(共25张PPT)
预习导学思维启动
核心突破讲练互动
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结(共30张PPT)
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"课后作业+.tif"
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MERGEFORMAT
A级 基础巩固
一、选择题
1．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：设两球的半径分别为R，r(R＞r)，则由题意得解得故R－r＝1.
答案：A
2．(2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( )
A．8π
B．4π
C．2π
D.π
答案：D
3．如图所示，是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A．9π＋42
B．36π＋18
C.π＋12
D.π＋18
解析：由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V＝π＋3×3×2＝π＋18.
答案：D
4．等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是( )
A．S正方体>S球
B．S正方体C．S正方体＝S球
D．无法确定
解析：设正方体的棱长为a，球的半径为R，
由题意，得V＝πR3＝a3，所以a＝，R＝，
所以S正方体＝6a2＝6＝，
S球＝4πR2＝＜＝S正方体．
答案：A
5．球的表面积S1与它的内接正方体的表面积S2的比值是( )
A. B. C. D．π
解析：设球的内接正方体的棱长为a，球的半径为R，则3a2＝4R2，所以a2＝R2，球的表面积S1＝4πR2，正方体的表面积S2＝6a2＝6×R2＝8R2，所以＝.
答案：C
二、填空题
6．(2017·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．
解析：设正方体的棱长为a，则6a2＝18，所以a＝.
设球的半径为R，则由题意知2R＝＝3，
所以R＝.
故球的体积V＝πR3＝π×＝π.
答案：π
7．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积S＝________．
解析：由三视图可知此几何体的上半部分为半个球，下半部分是一个长方体，故其表面积S＝4π×＋4×2×3＋2×2＋2×2－π＝32＋π.
答案：32＋π
8.(2017·江苏卷)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．
解析：设球O的半径为R，
因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，
所以圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.
所以＝＝.
答案：
三、解答题
9.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
解：组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.
因为圆柱的体积V圆柱＝πr2l＝π×12×3＝3π，
又两个半球的体积2V半球＝πr3＝π，
因此组合体的体积V＝3π＋π＝π.
10．盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5
cm，两个直径为5
cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？
解：设取出小球后，容器中水面下降h
cm，两个小球的体积为V球＝2＝(cm3)，
此体积即等于它们在容器中排开水的体积V＝π×52×h，
所以＝π×52×h，
所以h＝，即若取出这两个小球，则水面将下降
cm.
B级 能力提升
1．已知三棱锥DABC中，AD＝2，AC＝，BC⊥BD，AD⊥AC，则三棱锥的外接球的表面积为( )
A．6π
B．24π
C.π
D．8π
解析：设DC的中点为O，如图．
因为DA⊥AC，所以CD的中点O为△ADC外接圆圆心．
又因为DB⊥BC，所以CD的中点O为△BDC外接圆圆心．
所以O点到点A、B、C、D的距离相等，
所以O为三棱锥外接球的球心．
又因为AD＝2，AC＝，所以CD＝，
所以三棱锥外接球的半径R＝，
所以三棱锥外接球的表面积为4π＝6π.
答案：A
2．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为________．
解析：设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，则R2＝d2＋r2＝3，
所以R＝，
因此V球＝πR3＝4π.
答案：4π
3．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形的圆柱)的表面积分别是S1，S2，S3，试比较它们的大小．
解：设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，
则S1＝6a2，S2＝4πR2，S3＝6πr2.
由题意知πR3＝a3＝πr2·2r，
所以R＝a，r＝a，
所以S2＝4π＝4π·a2＝a2，
S3＝6π＝6π·a2＝a2，
所以S2＜S3.
又6a2＞3a2＝a2，即S1＞S3.
所以S1，S2，S3的大小关系是S2＜S3＜S1.
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MERGEFORMAT
A级 基础巩固
一、选择题
1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )
A．π
B．2π
C．4π
D．8π
解析：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π，所以r＝1.所以V圆柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π.
答案：B
2．已知圆锥的表面积等于12π
cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
A．1
cm
B．2
cm
C．3
cm
D.
cm
解析：S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，
所以r2＝4，所以r＝2.
答案：B
3.如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1?ACD的体积是( )
A.
B.
C.
D．1
解析：三棱锥D1?ACD的体积V＝S△ACD×D1D＝××AD×DC×D1D＝.
答案：A
4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )
A．14斛
B．22斛
C．36斛
D．66斛
解析：由l＝×2πr＝8得圆锥底面的半径r＝≈，所以米堆的体积V＝×πr2h＝××5＝(立方尺)，所以堆放的米有÷1.62≈22(斛)．
答案：B
5．(2018·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：由三视图可知此几何体是底面为梯形的直四棱柱，S底面＝×(1＋2)×2＝3(cm2)，h＝2
cm，
所以V柱＝S底面h＝6
cm3.
答案：C
二、填空题
6．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．
解析：圆锥的母线长l＝2，设圆锥的底面半径为r，
则2πr＝×2π×2，所以r＝1，
所以圆锥的高h＝＝，
则圆锥的体积V＝πr2h＝π.
答案：π
7.如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为________．
解析：由题意知，所打圆柱形孔穿透正方体，因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积，再加上一个圆柱的侧面积，同时减去两个圆的面积，即S＝6×42＋4×2π－2π×12＝96＋6π.
答案：96＋6π
8．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD?A1B1C1D1挖去四棱锥O?EFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6
cm，AA1＝4
cm，3D打印所用原料密度为0.9
g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.
答案：118.8
三、解答题
9．已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为2π和4π的矩形，求这个圆柱的体积．
解：设圆柱的底面半径为R，高为h，
当圆柱的底面周长为2π时，h＝4π，
由2πR＝2π，得R＝1，
所以V圆柱＝πR2h＝4π2.
当圆柱的底面周长为4π时，h＝2π，
由2πR＝4π，得R＝2，
所以V圆柱＝πR2h＝4π·2π＝8π2.
所以圆柱的体积为4π2或8π2.
10．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．
解：由三视图知直观图如图所示，则高AA′＝2
cm，底面高B′D′＝2
cm，所以底面边长A′B′＝2×＝4(cm)．
一个底面的面积为×2×4＝4(cm2)．
所以表面积S＝2×4＋4×2×3＝24＋8(cm2)，
V＝4×2＝8(cm3)．
所以表面积为(24＋8)
cm2，体积为8
cm3.
B级 能力提升
1．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．
解析：设新的底面半径为r，则有×πr2×4＋πr2×8＝×π×52×4＋π×22×8，解得r＝.
答案：
2．某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．
解析：由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体，将四棱柱还原到长方体中，如图所示，该几何体为四棱柱ABCD-A′B′C′D′.
故该四棱柱的体积V＝Sh＝×(1＋2)×1×1＝.
答案：
3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，求该几何体的体积．
解：由三视图知，该几何体是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体．
V四棱柱＝23＝8，V四棱锥＝×22×2＝.
故几何体的体积V＝V四棱柱＋V四棱锥＝8＋
＝(cm3)．
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