8．3 简单几何体的表面积与体积
8．3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
[目标]
1.会求棱柱、棱锥、棱台的表面积；2.会求棱柱、棱锥、棱台的体积．
[重点]
求棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积．
[难点]
棱台的体积．
要点整合夯基础
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
[填一填]
1．棱柱的表面积
棱柱的表面积：S表＝S侧＋2S底．
①其中底面周长为C，高为h的直棱柱的侧面积：S侧＝Ch；
②长、宽、高分别为a，b，c的长方体的表面积：S表＝2(ab＋ac＋bc)；
③棱长为a的正方体的表面积：S表＝6a2.
2．棱锥的表面积
棱锥的表面积：S表＝S侧＋S底；底面周长为C，斜高(侧面三角形底边上的高)为h′的正棱锥的侧面积：S侧＝Ch′.
3．棱台的表面积
棱台的表面积：S表＝S侧＋S上底＋S下底．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和．
[答一答]
1．几何体的侧面积与表面积有何区别？
提示：侧面积指的是几何体侧面的面积，而表面积是指整个几何体表面的面积．表面积等于侧面积与底面积之和，因此，侧面积仅是几何体表面积的一部分．
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积
[填一填]
1．棱柱的体积
(1)棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．
(2)棱柱的底面积S，高为h，其体积V＝Sh.
2．棱锥的体积
(1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．
(2)棱锥的底面积为S，高为h，其体积V＝Sh.
3．棱台的体积
(1)棱台的高是指两个底面之间的距离．
(2)棱台的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V＝h(S′＋＋S)．
[答一答]
2．对于三棱锥在求体积时，底面固定吗？怎样确定哪个面为底面？
提示：不固定，三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，关键是哪个底面的面积和相应的高容易求出，就选哪个面为底面.
典例讲练破题型
类型一 多面体的表面积
[例1] 已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面边长分别为2
cm和4
cm，侧棱长是
cm，则该三棱台的表面积为________．
[分析] 利用侧面是等腰梯形求出棱台的侧面积，再求出其表面积．
[解析] 正三棱台的表面积即上下两个正三角形的面积与三个侧面的面积和，其中三个侧面均为等腰梯形，易求出斜高为
cm，故三棱台的表面积为3××(2＋4)×＋×2＋＋×4×2＝5＋9.
[答案] (5＋9)
cm2
在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式的基础上，对于一些较简单的组合体，能够将其分解成柱、锥、台体，再进一步分解为平面图形?正多边形、三角形、梯形等?，以求得其表面积，要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理.
[变式训练1] 如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6
m，底面外接圆的半径是0.46
m，问：制造这个滚筒需要5.6
m2铁板(精确到0.1
m2)．
解析：因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46
m，所以底面正六边形的边长是0.46
m.
所以S侧＝Ch＝6×0.46×1.6＝4.416(m2)．
所以S表＝S侧＋2S底＝4.416＋2××0.462×6≈5.6(m2)．
故制造这个滚筒约需要5.6
m2铁板．
类型二 多面体的体积
[例2] 如图所示，在多面体ABCDEF中，已知底面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为( )
A.
B．5
C．6
D.
[解析] 如图，连接EB，EC，AC，
则VE?ABCD＝×32×2＝6.
∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF.
∴VF?EBC＝VC?EFB＝VC?ABE＝VE?ABC＝×VE?ABCD＝.
∴V＝VE?ABCD＋VF?EBC＝6＋＝.
[答案] D
求几何体体积的常用方法
?1?公式法：直接代入公式求解.
?2?等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.
?3?补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等.
?4?分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
[变式训练2] 三棱台ABC?A1B1C1中，AB?A1B1＝1?2，则三棱锥A1?ABC，B?A1B1C，C?A1B1C1的体积之比为( C )
A．1?1?1
B．1?1?2
C．1?2?4
D．1?4?4
解析：如图，设棱台的高为h，
S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.
∴VA1?ABC＝S△ABC·h＝Sh，
VC?A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.
又V三棱台ABC?A1B1C1＝h(S＋4S＋2S)
＝Sh，
∴VB?A1B1C＝V三棱台ABC?A1B1C1－VA1?ABC－VC?A1B1C1
＝Sh－－＝Sh.
∴体积比为1?2?4，
∴应选C.
课堂达标练经典
1．已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1?2?3，体对角线的长是2，则这个长方体的体积是( D )
A．6 B．12 C．24 D．48
解析：设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x、2x、3x，又体对角线长为2，则x2＋(2x)2＋(3x)2＝(2)2，解得x＝2.
∴三条棱长分别为2、4、6.∴V长方体＝2×4×6＝48.
2．如图，ABC?A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C?AA′B′B的体积是( C )
A.
B.
C.
D.
解析：因为VC?A′B′C′＝V柱＝，
所以VC?AA′B′B＝1－＝.
3．棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则棱台的体积等于6＋2.
解析：体积V＝(2＋＋4)×3＝6＋2.
4．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是.
解析：易知该几何体是正四棱锥．设正四棱锥为P?ABCD，如图，连接BD，则PD＝PB＝1，BD＝，则PD⊥PB.
设底面中心为O，则正四棱锥高PO＝，则其体积是V＝Sh＝×12×＝.
5．建造一个容积为16
m3，深为2
m，宽为2
m的长方体无盖水池，如果池底的造价为120元/m2，池壁的造价为80元/m2，求水池的总造价．
解：设长方体的长、宽、高分别为a
m，b
m，h
m，水池的总造价为y元．
∵V＝abh＝16，h＝2，b＝2，∴a＝4.
则有S底＝4×2＝8
(m2)，S壁＝2×(2＋4)×2＝24
(m2)，
y＝S底×120＋S壁×80＝120×8＋80×24＝2
880(元)．
——本课须掌握的三大问题
1．空间几何体的表面积的求法技巧：
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．
(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．
2．求几何体体积的常用方法：
(1)公式法：直接代入公式求解．
(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
3．在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”．
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多面体体积计算常见技巧
开讲啦
棱柱、棱锥、棱台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．常见的求几何体体积的方法有：公式法，等积法，分割法，构造法等．
1．等积法
三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可当做底面，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解．
[典例1] 如右图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，截下一三棱锥D1?A1CD，求三棱锥D1?A1CD的体积与剩余部分的体积之比．
[解] 剩余部分是一个不规则的几何体，可利用长方体和三棱锥的体积之差来求．设矩形ADD1A1的面积为S，侧棱CD的长为h，则VD1?A1CD＝VC?A1D1D＝×Sh＝Sh，剩余部分的体积为Sh－Sh＝Sh，所以三棱锥D1?A1CD的体积与剩余部分的体积之比为1?5.
2．分割法
当所给几何体是不规则或不易求体积的几何体时，可以将原几何体分割成几个规则的几何体，然后分别求这几个几何体的体积，再求和，便得到原几何体的体积．
[典例2] 如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．
[解析] 该多面体不是规则几何体，不易直接求体积，应将其分割转化为规则几何体．如图，分别过A、B作EF的垂线，垂足分别为G、H，连接DG、CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，棱锥高为，棱柱高为1，AG＝＝.取AD的中点M，则MG＝，S△AGD＝×1×＝，所以V＝×1＋2×××＝.
[答案]
3．构造法
对于某些几何体性质的探究较困难时，我们可以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何体，以此来研究所求几何体的性质．
[典例3] 如下图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2CD＝2，∠DAB＝60°，E是AB的中点，将△ADE，△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合于点P，求三棱锥P?CDE的体积．
[解] 根据题意，折叠后的三棱锥P?CDE的各棱长都相等，且等于1，根据此三棱锥构造相应正方体(如图)，则该正方体的棱长为，故正方体的体积为()3＝，所以三棱锥P?CDE的体积为－4×××××＝.
[对应训练] 在四面体ABCD中三组对棱分别相等，AB＝CD＝，BC＝AD＝2，BD＝AC＝5，求四面体ABCD的体积．
解：以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图．
设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，
则所以
因为VD?ABE＝DE·S△ABE＝V长方体，
同理VC?ABF＝VD?ACG＝VD?BCH＝V长方体，
所以V四面体ABCD＝V长方体－4×V长方体＝V长方体，
而V长方体＝2×3×4＝24，所以V四面体ABCD＝8.
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-8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
[目标]
1.会求圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积；2.会求圆柱、圆锥、圆台的侧面积；3.了解球的体积和表面积公式．
[重点]
求圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积．
[难点]
圆台的侧面积和体积．
要点整合夯基础
知识点一 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积
[填一填]
1．圆柱的表面积
(1)侧面展开图：圆柱的侧面展开图是矩形，其中一边是圆柱的母线，另一边等于圆柱的底面周长．
(2)面积：若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则圆柱的侧面积S侧＝2πrl，表面积S表＝2πr(l＋r)．
2．圆锥的表面积
(1)侧面展开图：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
(2)面积：若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积S侧＝πrl，表面积S表＝πr(l＋r)．
3．圆台的表面积
(1)侧面展开图：圆台的侧面展开图是扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到．
(2)面积：圆台的上、下底面半径分别为r′、r，母线长为l，则侧面积S侧＝π(r＋r′)l，表面积S表＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l)．
4．球的表面积
若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2.
[答一答]
1．圆锥的侧面展开图为一扇形，怎样根据扇形圆心角度数α°推导出母线l与底面半径r的关系？
提示：圆锥侧面展开图中扇形弧长为圆锥底面周长，而扇形弧长又是以l为半径圆周长的，于是有·2πl＝2πr，即r＝l.
知识点二 圆柱、圆锥、圆台、球的体积
[填一填]
1．圆柱的体积
(1)圆柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．
(2)若圆柱的底面半径为r，高为h，其体积V＝πr2h.
2．圆锥的体积
(1)圆锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．
(2)若圆锥的底面半径为r，高为h，其体积V＝πr2h.
3．圆台的体积
若圆台的上、下底面半径分别为r′、r，高为h，其体积V＝
πh(r′2＋r′r＋r2)．
4．球的体积
若球的半径为R，那么它的体积V＝πR3.
[答一答]
2．用一个平面去截球体，截面是什么平面图形？试在球的轴截面图形中，展示截面图与球体之间的内在联系．
提示：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如下图所示．若球的半径为R，截面圆的半径为r，OO′＝d.在Rt△OO′C中，OC2＝OO′2＋O′C2，即R2＝r2＋d2.
典例讲练破题型
类型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算
[例1] (1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是( )
A. B. C．64π D．128π
(2)圆台的上、下底面半径分别为10
cm、20
cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为________
cm2.(结果中保留π)
[分析] (1)利用圆锥的轴截面得到圆锥的底面半径和高，进而求其体积；(2)利用圆弧与圆心角及半径的关系得到圆台的母线长，再利用表面积公式进行求解．
[解析] (1)设圆锥的底面半径为r，母线为l，
∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，
∴2r＝，即l＝r，
由题意得，侧面积S侧＝πrl＝πr2＝16π，
解得r＝4，∴l＝4，
圆锥的高h＝＝4，
∴圆锥的体积V＝Sh＝×π×42×4＝.故选A.
(2)如图所示，设圆台的上底面周长为c
cm，
因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10
cm，所以SA＝20
cm.同理可得SB＝40
cm，所以AB＝SB－SA＝20
cm，所以S表面积＝S侧＋S上底＋S下底＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1
100π(cm2)．
故圆台的表面积为1
100π
cm2.
[答案] (1)A (2)1
100π
解决旋转体的有关问题常需要画出其轴截面图，将空间问题转化为平面问题来解决.对于与旋转体有关的组合体问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的，然后根据条件分清各个简单几何体底面半径及母线长，再分别代入公式求各自的表面积或体积.
[变式训练1] 把长、宽分别为4、2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．
解：设圆柱的底面半径为r，母线长为l.
如图所示，当2πr＝4，l＝2时
，r＝，h＝l＝2，
∴V圆柱＝πr2h＝，
当2πr＝2，l＝4时，r＝，h＝l＝4，
∴V圆柱＝πr2h＝.
综上所述，这个圆柱的体积为或.
类型二 球的表面积和体积的计算
[例2] (1)两个球的体积之比为8?27，那么这两个球的表面积之比为( )
A．2?3
B．4?9
C.?
D.?
(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________．
(3)圆柱形容器内部盛有高度为8
cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.
[分析] 利用球的表面积和体积公式以及圆柱的体积公式进行求解．
[解析] (1)两个球的体积之比为8?27，根据体积比等于相似比的立方，表面积之比等于相似比的平方，可知两球的半径比为2?3，从而这两个球的表面积之比为4?9，故选B.
(2)两个小铁球的体积为2×π×13＝，设大铁球的半径为R，则大铁球的体积π×R3＝，所以大铁球的半径为.
(3)设球的半径为r，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r.
则有πr2·6r＝8πr2＋3·πr3，
即2r＝8，所以r＝4
cm.
[答案] (1)B (2) (3)4
求球的表面积与体积的一个关键和两个结论
?1?关键：把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了.
?2?两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.
[变式训练2] 一个球内有相距9
cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π
cm2和400π
cm2，求球的表面积．
解：当截面在球心同侧时，如图①所示为球的轴截面，由球的截面性质知AO1∥BO2，且O1，O2为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.
设球的半径为R，
∵πO2B2＝49π，∴O2B＝7
cm，
同理，得O1A＝20
cm.
设OO1＝x
cm，则OO2＝(x＋9)
cm，
在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202， ①
在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2,
②
联立①②可得x＝15，R＝25.
∴S球＝4πR2＝2
500π
cm2，故球的表面积为2
500π
cm2.
当截面在球心的两侧时，如图②所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B.
设球的半径为R，
∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7
cm，
∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20
cm，
设O1O＝x
cm，则OO2＝(9－x)
cm.
在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400，
在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49.
∴x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合题意，舍去．
综上所述，球的表面积为2
500π
cm2.
类型三 几何体的“切”“接”问题
[例3] (1)若球的外切圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为( )
A．4π(r＋R)2
B．4πr2R2
C．4πrR
D．π(R＋r)2
(2)已知直三棱柱ABC?A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝4，AC＝3，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )
A. B．2 C. D．3
[分析] (1)作出球与圆台相切的轴截面．
(2)利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形即可求得球O的半径．
[解析] (1)如图为球与圆台的轴截面，过D作DE⊥BC，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r，由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝(舍负)．故球的表面积为S球＝4πr＝4πRr.
(2)如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝＝.
[答案] (1)C (2)C
解决几何体与球相切或相接的策略
?1?要注意球心的位置，一般情况下，由于球的对称性，球心在几何体的特殊位置，比如几何体的中心或长方体对角线的中点等.
?2?解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.
[变式训练3] 如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．
解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.
则R＝OC＝2，AC＝4，
AO＝＝2.
如图所示，易知△AEB∽△AOC，
∴＝，即＝，∴r＝1.
S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2π.
∴S＝S底＋S侧＝2π＋2π＝(2＋2)π.
课堂达标练经典
1．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于( D )
A.
B．1
C．2
D．3
解析：设球的半径为r，则由题意得πr3＝4πr2，解得r＝3.
2．圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( D )
A.π
B．2π
C.π
D.π
解析：设圆台的高为h，上底面的半径为r，下底面的半径为R，母线长为l.由题可知πr2＝π，πR2＝4π，则r＝1，R＝2.又因为圆台的侧面积为6π，所以πl(r＋R)＝6π，所以l＝2.因为h2＋(R－r)2＝l2，所以h＝.故圆台的体积V＝×(π＋4π＋)×＝π.
3．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为或.
解析：①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，设球的半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是，于是圆锥的底面半径为＝，高为.∴圆锥的体积为×π×2×＝πr3，球体积为πr3.∴该圆锥的体积和此球体积的比值为＝.
②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为.
4．如图所示的几何体是一棱长为4的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2、深为1的圆柱形的洞
，则挖洞后几何体的表面积是96＋2π.
解析：原正方体的表面积为4×4×6＝96，
圆柱的侧面积为2π×1＝2π，
则挖洞后几何体的表面积约为96＋2π.
5．轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积．
解：如图所示，作出轴截面，
因为△ABC是正三角形，所以CD＝AC＝2，
所以AC＝4，AD＝×4＝2，
因为Rt△AOE∽Rt△ACD，
所以＝.
设OE＝R，则AO＝2－R，
所以＝，所以R＝.
所以V球＝πR3＝π·3＝.
所以球的体积等于.
——本课须掌握的三大问题
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．
2．球的表面积和体积仅与球半径有关，因此求球的表面积和体积的问题可转化为求球半径的问题解决．
3．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．
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