰直角三角形，且此三角形内接于圆柱的底面圆．如果圆柱的体积是V，那么三棱柱的体积是( )
A.
B.
C.
D.
解析：设圆柱的底面圆半径为R，高为h，
在等腰Rt△A1B1C1中，A1B1＝2R.
所以S△A1B1C1＝(R)2＝R2，
又S圆＝πR2，h＝，
所以V三棱柱＝h·S△A1B1C1＝hR2＝.
答案：C
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1?EDF的体积为________．
解析：SΔDD1E＝×1×1＝，又点F到平面DD1E的距离为1，所以VD1?EDF＝VF?DD1E＝SΔDD1E×1＝.
答案：
14.一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是________．
解析：设圆柱桶的底面半径为R，
油桶高为h，油桶直立时油面的高度为x，
由题意知，油部分所在圆弧对应的扇形的圆心角为90°，
则h＝πR2x，所以＝－.
答案：－
15．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为12
cm、深2
cm的空穴，则该球的半径是________
cm，表面积是________
cm2.
解析：设球的半径为R
cm，由条件，知R2＝62＋(R－2)2，
解得R＝10，S表＝4πR2＝400π(cm2)．
答案：10 400π
16．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是π，则这个三棱柱的体积是________．
解析：设球的半径为r，则πr3＝，
得r＝2，柱体的高为2r＝4.
又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，
所以底面正三角形的边长为4，
所以正三棱柱的体积V＝×(4)2×4＝48.
答案：48
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．
解：因为V半球＝×πR3＝××π×43≈134(cm3)，
V圆锥＝πr2h＝π×42×12≈201(cm3)，
因为134＜201，所以V半球＜V圆锥，
所以冰淇淋融化了，不会溢出杯子．
18．(本小题满分12分)如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．
(1)求三棱锥A′-BC′D的表面积与正方体的表面积的比值；
(2)求三棱锥A′-BC′D的体积．
解：(1)在正方体ABCD-A′B′C′D′中，六表面皆是正方形，
所以A′C′＝A′B＝A′D＝BD＝C′D＝a.
则S三棱锥A′-BC′D＝4××a×a＝2a2，
又S正方体＝6a2，
因此S三棱锥A′-BCD∶S正方体＝∶3.
(2)易知三棱锥A′-ABD，C-′BCD，D-A′D′C′，B-A′B′C′的体积相等．
所以V三棱锥A′-BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′-ABD＝a3－4××a2·a＝a3.
19．(本小题满分12分)已知圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径及两底面面积之和．
解：如图所示，设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，且∠ASO＝30°，
在Rt△SO′A′中，＝sin
30°，
所以SA′＝2r.
在Rt△SOA中，＝sin
30°，
所以SA＝4r.
因为SA－SA′＝AA′，即4r－2r＝2a，
所以r＝a.
所以S＝S1＋S2＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2.
所以圆台上底面半径为a，下底面半径为2a，两底面面积之和为5πa2.
20．(本小题满分12分)在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．
解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S，则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝＝2.
如图所示，易知△AEB∽△AOC，
所以＝，即＝，
所以r＝1，
S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2π.
所以S＝S底＋S侧＝2π＋2π＝(2＋2)π.
21．(本小题满分12分)已知一个几何体的三视图如图所示．
(1)求此几何体的表面积S；
(2)已知点P，Q在正视图中的位置(P为所在线段的中点，Q为所在线段的端点)，求在几何体的侧面上，从点P到点Q的最短路径的长．
解：(1)由三视图知，该几何体是由一个圆锥和一个圆柱组成的，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面面积之和．
又S圆锥侧＝π×a×a＝πa2，S圆柱侧＝2πa×2a＝4πa2，
S圆柱底＝πa2，
所以S＝πa2＋4πa2＋πa2＝(＋5)πa2.
(2)沿点P与点Q所在的母线剪开圆柱侧面，如图．
则PQ＝＝＝a.
所以在几何体的侧面上，从点P到点Q的最短路径的长为a.
22．(本小题满分12分)一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：
(1)试画出它的直观图；
(2)求它的表面积和体积．
解：(1)直观图如图所示．
(2)易知该几何体是由长方体被截去一个三棱柱得到的，且该几何体的体积是以A1B1、A1D、AA1的长为长、宽、高的长方体体积的.
如图，在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于点E，
因为AA1＝AB＝1
m，所以四边形AA1EB是正方形，
所以AA1＝BE＝1
m.
在Rt△BEB1中，BE＝1
m，
EB1＝1
m，
则BB1＝
m.
因此几何体的表面积S＝S正方形AA1D1D＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形ABCD＋S矩形A1B1C1D1＝1×1＋2××(1＋2)×1＋1×＋1×1＋1×2＝(7＋)m2.
几何体的体积V＝×1×2×1＝
m3.
故几何体的表面积为(7＋)m2，体积为
m3.
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