第九章
统计
9．1 随机抽样
9．1.1 简单随机抽样
[目标]
1.理解简单随机抽样的概念；2.掌握常见的两种简单随机抽样的方法；3.能合理地从实际问题的总体中抽取样本．
[重点]
掌握用简单随机抽样方法(抽签法和随机数法)从总体中抽取样本的方法和步骤．
[难点]
运用简单随机抽样方法解决实际问题．
要点整合夯基础
知识点一
简单随机抽样的概念
[填一填]
一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n[答一答]
1．现有甲、乙两位同学对同一个总体用简单随机抽样的方法抽样，那么他们抽取的样本一定一样吗？
提示：这两位同学抽出来的样本不一定一样．因为对于一次简单随机抽样来说，抽出来的样本是确定的，而这两位同学分别抽取时，各个个体是否入样带有随机性，且个体间无固定间距．
2．利用简单随机抽样，从一个含有N个个体的总体中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，每个个体入样的可能性是多少？
提示：简单随机抽样每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，均为.
3．根据简单随机抽样的定义，简单随机抽样有哪些特征？
提示：简单随机抽样的特征是：总体个数有限、逐个抽取、等可能．
知识点二
简单随机抽样的方法
[填一填]
1．抽签法
一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀后，从中不放回地逐个抽取号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．
2．随机数法
利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．
[答一答]
4．抽取一个号签，记录其编号后放入容器中，再次抽取记录，连续n次后得到号签上的号码对应的个体，这些个体组成样本，这种抽样方法是抽签法吗？
提示：不是．因为抽签法是逐个不放回抽取，目的是保证抽取的号签不会重复，而这里是将号签记录编号后又放回容器中，所以该抽样方法不是抽签法．
5．抽签法的一般步骤是什么？
提示：(1)将总体中个体编号1～N.
(2)将所有编号1～N写在形状、大小相同的号签上．
(3)将号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀．
(4)从容器中不放回地逐个抽取号签，并记录其编号，连续抽取n次．
(5)从总体中将与抽取到的号签的编号相一致的个体取出．
6．抽签法与随机数法有哪些相同点与不同点？
提示：相同点：①抽签法和随机数法都是简单随机抽样的方法，并且要求被抽取样本的总体的个数有限；②抽签法和随机数法都是从总体中逐个地进行抽取，都是不放回抽样．
不同点：①抽签法相对于随机数法简单；②随机数法更适用于总体中的个体数较多的情况，而抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况，所以当总体中的个体数较多时，应当选用随机数法，这样可以节约制作号签的成本．
知识点三
总体平均数和加权平均数
[填一填]
1．一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝＝i为总体均值，又称总体平均数．
2．一般地，对于f1个x1，f2个x2，…，fn个xn，共f1＋f2＋…＋fn个数组成的一组数据的平均数为.这个平均数叫做加权平均数，其中f1,
f2，…，
fn叫做权，这个“权”，含有权衡所占份量的轻重之意，即fi(i＝1,2，…，k)越大，表明xi的个数越多，“权”就越大．
[答一答]
7．算术平均数与加权平均数有什么区别？
提示：一组数据的算术平均数与加权平均数概念是不一样的，简单的说，如果一组数据是：70,90，
那么，它的算术平均数
＝(70＋90)÷2＝80，而加权平均数则取决于各个数据的权(或权重)．当70的权重是40%,
90的权重是60%时，加权平均数＝70×40%＋90×60%＝82；
当70的权重是70%,
90的权重是30%时，加权平均数＝70×70%＋90×30%＝76；
当70的权重是50%,
90的权重是50%时，加权平均数＝70×50%＋90×50%＝80.
由此可见，一组数据的算术平均数只有一个，当数据组中的每个数据确定后，算术平均数也确定了．而一组数据的加权平均数可能有多个，它是根据各个数据的权重不同而发生变化的，当各个数据的权重一样时，加权平均数等于算术平均数．当各个数据的权重不同时，加权平均数不一定等于算术平均数.
典例讲练破题型
类型一
简单随机抽样的概念
[例1] (1)关于简单随机抽样，下列说法正确的是( )
①它要求被抽取样本的总体的个数有限；
②它是从总体中逐个地进行抽取；
③它包括不放回抽样；
④它是一种等可能性抽样，每次从总体中抽取一个个体时，不仅各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．
A．①②
B．③④
C．①②③
D．①②③④
(2)下面的抽样方法是简单随机抽样的是________．
①从无数张高考试卷中抽取50张试卷作为样本；
②从80台笔记本电脑中一次性抽取6台电脑进行质量检查；
③一福彩彩民买30选7彩票时，从装有30个大小、形状都相同的乒乓球的盒子(不透明)中逐个无放回地摸出7个有标号的乒乓球，作为购买彩票的号码；
④用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验．
[分析] 根据简单随机抽样的概念及特征去判断．
[解析] (1)由随机抽样的特征可知①②③④正确，故选D.
(2)①中样本总体数目不确定，不是简单随机抽样；②中样本不是从总体中逐个抽取，不是简单随机抽样；③④符合简单随机抽样的特点，是简单随机抽样．
[答案] (1)D (2)③④
判断一个抽样是否是简单随机抽样，一定要看它是否满足简单随机抽样的特点，这是判断的唯一标准.
?1?简单随机抽样的总体个数有限；
?2?简单随机抽样的样本是从总体中逐个抽取；
?3?简单随机抽样包括放回和不放回两种抽样；
?4?简单随机抽样的每个个体入样机会均等.
[变式训练1] 下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；
(2)质量监督部门从180种儿童玩具中选出18种玩具进行质量检验，在抽样操作过程中，从中任取一种玩具检验后再放回；
(3)国家跳水队挑出最优秀的10名跳水队员，备战2016年里约热内卢奥运会；
(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．
解：(1)不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．
(2)是简单随机抽样，因为简单随机抽样包括放回地抽取样本．
(3)不是简单随机抽样，因为这10名跳水队员是挑选出来的最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．
(4)是简单随机抽样，因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．
类型二
简单随机抽样的应用
命题视角1：抽签法的应用
[例2] 某班40名同学，随机抽取10名同学参加某项活动，请写出采用抽签法抽取的过程．
[分析] 根据抽签法的一般步骤来写．
[解] 第一步，对这40个学生进行编号，编号分别为1,2，…，40.
第二步，将号码写在形状、大小相同的号签上．
第三步，将号签放在一个不透明的箱中，并搅拌均匀．
第四步，从箱中不放回地逐个抽取号签，连续抽取10次．
第五步，将与号签上的号码对应的同学选出即得样本．
一个抽样能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便，二是号签是否容易被搅匀.在适用此法时，一定要注意“放入不透明容器，并充分搅匀”.
[变式训练2] 要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试，请选择合适的抽样方法，并写出抽样过程.
解：应使用抽签法，步骤如下：
①将30辆汽车编号，号码是1,2,3，…，30；
②将1～30这30个编号写在大小、形状都相同的号签上；
③将写好的号签放入一个不透明的容器中，并搅拌均匀；
④从容器中不放回地逐个抽取号签，连续抽取3次，并记录上面的编号；
⑤所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象．
命题视角2：随机数表法的应用
[例3] 某学校高二年级有500名学生，考试后为详细分析教学中存在的问题，计划抽取一个容量为20的样本，使用随机数法进行抽取，要取三位数，写出抽取过程．(写出具体方法即可)
[分析] 已知N＝500，n＝20，用随机数表法抽样时编号001,002，…，500，抽取20个编号(都是三位数)，对应的学生组成样本．
[解] 第一步：给500名学生编号：001,002,003，…，500；
第二步：从随机数表的第13行第7列(任意选取的)开始向右连续读取数字，以3个数为一组，碰到右边线时向下错一行由左向右继续读取．在读取时，遇到大于500或重复前数时，将它舍弃，再继续向下取，直到取满20个小于或等于500的数为止，说明20个样本号码已取满；
第三步：以上这20个号码所对应的20名学生就是要抽取的对象．
1.在利用随机数表法抽样的过程中应注意：
?1?编号要求位数相同；
?2?第一个数字的抽取是随机的；
?3?读数的方向是任意的，且要事先定好.
2.随机数表法的特点：
优点：简单易行.它很好地解决了当总体中的个体数较多时用抽签法制签难的问题.
缺点：当总体中的个体数很多，需要的样本量也很大时，用随机数表法抽取样本容易重号.
[变式训练3] 总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( D )
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A．08 B．07 C．02 D．01
解析：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08,02,14,07,02,01.其中第二个和第四个都是02，重复．可知对应的数值为08,02,14,07,01，则第5个个体的编号为01.
类型三
总体平均数和加权平均数
[例4] 某班进行个人投篮比赛，受污损的下表记录了在规定时间内投入n个球的人数分布情况，同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球，进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个球，问投进3个球和4个球的各有多少人？
[分析] 根据加权平均数的定义进行列式计算即可．
[解] 设投进3个球的人数为a，投进4个球的人数为b，
根据已知有＝3.5，
＝2.5，
即解得
故进3个球的有9人，进4个球的有3人．
[变式训练4] 小林在八年级第一学期的数学书面测验成绩分别为：平时考试第一单元得84分，第二单元得76分，第三单元得92分；期中考试得82分；期末考试得90分，如果按照平时、期中、期末的权重分别为10%、30%、60%计算，那么小林该学期数学书面测验的总平均成绩应为多少分？
解：(平时单元测试平均成绩)＝＝84(分)．
所以总平均成绩为＝87(分)．
所以小林该学期数学书面测验的总平均成绩应为87分．
课堂达标练经典
1．为了了解一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是( C )
A．总体
B．个体
C．总体的一个样本
D．样本量
解析：200个零件的长度从总体中抽出的个体所组成的集合，是总体的一个样本，故选C.
2．用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是( A )
A.，
B.，
C.，
D.，
解析：根据简单随机抽样的定义知选A.
3．为了了解参加运动会的2
000名运动员的年龄情况，从中抽取20名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有④⑤⑥.
①2
000名运动员是总体；
②每个运动员是个体；
③所抽取的20名运动员是一个样本；
④样本量为20；
⑤这个抽样方法可采用随机数表法抽样；
⑥每个运动员被抽到的机会相等．
解析：①2
000名运动员不是总体，2
000名运动员的年龄才是总体；②每个运动员的年龄是个体；③20名运动员的年龄是一个样本．
4．天津某大学为了支持东亚运动会，从报名的60名大三学生中选10人组成志愿小组，请用抽签法和随机数法设计抽样方案.
解：抽签法：
第一步：将60名大学生编号，编号为1,2,3，…，60；
第二步：将60个号码分别写在60张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签；
第三步：将60个号签放入一个不透明的盒子中，充分搅匀；
第四步：从盒子中不放回地逐个抽取10个号签，并记录上面的编号；
第五步：所得号码对应的学生，就是志愿小组的成员．
随机数法：
第一步：将60名学生编号，编号为01,02,03，…，60；
第二步：在随机数表中任选一数开始，按某一确定方向读数；
第三步：凡不在01～60中的数或已读过的数，都跳过去不作记录，依次记录下10个得数；
第四步：找出号码与记录的数相同的学生组成志愿小组．
——本课须掌握的三大问题
1．简单随机抽样是一种简单、基本的抽样方法，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法．
2．抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量大时，费时、费力，并且标号的签不易搅拌均匀，这样会导致抽样不公平；随机数法的优点也是简单易行，缺点是当总体容量大时，编号不方便．两种方法只适合总体容量较少的抽样类型．
3．简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为，但要将每个个体入样的可能性与第n次抽取时每个个体入样的可能性区分开，避免在解题中出现错误．
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-9．1.2 分层随机抽样
9．1.3 获取数据的途径
[目标]
1.理解并掌握分层随机抽样，会用分层随机抽样从总体中抽取样本；2.记住分层随机抽样的特点和步骤；3.利用分层随机抽样的方法解决实际问题；4.了解获取数据的途径，并学会简单应用．
[重点]
用分层随机抽样抽取样本.
[难点]
抽样方法的联系与区别以及抽样方法的选择．
要点整合夯基础
知识点一
分层随机抽样的概念
[填一填]
1．定义
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
2．适用范围
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往采用分层随机抽样．
3．比例分配
在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
[答一答]
1．分层随机抽样适合于什么样的总体？分层随机抽样有什么特点？
提示：当总体是由差异明显的几部分组成时，用分层随机抽样．分层随机抽样仍具有逐个抽取、等可能性等特点．
2．分层随机抽样有什么优点？
提示：分层随机抽样使样本具有较强的代表性，而且在每个层中进行抽样时，又可灵活地采用简单随机抽样或其他抽样方法．
知识点二
分层随机抽样的步骤
[填一填]
1．根据已掌握的信息，将总体分成若干部分．
2．根据总体中的个体数N和样本量n计算出抽样比k＝.
3．根据抽样比k计算出各层中应抽取的个体数：·Ni(其中Ni为第i层所包含的个体总数)．
4．按步骤3所确定的数在各层中随机抽取个体，并合在一起得到容量为n的样本．
[答一答]
3．分层随机抽样公平吗？
提示：公平．因为分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数、分层无关．
4．某全日制大学共有学生5
600人，其中专科生有1
300人，本科生有3
000人，研究生有1
300人，现采用分层随机抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本量为280，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取65人，150人，65人．
提示：抽样比是＝，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取1
300×＝65(人)，3
000×＝150(人)，1
300×＝65(人).
典例讲练破题型
类型一
分层随机抽样的概念
[例1] (1)
下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是( )
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．一次数学竞赛中，某班有10人在110分以上，40人在90～100分，12人低于90分，现从中抽取12人了解有关情况
C．从1
000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
(2)分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行( )
A．每层等可能抽样
B．每层可以不等可能抽样
C．所有层按同一抽样比等可能抽样
D．所有层抽取的个体数量相同
[分析] 当总体由差异明显的几部分组成时，该样本的抽取适合用分层随机抽样，结合题中的四个选项及分层随机抽样的特点可对(1)(2)作出判断．
[解析] (1)A中总体个体无明显差异且个数较少，不适合用分层随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层随机抽样．
(2)保证每个个体等可能地被抽取是简单随机抽样和分层随机抽样的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．
[答案] (1)B (2)C
1.使用分层随机抽样的前提：,分层随机抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小.
2.使用分层随机抽样应遵循的原则：
?1?将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；
?2?分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.
[变式训练1] 某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( C )
A．抽签法
B．随机数法
C．分层随机抽样法
D．任何抽样法都可以
解析：由于被抽取的个体属性有明显的差异，因此宜采用分层随机抽样法．
类型二
分层随机抽样的设计
[例2] 某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．
[分析] →→→→→
[解] 因机构改革关系到每个人的不同利益，故采用分层随机抽样方法较妥．
∵＝，∴＝2，＝14，＝4.
∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．
因副处级以上干部与工人数都较少，将他们分别按1～10和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00,01，…，69编号，然后用随机数法抽取14人．这样便得到了一个容量为20的样本．
[变式训练2] 某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1
200辆，6
000辆和2
000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层随机抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取的数量为( B )
A．15,15,16
B．6,30,10
C．10,13,23
D．12,16,18
解析：三种型号的轿车共9
200辆，抽取样本为46辆，则按＝的比例抽样，所以依次应抽取1
200×＝6(辆)，6
000×＝30(辆)，2
000×＝10(辆).
课堂达标练经典
1．下列实验中最适合用分层随机抽样法抽样的是( D )
A．从一箱3
000个零件中抽取5个入样
B．从一箱3
000个零件中抽取600个入样
C．从一箱30个零件中抽取5个入样
D．从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入样
解析：D中总体有明显差异，故用分层随机抽样．
2．当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户，270户，180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层随机抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为( A )
A．40
B．30
C．20
D．36
解析：抽样比为＝，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360×＝40，故选A.
3．一批灯泡400只，其中20
W、40
W、60
W的数目之比是4?3?1，现用分层随机抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为( A )
A．20,15,5
B．4,3,1
C．16,12,4
D．8,6,2
解析：三种灯泡依次抽取的个数为40×＝20,40×＝15,40×＝5.故选A.
4．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人，为了解职工收入情况，决定采用分层随机抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是( D )
A．12,24,15,9
B．9,12,12,7
C．8,15,12,5
D．8,16,10,6
解析：抽样比例为＝，故各层中依次抽取的人数为160×＝8(人)，320×＝16(人)，200×＝10(人)，120×＝6(人)．故选D.
5．一家电脑生产厂家在某城市三个经销本厂产品的大商场调查，产品的销量占这三个大商场同类产品销量的40%.由此在广告中宣传，他们的产品在国内同类产品的销售量占40%.请你根据所学的统计知识，判断该宣传中的数据是否可靠：不可靠，理由是第一，所取样本量太小；第二，样本抽取缺乏代表性和广泛性．
解析：这是一道判断说理型题，它要求借助于统计知识，作出科学的判断，
同时运用统计原理给予准确的解释．因此，该电脑生产厂家凭借挑选某城市经销本产品情况，断然说他们的产品在国内同类产品的销量占40%，宣传中的数据是不可靠的，其理由有二：第一，所取样本量太小；第二，样本抽取缺乏代表性和广泛性．
——本课须掌握的三大问题
1．用分层随机抽样从个体为N的总体中抽取一个容量为n的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽到的机会相等．
2．分层随机抽样是建立在简单随机抽样基础上的，由于它充分利用了已知信息，考虑了保持样本结构与总体结构的一致性，因此它获得的样本更具代表性，在实用中更为广泛．
3．简单随机抽样是基础，分层随机抽样是补充和发展，二者相辅相成，对立统一．
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