2020_2021学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.2立体图形的直观图学案含解析新人教A版必修第二册

8．2　立体图形的直观图
[目标]
1.掌握斜二测画法的步骤；2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．
[重点]
用斜二测画法画简单的平面图形与几何体的直观图．
[难点]
用斜二测画法画简单的平面图形与几何体的直观图．
要点整合夯基础
1．画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
2．画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
3．取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半．
[答一答]
1．斜二测画法中“斜”和“二测”分别指什么？
提示：“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．
2．相等的角或线段在直观图中仍然相等吗？
提示：不一定相等，如正方形的边长和内角分别相等，但是它的直观图是平行四边形，相邻两边边长不相等，相邻两内角也不相等．
知识点二　　空间几何体直观图的画法
[填一填]
1．画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴．
2．画平面：平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示竖直平面．
3．取长度：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
4．成图处理：成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
[答一答]
3．画直观图时，如何区别实线和虚线？
提示：直观图是一个平面图形，我们用它表示空间图形，为了增强空间感，画图要分实线和虚线，其中被面挡住的部分要画成虚线．看得见的部分要画成实线．
4．空间几何体的直观图唯一吗？
提示：不唯一．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不一定相同.
典例讲练破题型
类型一　水平放置的平面图形直观图的画法
[例1]　如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4
cm，CD＝2
cm，∠DAB＝30°，AD＝3
cm，试画出它的直观图．
[分析]　以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系．只需确定四个顶点A，B，C，D在直观图中的相应点即可．
[解]　画法步骤：
(1)如图甲所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图乙所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在图甲中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.在x′轴上取A′B′＝AB＝4
cm，A′E′＝AE＝≈2.598(cm)；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED＝×＝0.75(cm)，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2
cm.
(3)连接A′D′，B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图丙所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．
在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的平面直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点在直观图中仍是共线点；原图中的共点线，在直观图中仍是共点线；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线.本题中，关键在于点D′的位置的确定，这里我们采用作垂线的方法，先找到垂足E的对应点E′，再去确定D′的位置.
[变式训练1]　画边长为1
cm的正三角形的水平放置的直观图．
解：(1)如图①所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．
(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5
cm，在y′轴上截取O′A′＝AO＝
cm，连接A′B′、A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．
(3)擦去x′、y′轴得直观图△A′B′C′，如图③所示．
类型二　画空间几何体的直观图
[例2]　用斜二测画法画长、宽、高分别是4
cm、3
cm、2
cm的长方体ABCD?A′B′C′D′的直观图．
[分析]　利用画轴、画底面、画侧棱、成图进行作图．
[解]　(1)画轴．如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN＝4
cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝
cm，分别过点M和点N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱．过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2
cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.
(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图②)．
　
(1)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，然后画出竖轴．此外，坐标系的建立要充分利用图形的对称性，以便方便、准确的确定顶点；
(2)对于一些常见几何体(如柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以又快又准的画出．
[变式训练2]　一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3
cm，高为4
cm，圆锥的高为3
cm，画出此几何体的直观图．
解：(1)画轴，如图1所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画圆柱的两底面，在x轴上取A、B两点，使AB的长度等于3
cm，且OA＝OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A、B两点，使它为圆柱的下底面．在Oz上截取点O′，使OO′＝4
cm，过O′作Ox，Oy的平行线O′x′，O′y′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．
(3)画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于圆锥的高3
cm.
(4)成图．连接A′A、B′B、PA′、PB′，擦掉辅助线，将其被遮挡的线改为虚线，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．
类型三
由直观图还原成原图
[例3]　如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.求原四边形ABCD的面积．
[分析]　利用斜二测画法的法则得到原图和直观图的关系．
[解]　如图，建立平面直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.
在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，即得到了原图形(如图)．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.
所以面积为S＝×2＝5.
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.
[变式训练3]　如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，其中O′A′＝6
cm，O′C′＝2
cm，则原图形是(　C　)
A．正方形　　B．矩形　　　C．菱形　　　D．梯形
解析：将直观图还原得到平行四边形OABC，如图所示，由题意知O′D′＝O′C′＝2
cm，OD＝2O′D′＝4
cm，C′D′＝O′C′＝2
cm，∴CD＝2
cm，OC＝＝6
cm，又OA＝O′A′＝6
cm，∴OA＝OC，∴原图形为菱形.
课堂达标练经典
1．利用斜二测画法画边长为3
cm的正方形的直观图，正确的是图中的(　C　)
解析：选项A是平面图，选项B中角度有误，选项D中的边长有误．
2．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20
m、5
m、10
m，四棱锥的高为8
m，若按1?500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高分别为(　C　)
A．4
cm,1
cm,2
cm,1.6
cm
B．4
cm,0.5
cm,2
cm,0.8
cm
C．4
cm,0.5
cm,
2
cm,1.6
cm
D．2
cm,0.5
cm,1
cm,
0.8
cm
解析：由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4
cm，1
cm，2
cm和1.6
cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4
cm,
0.5
cm,2
cm,1.6
cm.
3.水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为2.5.
解析：由于在直观图中∠A′C′B′＝45°，则在原图形中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AB边上的中线为2.5.
4．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是AC.
解析：画出原图形如图所示，△ABC为直角三角形，显然，AC边最长．
5．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．
解：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，在直观图中，O′D′＝OD，梯形的高D′E′＝，于是梯形A′B′C′D′的面积为×(1＋2)×＝.
——本课须掌握的两大问题
1．画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，确定这类顶点一般过此点作与轴平行的直线，将此点转到与轴平行的线段上来．
2．要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中建立平面直角坐标系，尽量利用原有线段或图形的对称轴画坐标轴，图形的对称中心作为坐标原点，让尽可能多的顶点在坐标轴上．
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关于直观图面积的一个结论
开讲啦
若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积为S′＝S.由于其他多边形均可以划分为若干个三角形，故上述结论对其他多边形也成立．
[典例]　证明：已知某三角形的面积为S，则其直观图的面积为S′＝S.
[分析]　利用三角形的底边和高的关系，找出两个面积的关系．
[证明]　如图(1)，在△ABC中，AD⊥BC，其面积S＝AD·BC，在其直观图(如图(2))中，作A′M⊥B′C′，则直观图的面积为S′＝B′C′·A′M＝B′C′·A′D′sin45°＝××BC·AD＝S.
[对应训练]　有一个长为5
cm，宽为4
cm的矩形，则其直观图的面积为5
cm2.
解析：由于该矩形的面积为S＝5×4＝20(cm2)，所以由典例中的公式可得，其直观图的面积为S′＝S＝5(cm2)．
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