6.3
平面向量基本定理及坐标表示
6．3.1 平面向量基本定理
[目标]
1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义，理解平面向量基本定理；2.掌握平面向量基本定理并能熟练应用．
[重点]
平面向量基本定理．
[难点]
平面向量基本定理的应用．
要点整合夯基础
知识点 平面向量基本定理
[填一填]
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
[答一答]
1．基底有什么特点？平面内基底唯一吗？
提示：基底中的两向量e1，e2不共线，这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．
2．如图，设OA、OB、OC为三条共端点的射线，P为OC上一点，能否在OA、OB上分别找一点M、N，使＝＋？
提示：能.
过点P作OA、OB的平行线，分别与OB、OA相交，交点即为N、M.
3．若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底．
提示：设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0.由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底.
典例讲练破题型
类型一 基底的概念
[例1] 下面说法中，正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a和一组基底e1，e2，使a＝λe1＋μe2成立的实数对一定是唯一的．
A．②④
B．②③④
C．①③
D．①③④
[解析] 因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；由平面向量基本定理知④正确．综上可得②③④正确．
[答案] B
根据平面向量基底的定义知，判断能否作为基底问题可转化为判断两个向量是否共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线，则它们不能作为一组基底.
[变式训练1] 设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( B )
A．e1＋e2和e1－e2
B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2
D．e1和e1＋e2
解析：在B中，因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以(3e1－4e2)∥(6e1－8e2)．所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底，其他三个选项中的两组向量都不平行，故都可以作为一组基底．
类型二 用基底表示向量
[例2] 如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，M、N分别是边OA、OB上的点，且＝a，＝b，设与交于点P，用向量a、b表示.
[分析] 利用“表示方法的唯一性”确定参数，进而确定λ1，λ2.
[解] ∵＝＋，＝＋，
设＝m，＝n，
则＝＋m＝a＋m(b－a)＝(1－m)a＋mb，
＝＋n＝(1－n)b＋na.
∵a与b不共线，∴∴
∴＝a＋b.
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断转化，直至用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.
[变式训练2] 如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点，若＝a，＝b，试以{a，b}为基底表示、.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
E、F分别是BC、DC边上的中点，
∴＝＝2，＝＝2，
∴＝＝b，
＝＝＝－＝－a.
∴＝＋＋＝－＋＋
＝－b＋a＋b＝a－b.
＝＋＝＋＝b－a.
类型三 平面向量基本定理的应用
[例3] 如图所示，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )
A.
B.－
C.
D.
[解析] ∵在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，∴在△ABD中，BD＝AB＝1.
又BC＝3，∴BD＝BC，
∴＝＋＝＋.
∵M为AD的中点，
∴＝＝＋.
∵＝λ＋μ，
∴λ＝，μ＝，
∴λ＋μ＝.
[答案] D
应用平面向量基本定理解题时，关键在于选取合适的基底，要注意与已知条件的联系.
[变式训练3] 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP?PM与BP?PN的值．
解：设＝e1，＝e2，则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
因为点A，P，M和点B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
又＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
得解得所以＝，＝，所以AP?PM＝4?1，BP?PN＝3?2.
课堂达标练经典
1．下列说法中，正确说法的个数是( C )
①在△ABC中，{，}可以作为基底；
②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的；
③零向量不能作为基底．
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①③正确，②错误．
2．如图，设O是?ABCD两对角线的交点，有下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为该平面内所有向量基底的是( B )
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
解析：与不共线，∥，与不共线，∥，则①③可以作为该平面内所有向量的基底．
3．已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝3.
解析：∵e1、e2不共线，∴
解得∴x－y＝3.
4.如图所示，向量，，的长度分别是2，，1.∠AOB＝120°，∠AOC＝150°，则＝－＋(－).
解析：不妨设＝m＋n，
则m<0，n<0.
如图，构建?OA′C′B′，其中＝－，且＝＋，
则∠A′OC′＝30°，∠B′OC′＝90°，
于是||tan60°＝||，
||·sin60°＝||，
所以||＝，||＝，
所以||＝||，||＝||，
从而m＝－，n＝－.
5．在平行四边形ABCD中，M为DC的中点，N为BC的中点，设＝b，＝d，＝m，＝n.
(1)以{b，d}为基底，表示；
(2)以{m，n}为基底，表示.
解：如图所示．
(1)＝－
＝(＋)－(＋)
＝－
＝b－d.
(2)∵m＝＋＝d＋，①
n＝＋＝＋d，②
∴由①②消去d，得＝n－m.
——本课须掌握的两大问题
1．平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是下一节学习向量坐标表示的理论依据，是一个承前启后的重要知识点．
2．根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算．要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量．
PAGE
-
8
-6．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6．3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
[目标]
1.能用坐标表示向量，知道平面向量基本定理中向量与有序实数对的一一对应关系；2.会两个向量的和差的坐标运算．
[重点]
平面向量的正交分解及坐标表示．
[难点]
平面向量的坐标运算．
要点整合夯基础
知识点一 向量的正交分解及坐标表示
[填一填]
1．向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
2．向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量a的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
3．向量与坐标的关系
设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)就是向量的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．
[答一答]
1．特别地，i，j，0的坐标分别是什么？
提示：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
[填一填]
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：
(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)．
(2)若点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，O为坐标原点，则＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
[答一答]
2．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？
提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)；与y轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y).
典例讲练破题型
类型一 平面向量的坐标表示
[例1] 在平面直角坐标系中，向量a，b，c的方向如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，向量a，b，c的坐标分别为_____，________，________.
[解析] 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)．
a1＝|a|cos45°＝2×＝，
a2＝|a|sin45°＝2×＝，
b1＝|b|cos120°＝3×＝－，
b2＝|b|sin120°＝3×＝，
c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2，
c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2.
∴a＝(，)，b＝，c＝(2，－2)．
[答案] (，) (2，－2)
始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定.一般可以借助三角函数的定义来确定点的坐标，此时需明确点所在的象限，点到原点的距离，点与原点的连线与x轴正方向的夹角.
[变式训练1] 在平面直角坐标系中，|a|＝4，且a如图所示，则a的坐标为( D )
A．(2，2)
B．(2，－2)
C．(－2,2)
D．(2，－2)
解析：x＝|a|·cos(－30°)＝4×＝2，
y＝|a|·sin(－30°)＝4×(－)＝－2.
类型二 平面向量加、减运算的坐标运算
[例2] 已知边长为单位长度的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴的正方向上，则向量－＋的坐标为________．
[解析] 根据题意建立平面直角坐标系(如图)，则各顶点的坐标分别为A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，所以＝(1,0)，＝(0,1)，＝(1,1)，所以－＋＝(1,0)－(0,1)＋(1,1)＝(2,0)．
[答案] (2,0)
?1?向量的坐标运算主要是利用加法、减法运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用.
?2?若是给出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
[变式训练2] 已知?ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为(－2,1)，(－1,3)，(3,4)，求顶点D的坐标．
解：设顶点D的坐标为(x，y)，在?ABCD中，＝，
又＝(x＋2，y－1)，＝(4,1)，
∴(x＋2，y－1)＝(4,1)，
即解得
∴顶点D的坐标为(2,2).
课堂达标练经典
1．已知＝(2,3)，则点N位于( D )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．不确定
解析：因为点M的位置不确定，则点N的位置也不确定．
2．已知向量a，b满足a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，则a，b的坐标分别为( C )
A．(4,0)，(－2,6)
B．(－2,6)，(4,0)
C．(2,0)，(－1,3)
D．(－1,3)，(2,0)
解析：2a＝(a＋b)＋(a－b)＝(4,0)，于是a＝(2,0)，所以b＝(－1，3)．
3．向量＝(2x，x－1)，O为坐标原点，则点A在第四象限时，x的取值范围是( D )
A．x>0
B．x<1
C．x<0或x>1
D．0解析：由A点在第四象限，所以，解得04．若向量a＝(2x－1，x2＋3x－3)与相等，已知A(1,3)，B(2,4)，则x＝1.
解析：∵＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)，＝a，
∴解得x＝1.
5．已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°.
(1)求向量的坐标．
(2)若B(，－1)，求的坐标．
解：(1)设点A(x，y)，
则x＝4cos60°＝2，y＝4sin60°＝6，
即A(2，6)，＝(2，6)．
(2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7)．
——本课须掌握的三大问题
1．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示．
2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同.
当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．
3．向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误．
PAGE
-
1
-6．3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
[目标]
1.会实数与向量积的坐标表示；2.记住两个向量共线的坐标表示；3.能够应用向量共线的坐标表示解决相关问题．
[重点]
向量共线的坐标表示．
[难点]
向量共线的坐标表示的应用．
要点整合夯基础
知识点一 平面向量数乘运算的坐标表示及中点坐标公式
[填一填]
(1)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标；
(2)设向量a＝(x1，y1)，则λa＝(λx1，λy1)．
(3)中点坐标公式：若P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则
[答一答]
1．已知A(－5，－1)，B(3，－2)，则－的坐标为(－4，)．
解析：＝(3，－2)－(－5－1)＝(8，－1)，
∴－＝(－4，)．
知识点二 两个向量共线的坐标表示
[填一填]
(1)向量a，b共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0.
(2)向量共线的坐标表示的推导
①设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)≠0，则a∥b?a＝λb(λ∈R)．
上式若用坐标表示，可写为a∥b?(x1，y1)＝λ(x2，y2)，
即a∥b??x1y2－x2y1＝0.
②设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)＝0时，a∥b?x1y2－x2y1＝0.
综上①②，向量共线的坐标表示为a∥b?x1y2－x2y1＝0.
[答一答]
2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b?x1y2－x2y1＝0，是否对于任意两向量都成立？还需注明b≠0吗？
提示：在向量共线定理中，a∥b?a＝λb(λ∈R)必需注明b≠0，而在“本问”中当b＝0时也成立，故不需注明b≠0.
3．当两个非零向量共线时，通过坐标如何判断它们是同向还是反向？
提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．
例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向．
典例讲练破题型
类型一 平面向量数乘运算的坐标表示
[例1] 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐标．
[分析] 首先设出M、N的坐标，结合已知条件，分别建立关于M、N坐标的方程．从而求得M，N的坐标以及的坐标．
[解] 由A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，可得＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1,8)，＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)，所以＝3＝3(1,8)＝(3,24)，＝2＝2(6,3)＝(12,6)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，
所以，
解得x1＝0，y1＝20；
＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，
所以，解得x2＝9，y2＝2，
所以M(0,20)，N(9,2)，
＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．
?1?相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程?组?.
?2?进行平面向量的坐标运算时，应先将向量用坐标表示出来.一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标.求点P的坐标时，可以转化为求以坐标原点为起点，点P为终点的向量的坐标.
[变式训练1] 如图，在△ABC中，已知A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求的坐标．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，
∴＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)．
＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．
∵D是BC的中点，
∴＝(＋)＝(－4－3，－3－5)
＝(－7，－8)＝.
∵M，N分别为AB，AC的中点，∴F为AD的中点．
∴＝－＝－＝－＝.
类型二 两个向量共线的坐标表示
[例2] 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
[分析] 先计算出ka＋b与a－3b的坐标，然后利用向量共线的坐标表示即可求k，再根据符号确定方向．
[解] 因为a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
又(ka＋b)∥(a－3b)，
故－4(k－3)＝10(2k＋2)，即k＝－.
这时ka＋b＝，且a－3b与－a＋b的对应坐标异号，故当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且是反向的．
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线．对条件的理解有两方面的含义：由x1y2－x2y1＝0，可判定a，b共线；反之，若a，b共线，则x1y2－x2y1＝0.
[变式训练2] (1)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为( A )
A.
B.
C.
D.
(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)，若c∥(2a＋b)，则λ＝.
解析：(1)由已知得＝(3，－4)，
所以||＝5，
因此与同方向的单位向量是＝.
(2)2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，
所以4λ＝2，得λ＝.
类型三 三点共线问题
[例3] (1)已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线；
(2)设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？
[分析] 由A、B、C三点共线可知，、、中任两个共线，由坐标表示的共线条件解方程可求得k值．
[解] (1)证明：∵＝－＝(4,8)，＝－＝(6,12)．∴4×12－8×6＝0，即与共线．
又∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线．
(2)若A，B，C三点共线，则，共线，
∵＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0.
解得k＝－2或k＝11.
一般地，把三点共线问题转化成向量共线问题，而向量共线常用的判断方法有两种：一是直接用＝λ；二是利用坐标运算.
[变式训练3] 如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中i、
j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A、B、C三点共线．
解：依题意知i＝(1,0)，j＝(0,1)，
则＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)．
∵、共线，
∴1×m－(－2)×1＝0，∴m＝－2.
即当m＝－2时，A、B、C三点共线．
类型四 利用向量共线解决几何问题
[例4] 已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线AC与OB交点P的坐标．
[分析] 由直线AC与OB的交点为P知A、C、P三点共线，B、O、P三点共线，利用向量共线的坐标运算进行求解．
[解] 设点P(x，y)，则＝(x，y)，＝(4,4)，
∵P、B、O三点共线，∴∥.
∴4x－4y＝0.
又＝－＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)，
＝－＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
∵P、A、C三点共线，∴∥，
∴6(x－4)＋2y＝0.
由得
∴点P的坐标为(3,3)．
?1?向量共线在几何中的应用可分为两个方面：①已知两向量共线，求点或向量的坐标；②证明或判断三点共线、直线平行.
?2?解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行.
[变式训练4] 如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，令||＝1，则||＝1，||＝2.
∵CE⊥AB，且AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形．
∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1，0)．
(1)∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，
＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)．
∴＝，∴∥，即DE∥BC.
(2)如图，连接MB，MD，
∵M为EC的中点，∴M(0，)，
∴＝(－1,1)－(0，)＝(－1，)，
＝(1,0)－(0，)＝(1，－)．
∴＝－，∴∥.
又MD与MB有公共点M，∴D，M，B三点共线.
课堂达标练经典
1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝( D )
A．(－2，－1)
B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
解析：a－b＝(1,1)－(1，－1)＝(－1,2)．
2．已知向量a＝(x,5)，b＝(5，x)，两向量方向相反，则x＝( A )
A．－5
B．5
C．－1
D．1
解析：当两向量对应坐标异号或同为零时方向相反．易知选A.
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1＋λ2＝1.
解析：由c＝λ1a＋λ2b，
得(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)．
所以
解得λ1＝－1，λ2＝2，所以λ1＋λ2＝1.
4．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝1.
解析：a－2b＝(，1)－(0，－2)＝(，3)，
∵a－2b与c共线，
∴存在实数λ使λ(，3)＝(k，)，
即(λ，3λ)＝(k，)，
∴∴
5．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件．
解：＝－＝(6，－3)－(3，－4)＝(3,1)，
＝－＝(5－m，－3－m)－(3，－4)＝(2－m,1－m)．
由于点A，B，C能构成三角形，则与不共线，
所以3(1－m)－(2－m)≠0，解得m≠.
——本课须掌握的两大问题
1．对向量共线条件的理解
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，由x1y2－x2y1＝0成立，可判断a与b共线；反之，若a与b共线，它们的坐标应满足x1y2－x2y1＝0.
(2)在讨论向量共线时，规定零向量可以与任一向量共线，故在x2y2≠0的条件下，a与b共线的条件可化为＝，即两向量共线的条件为相应坐标成比例．
2．三点共线问题
(1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则A、B、C三点共线的条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0.
(2)若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下两种方法：
①直接利用上述条件，计算(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)是否为0.
②任取两点构成向量，计算出两向量如，，再通过两向量共线的条件进行判断．
PAGE
-
10
-6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
[目标]
1.会用坐标表示平面向量的数量积；2.能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角；3.能够利用坐标判断向量的垂直关系．
[重点]
用坐标表示平面向量的数量积．
[难点]
用坐标求向量的模及两向量的夹角．
要点整合夯基础
知识点一 面向量数量积的坐标表示
[填一填]
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
[答一答]
1．公式a·b＝|a||b|cosθ与a·b＝x1x2＋y1y2有什么区别与联系？
提示：两个公式都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式的差异，可以相互推导；若题目给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用a·b＝|a||b|·cosθ求解，若已知两向量的坐标，则可选用a·b＝x1x2＋y1y2求解．
知识点二 平面向量长度(模)的坐标表示
[填一填]
若向量a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝.
其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根．
[答一答]
2．对于任意的非零向量a＝(x，y)，如何用坐标表示与向量a同向的单位向量？
提示：记向量a的单位向量为a0，则a0＝，且|a|＝，所以a0＝＝(x，y)＝(，)，此为与向量a＝(x，y)同向的单位向量．
3．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求线段AB的长度？
提示：由于＝(x2－x1，y2－y1)且线段AB的长度等于向量的模，所以线段AB＝||＝.
知识点三 两向量垂直的坐标表示
[填一填]
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
[答一答]
4．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示有何区别？
提示：若a∥b?x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0.
若a⊥b?x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.
两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．
知识点四 平面向量夹角的坐标表示
[填一填]
设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cosθ＝＝(0≤θ≤π)．
[答一答]
5．两向量a与b满足a·b<0，a与b的夹角一定是钝角吗？
提示：不一定，a与b夹角可能是180°.
典例讲练破题型
类型一 平面向量数量积的坐标运算
[例1] 已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，求a·b，(a＋b)·(2a－b)．
[分析] 运用向量数量积坐标运算的法则及相关性质求解．
[解] a·b＝1×2＋3×5＝17.
∵a＋b＝(3,8)，2a＝(2,6)，
∴2a－b＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，
∴(a＋b)·(2a－b)＝3×0＋8×1＝8.
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.
[变式训练1] 向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( C )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)×(1，－1)＝1.
类型二 向量的模的问题
[例2] (1)向量与向量a＝(－3,4)的夹角为π，||＝10，若点A的坐标是(1,2)，则点B的坐标为( )
A．(－7,8)
B．(9，－4)
C．(－5,10)
D．(7，－6)
(2)设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1，－1)，则|b|＝________，cosθ＝________.
[解析] (1)∵向量与向量a＝(－3,4)的夹角为π，
∴设＝ka＝k(－3,4)＝(－3k,4k)(k<0)．
由此可得||＝＝10，
解之得k＝－2(k＝2舍去)．
∴＝(6，－8)，
设B(m，n)，得＝(m－1，n－2)＝(6，－8)，
则有解得m＝7，n＝－6，
∴B(7，－6)，故选D.
(2)b＝a＋(－1，－1)＝(1,1)，
则|b|＝，a·b＝6.又|a|＝3，
所以cosθ＝＝＝1.
[答案] (1)D (2) 1
(1)要求向量的模需先由条件求出向量的坐标，再求模．
(2)已知向量的模求坐标，要设出坐标列方程(组)求解．
[变式训练2] 已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2,3)同向，且||＝2，则点B的坐标为( D )
A．(5，－4)
B．(4,5)
C．(－5，－4)
D．(5,4)
解析：设B(x，y)，则＝(x－1，y＋2)，
由与a＝(2,3)同向，所以3(x－1)＝2(y＋2)>0，①
又||＝2，所以＝2，②
联立①②解得x－1＝4且y＋2＝6.
所以x＝5且y＝4，故B(5,4)，选D.
类型三 向量的夹角与垂直问题
[例3] (1)已知a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且a与b的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(－2，)
B．(，＋∞)
C．(－2，)∪(，＋∞)
D．(－∞，)
(2)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
[分析] 对非零向量a与b，设其夹角为θ，则θ为锐角?cosθ>0且cosθ≠1?a·b>0且a≠mb(m>0)；θ为钝角?cosθ<0且cosθ≠－1?a·b<0且a≠mb(m<0)；θ为直角?cosθ＝0?a·b＝0.
[解析] (1)∵a与b的夹角θ为锐角，
∴cosθ>0且cosθ≠1，即a·b>0且a与b方向不同，
即a·b＝1－2λ>0，且a≠mb(m>0)，
解得λ∈(－∞，－2)∪(－2，)．故选A.
(2)因为a＋b＝(m－1,3)，a＋b与a垂直，所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.
[答案] (1)A (2)7
根据向量的坐标表示求a与b的夹角时，需要先求出a·b及|a|，|b|，再求夹角的余弦值，从而确定θ.
[变式训练3] 平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝2.
解析：设c与a的夹角为α，c与b的夹角为β，由已知得c＝(m＋4,2m＋2)，因为cosα＝，cosβ＝，所以＝，又由已知得|b|＝2|a|，所以2c·a＝c·b，即2[(m＋4)＋2(2m＋2)]＝4(m＋4)＋2(2m＋2)，解得m＝2.
课堂达标练经典
1．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x等于( C )
A．3 B.
C．－ D．－3
解析：3a·b＝3(2x－6x)＝－12x＝4，∴x＝－.
2．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是( C )
A．{2,3}
B．{－1,6}
C．{2}
D．{6}
解析：考查向量垂直的坐标表示，a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，
∵a⊥b，∴a·b＝2(x－5)＋3x＝0，解之得x＝2，则由x的值构成的集合是{2}．
3．已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝2.
解析：因为a＋b＝(－1，)，所以|a＋b|＝＝2.
4．已知a＝(2,4)，a－2b＝(0,8)，则a，b夹角的余弦值等于－.
解析：∵a＝(2,4)，a－2b＝(0,8)，∴b＝[a－(a－2b)]＝(1，－2)，∴a·b＝2－8＝－6.设a，b的夹角为θ，∵a·b＝|a|·|b|·cosθ＝2××cosθ＝10cosθ，∴10cosθ＝－6，∴cosθ＝－.
5．已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b和c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m与向量n的夹角的大小．
解：(1)∵a∥b，∴3x－36＝0.∴x＝12.
∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0.∴y＝－3.
∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)，
设m，n的夹角为θ，
则cosθ＝＝
＝＝－.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝，即m，n的夹角为.
——本课须掌握的三大问题
1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．
2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．
3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
学科素养培优精品微课堂
平面向量数量积与三角函数的交汇问题
开讲啦
用含有三角函数的坐标表示向量，就使得向量与三角函数建立了密切的内在联系．通过向量的坐标运算，
将向量条件转化为三角函数关系是解题的第一步，根据题目要求，求解余下的三角函数问题是解题的第二步，利用这两步求解的策略，可将向量与三角函数的综合问题转化为两个基本问题解决．
[典例] 在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈.
(1)若m⊥n，求tanx的值．
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
[解] (1)因为m＝，
n＝(sinx，cosx)，m⊥n.
所以m·n＝0，即sinx－cosx＝0，
所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.
(2)因为|m|＝|n|＝1，
所以m·n＝cos＝，
即sinx－cosx＝，
所以sin＝，
因为0所以x－＝，即x＝.
[针对训练] 已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)．
(1)求向量(b＋c)的长度的最大值；
(2)设α＝，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值．
解：(1)∵b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)，
∴b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，
∴|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)．
∵－1≤cosβ≤1，
∴0≤|b＋c|2≤4.∴0≤|b＋c|≤2.
当cosβ＝－1时，|b＋c|＝2.
∴(b＋c)的长度的最大值为2.
(2)∵α＝，∴a＝.
又b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)，
∴a·(b＋c)＝·(cosβ－1，sinβ)＝cosβ＋sinβ－.
∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0，即cosβ＋sinβ＝1.
∴sinβ＝1－cosβ.
∴sin2β＝1－2cosβ＋cos2β.
∴cosβ(cosβ－1)＝0.
解之得cosβ＝0或cosβ＝1.
经检验，当cosβ＝1时，b＝(1,0)，
即b＋c＝0，此时a与(b＋c)共线，故舍去．
∴cosβ＝0.
PAGE
-
1
-
