8．4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8．4.1 平面
[目标]
1.理解平面的概念，会画一个平面及会表示平面；2.掌握三个基本事实及推论并会简单应用．
[重点]
平面的画法、表示；三个基本事实及推论的简单应用．
[难点]
三个基本事实及推论的简单应用．
要点整合夯基础
知识点一 平面的概念
[填一填]
1．概念：平面是从生活中抽象出来的，具有以下特点：
①平；②无限延展；③没有厚薄．
2．画法
(1)我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．
(2)当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．
3．表示法：
我们常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α
、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．
[答一答]
1．课桌面、黑板面、海面是平面吗？
提示：虽然课桌面、黑板面、海面给我们以平面的形象，但是平面是无限延展的，所以它们不是平面．
2．如下图所示，平面(1)和平面(2)哪个大？
提示：平面无厚薄、无大小，是无限延展的，所以两个平面之间无法比较大小．
3．我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面，这句话对吗？
提示：不对，我们通常用平行四边形表示平面，但平面是无限延展的，所以平行四边形不是一个平面．
[填一填]
[答一答]
4．如图，点A∈平面ABC；点A?平面BCD；BD?平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝BC.
知识点三 平面的基本性质
[填一填]
1．平面基本性质的三种表示及主要作用
(1)基本事实1
(2)基本事实2
(3)基本事实3
2.推论
(1)推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
(2)推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
(3)推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
[答一答]
5．如果线段AB在平面α内，那么直线AB在平面α内吗？为什么？
提示：直线AB在平面α内．因为线段AB在平面α内，所以线段AB上的所有点都在平面α内，故线段AB上A，B两点一定在平面α内，由基本事实2可知直线AB在平面α内．
6．经过三点有多少个平面？
提示：当三点不共线时，由基本事实1可知，经过这三点有且只有一个平面．而当三点共线时，经过这三点有无数个平面．
7．若两个平面相交，则有几条交线？若点P是这两个平面的公共点，那么点P在哪里？
提示：两个平面相交只有一条交线，点P在交线上.
典例讲练破题型
类型一 平面的概念、画法及表示
[例1] (1)给出下列命题：
①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50
m，宽为20
m；④平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为________．
(2)下图中的两个相交平面，其中画法正确的是_______________________________．
[分析] 根据平面的特征及表示来判断．
[解析] (1)由平面的概念知，平面是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①②③都不正确．
(2)对于①，图中没有画出平面α与平面β的交线，另外图中的实线、虚线也没有按照画法原则去画，因此①的画法不正确．同样的道理，也可知②③图形的画法不正确，④中图形画法正确．
[答案] (1)1 (2)④
?1?平面是无限延展的，不能度量其面积；平面没有厚薄之分，不能度量其体积；平面可以用任意平面图形来表示.
?2?在平面几何中，凡是所引的辅助线都要画成虚线，但在立体几何中，能看见的线要画成实线，看不见的线要画成虚线.
[变式训练1] 如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为( A )
A．平面MN
B．平面NQP
C．平面α
D．平面MNPQ
解析：MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN.
?1?用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.
?2?要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”，直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”.
[变式训练2] 把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后的横线上：
(1)A?α，a?α：③.
(2)α∩β＝a，P?α，且P?β：④.
(3)a?α，a∩α＝A：①.
(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：②.
类型三 基本事实的运用
命题视角1：共面问题
[例3] 过直线l外一点P引两条直线PA，PB和直线l分别相交于A，B两点，求证：三条直线PA，PB，l共面．
[分析] 根据条件点P，A，B确定一个平面，再证直线l，PA，PB在这个平面内．
[证明] 如图．
∵点P，A，B不共线，
∴点P，A，B确定一个平面α.
∴P∈α，A∈α，B∈α.
∴PA?α，PB?α.
又A∈l，B∈l，∴l?α.∴PA，PB，l共面．
证明点、线共面的两种方法
方法一：先由确定平面的条件确定一个平面，然后再证明其他的点、线在该平面内．
方法二：先由有关点、线确定一个平面α，再由其余元素确定一个平面β，然后根据有关定理，证明这两个平面重合．
[变式训练3] 已知A、B、C、D、E五点中，A、B、C、D共面，B、C、D、E共面，则A、B、C、D、E五点一定共面吗？
解：(1)如果B、C、D三点不共线，则它们确定一个平面α.因为A、B、C、D共面，所以点A在平面α内，因为B、C、D、E共面，所以点E在平面α内，所以点A、E都在平面α内，即A、B、C、D、E五点一定共面．
(2)如果B、C、D三点共线于l，若A、E都在l上，则A、B、C、D、E五点一定共面；
若A、E中有且只有一个在l上，则A、B、C、D、E五点一定共面；
若A、E都不在l上，则A、B、C、D、E五点可能不共面．
命题视角2：共线与共点问题
[例4] 如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.
求证：B，D，O三点共线．
[分析] 解答本题只要证明点O在平面ABD与平面CBD的交线BD上即可．
[证明] ∵E∈AB，H∈AD，
∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.
∴EH?平面ABD.
∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.
同理O∈平面BCD，
即O∈(平面ABD∩平面BCD)，
∴O∈BD，即B，D，O三点共线．
?1?证明三点共线的常用方法：
方法一：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点.根据基本事实3知，这些点都在交线上.
方法二：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上.
?2?证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题.
[变式训练4] 如图，已知空间四边形ABCD中，E、H分别为BC、AB的中点，F在CD上，G在AD上，且有DF?FC＝DG?GA＝1?2.
求证：直线EF、BD、HG交于一点．
证明：连接EH、FG.
∵E、H分别为BC、AB的中点，
∴EH∥AC.
∵DF?FC＝1?2，DG?GA＝1?2，
∴FG∥AC，FG＝AC，
∴EH∥FG且EH≠FG，
∴E、F、G，H四点共面且EF不平行于GH.
∴EF与GH相交．
设EF∩GH＝O，则O∈GH，O∈EF.
∵GH?平面ABD，EF?平面BCD，
∴O∈平面ABD，O∈平面BCD.
∵平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴O∈BD，即直线EF、BD、HG交于一点．
课堂达标练经典
1．若一直线a在平面α内，则正确的图形是( A )
解析：选项B、C中直线a在平面α外，选项D中直线a与平面α相交，选项A中直线a在平面α内．
2．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作( B )
A．Q∈b∈β
B．Q∈b?β
C．Q?b?β
D．Q?b∈β
解析：∵点Q(元素)在直线b(集合)上，∴Q∈b.又∵直线b(集合)在平面β(集合)内，∴b?β，∴Q∈b?β.
3．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是1或4.
解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面．
4．给出下列命题：
①A，B，C三点确定一个平面；
②若直线a∩直线b＝A，则直线a与b能够确定一个平面；
③已知平面α，直线l和点A，B，若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l?α.
其中正确命题的序号是②③.
解析：①中，只有不共线的三点才可以确定一个平面，因此①错误；②中，由于两条直线相交，则必然确定一个平面，因此②正确；③中，由于点A，B既在直线l上又在平面α内，即直线l上的两点在平面α内，所以直线l在平面α内，即l?α，因此③正确．综上，可知正确命题的序号是②③.
5．如图，已知D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点．
(1)作直线AB与平面α的交点P；
(2)求证：D，E，P三点共线．
解：(1)延长AB交平面α于点P，如图所示．
(2)证明：∵平面ABC∩平面α＝DE，
P∈AB，AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.又∵P∈α，∴P在平面α与平面ABC的交线DE上，即P∈DE，∴D，E，P三点共线．
——本课须掌握的两大问题
1．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．
2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体会三个基本事实的作用，体会先部分再整体的思想．
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-8．4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
[目标]
1.会判断空间中点、直线、平面间的位置关系；2.理解异面直线的定义．
[重点]
空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定；异面直线的定义．
[难点]
异面直线的定义的理解．
要点整合夯基础
知识点一 空间中直线与直线的位置关系
[填一填]
1．异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线．
2．空间两直线的三种位置关系
3．为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．(如图(1)(2)所示)
[答一答]
1．若直线a?平面α，直线b?平面β，a，b是否为异面直线？为什么？
提示：a，b不一定是异面直线，因为a，b也有可能平行或相交，根据异面直线的定义，若a，b是异面直线，则找不到任何一个平面，使得直线a，b都在这个平面内．
2．若两条直线没有公共点，那么这两条直线的关系是怎样的？
提示：这两条直线平行或异面．
知识点二 空间中直线与平面的位置关系
[填一填]
1．位置关系：有且只有三种
(1)直线在平面内——有无数个公共点；
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点；
(3)直线与平面平行——没有公共点；
(4)当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外．
2．符号表示：直线a在平面α内，记为a?α；直线a与平面α相交于点A，记作a∩α＝A；直线a与平面α平行，记作a∥α.
3．图示：直线a在平面α内，如下图(1)所示；直线a与平面α相交于点A，如下图(2)所示；直线a与平面α平行，如下图(3)所示．
[答一答]
3．假如有一根树枝漂浮在水面，那么树枝所在的直线与水面有何关系？
提示：直线在水面所在平面内．
4．直线l在平面α外，l就与α无公共点吗？
提示：直线l在平面α外包含两种情况：l与α平行，l与α相交．若l与α相交，则有唯一的公共点．所以直线l在平面α外，l与α不一定没有公共点．
5．若直线l上有无数个点都在平面α外，则直线l与平面α的位置关系是什么？
提示：相交或平行．
知识点三 空间中平面与平面的位置关系
[填一填]
1．位置关系：有且只有两种
(1)两个平面平行——没有公共点；
(2)两个平面相交——有一条公共直线．
2．符号表示：两个平面α，β平行，记作α∥β；两个平面α，β相交于直线l，记作α∩β＝l.
3．图示：两个平面α，β平行，如下图(1)所示；两个平面α，β相交于直线l，如下图(2)所示．
[答一答]
6．两本书所在的平面可以平行吗？公共点的个数是多少？
提示：可以，无公共点．
7．两本书所在的平面可以相交吗？公共点的个数是多少？
提示：可以，有无数个公共点.
典例讲练破题型
类型一 空间中直线与直线的位置关系
[例1] 如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，以下四个结论：
①直线DM与CC1是相交直线；
②直线AM与NB是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．
[分析] 利用平行直线、相交直线、异面直线的定义判断．
[解析] ①中直线DM与直线CC1在同一平面内，它们不平行，必相交，故结论正确．③④中的两条直线既不相交也不平行，即均为异面直线，故结论正确．②中AM与BN是异面直线，故②不正确．故填①③④.
[答案] ①③④
判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A?α，B∈α，l?α，B?l?AB与l是异面直线(如图)．
[变式训练1] 在三棱锥S?ABC中，与SA是异面直线的是( C )
A．SB
B．SC
C．BC
D．AB
解析：由题图知SB、SC、AB、AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线．
类型二 空间中直线与平面的位置关系
[例2] 如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中判断下列位置关系：
(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1的位置关系是________．
(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．
[分析] 利用直线和平面的公共点个数进行判定．
[解析] (1)AD1所在的直线与平面B1BCC1没有公共点，所以平行．
(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．
[答案] (1)平行 (2)相交
判断空间中直线与平面的位置关系，一般先作出几何图形，直观判断，然后依据三个基本事实及推论给出严格证明.另外，借助模型?如长方体?举反例也是解决这类问题的有效方法.
[变式训练2] 三棱台ABC?A′B′C′的一条侧棱AA′所在直线与平面BCC′B′之间的关系是( A )
A．相交
B．平行
C．直线在平面内
D．平行或直线在平面内
解析：由棱台的定义知，棱台的所有侧棱所在的直线都交于同一点，而任一侧面所在的平面由两条侧棱所在直线所确定，故这条侧棱与不含这条侧棱的任意一个侧面所在的平面都相交．
类型三 空间中平面与平面的位置关系
[例3] (1)若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线( )
A．平行
B．异面
C．相交
D．平行或异面
(2)如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．不存在
[解析] (1)两个平面内的直线必无交点，所以是异面或平行．
(2)由题目分别在两个平面内的两直线平行判定两平面是相交或平行．解答本题可逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)．
[答案] (1)D (2)C
判断空间中两平面之间的位置关系时，可把文字语言转化为图形语言，搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系.
[变式训练3] (1)两个平面将空间分成几部分？
(2)将一个三棱柱的各面延展成平面后，这些平面可将空间分成几部分？
解：(1)两个平面平行时，将空间分成三部分；两个平面相交时，将空间分成四部分．
(2)如图，将三棱柱的三个侧面延展成平面后，可将空间分成7部分，然后将三棱柱的两底面延展成平面，那么每一个平面将这7部分一分为二，故共分成3×7＝21部分．
课堂达标练经典
1．圆柱的两个底面的位置关系是
( B )
A．相交
B．平行
C．平行或异面
D．相交或异面
解析：圆柱的两个底面无公共点，则它们平行．
2．若直线l与平面α不平行，则下列结论正确的是( D )
A．α内的所有直线都与直线l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内的直线与l都相交
D．直线l与平面α有公共点
解析：∵l与α不平行，∴l?α或l与α相交，故l与α有公共点．
3．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是相交或异面．
解析：平面内的一点与平面外的一点的连线与这个平面相交，所以平面内的一点与平面外的一点的连线与这个平面内过该点的直线是相交直线，与不过该点的直线是异面直线．
4．在如图正方体中，与平面AA1C1C平行的棱有BB1，DD1，与棱BB1平行的平面有平面ADD1A1，平面CDD1C1，平面ACC1A1.
5．如图所示，直线A′B与长方体ABCD?A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系？
解：∵直线A′B与平面ABB′A′有无数个公共点，
∴直线A′B在平面ABB′A′内．
∵直线A′B与平面ABCD，BCC′B′都有且只有一个公共点B，
∴直线A′B与平面ABCD，BCC′B′相交．
∵直线A′B与平面ADD′A′，A′B′C′D′都有且只有一个公共点A′，
∴直线A′B与平面ADD′A′，A′B′C′D′相交．
∵直线A′B与平面DCC′D′没有公共点，
∴直线A′B与平面DCC′D′平行．
——本课须掌握的三大问题
1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．
2．直线和平面的位置关系
(1)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交，统称直线在平面外，可以用记号a?α来表示a∥α、a∩α＝A这两种情形．
(2)一般地，直线a在平面α内，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内；直线a与平面α平行时，把a画成与表示平面α的平行四边形的水平边平行．
3．两个平面的位置关系
两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分．如果两个平面有一个公共点，那么由基本事实3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行．
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