6.4 平面向量的应用
6．4.1 平面几何中的向量方法
[目标]
1.通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的“三步曲”；2.明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示．
[重点]
用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”．
[难点]
如何将几何等实际问题化归为向量问题．
要点整合夯基础
知识点一 向量方法在几何中的应用
[填一填]
对于平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：
a∥b(b≠0)?b＝λa?x1y2－x2y1＝0.
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝＝.
(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝或＝.
[答一答]
1．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，a＝，如何用坐标表示a和|a|?
提示：a＝(x2－x1，y2－y1)，
|a|＝.
知识点二 平面几何中的向量方法
[填一填]
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．
[答一答]
2．用向量可以解决平面几何中的哪些问题？
提示：(1)证明线段平行或相等，可以用向量的数乘、向量共线定理．
(2)证明线段垂直，可以用向量的数量积运算．
(3)利用向量的数量积运算，可以求线段的长度、夹角及平面图形的面积．
典例讲练破题型
类型一 利用向量证明平行或垂直问题
[例1] 如图所示，若四边形ABCD为平行四边形，EF∥AB，AE与BF相交于点N，DE与CF相交于点M.
求证：MN∥AD.
[分析] 本题是求判定直线平行的问题，它可以转化为证明向量共线来解决．
[证明] ∵EF∥AB，∴△NEF∽△NAB，
设＝μ(μ≠1)，
则＝μ，＝(μ－1)，
同理，由∥，可得＝(μ－1)，
∴＝－＝－＝(μ－1)，
∵μ≠1，令λ＝μ－1，∴＝λ，即AD∥MN.
[变式训练1] 如图所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，试用向量证明：AC⊥BD.
证明：∵＝＋，＝－，
∴·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0.
∴⊥，∴AC⊥BD.
类型二 利用向量解决长度和夹角问题
[例2] 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.
求：(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
[分析] 本题是求线段长度和夹角的问题，它可以转化为求向量的模来解决．
[解] (1)设＝a，＝b，
则＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋＝a＋b.
∴||2＝2＝2
＝a2＋2×a·b＋b2
＝×9＋2××3×3×cos120°＋×9＝3.
∴AD＝.
(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量与的夹角．
∴cosθ＝＝
＝＝＝0.
∴θ＝90°，∴∠DAC＝90°.
先利用图形特点和已知条件选择基底表示目标向量，再利用公式求解是解决与平面图形有关的向量夹角及长度问题的常见方法.
[变式训练2] 如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
解：设＝a，＝b，则＝a－b,
＝a＋b.
而||＝|a－b|＝＝＝＝2，①
∴||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2
＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋4＋2a·b.
∵由①得2a·b＝1.
∴||2＝6，
∴||＝，即AC＝.
课堂达标练经典
1．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为( D )
A．平行四边形
B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
解析：∵∥，||＝||，且⊥，故四边形为菱形．
2．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( B )
A．－2
B．－
C．－
D．－1
解析：取BC的中点D，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线AD为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系，
则A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，
所以＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，
所以＋＝(－2x，－2y)，·(＋)＝2x2－2y(－y)＝2x2＋22－≥－.
当P时，·(＋)取得最小值，最小值为－.
3．在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝BC＝4，则·＝16.
解析：由∠C＝90°，AC＝BC＝4，知△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝4，∠ABC＝45°，∴·＝4×4×cos45°＝16.
4．已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝1.
解析：
建立平面直角坐标系，如图所示，设AD＝t(t>0)，则A(0,0)，C(1，t)，B(2,0)．
则＝(1，t)，＝(－1，t)．
由AC⊥BC知·＝－1＋t2＝0，
解得t＝1，故AD＝1.
5．已知在四边形ABCD中，对角线AC、BD相互平分，且AC⊥BD，求证：四边形ABCD是菱形．
证明：设对角线AC、BD交于点O，则有＝，＝，
∴＋＝＋，∴＝，
故四边形ABCD是平行四边形．
又∵||2＋||2＝||2，
||2＋||2＝||2，
∴||＝||，故四边形ABCD是菱形．
——本课须掌握的问题
用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向：
(1)几何法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．
PAGE
-
7
-6.4.2 向量在物理中的应用举例
[目标]
1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤；2.明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识．
[重点]
运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算．
[难点]
将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题．
要点整合夯基础
知识点一 向量在物理中的应用
[填一填]
1．物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量．
2．物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法运算．用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也用坐标运算．
3．力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F和s的夹角)．
[答一答]
1．利用向量解决物理中的问题的实质是什么？
提示：向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后用所获得的结果解释物理现象．
2．利用向量解决物理问题时应注意什么？
提示：在用向量解决物理问题时，应作出相应的图形，以帮助建立数学模型，分析解题思路．
在解题过程中要注意两方面的问题：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．
知识点二 用向量讨论物理中相关问题的步骤
[填一填]
用向量讨论物理中相关问题，一般来说分为四步：
(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；
(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；
(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；
(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．
[答一答]
3.
用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10
N，则每根绳子的拉力大小为10
N.
解析：设重力为G，每根绳的拉力分别为F1、F2，
则由题意得F1，F2与－G都成60°角，
且|F1|＝|F2|，∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10
N，
∴每根绳子的拉力都为10
N.
典例讲练破题型
类型一 向量的线性运算在物理中的应用
[例1] 在重300
N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．
[解] 如图，两根绳子的拉力之和＋＝，且||＝||＝300
N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，
在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠AOC＝30°，则∠OAC＝90°，
从而||＝||·cos30°＝150
N.
||＝||·sin30°＝150
N.
所以||＝||＝150
N.
利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则，运算律或性质计算.第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算.
[变式训练1] 帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20
km/h，此时水的流向是正东，流速为20
km/h，若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．
解：建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20
km/h，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20
km/h，该帆船行驶的速度为v，则v＝v1＋v2，由题意，可得向量v1＝(20cos60°，20sin60°)＝(10,10)，向量v2＝(20,0)，则帆船的行驶速度v＝v1＋v2＝(10，10)＋(20,0)＝(30,10)，
所以|v|＝＝20(km/h)．
因为tanα＝＝(α为v和v2的夹角，α为锐角)，
所以α＝30°，所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20
km/h.
类型二 向量的数量积在物理中的应用
[例2] 已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50
N，一个质量为8
kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20
m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10
m/s2)
[解] 如图所示，设木块的位移为s，则
WF＝F·s＝|F||s|cos30°＝50×20×＝500(J)．
将力F分解，它的铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|＝|F|sin30°＝50×＝25(N)．
所以摩擦力f的大小为
|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)．
因此Wf＝f·s＝|f||s|cos180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．
即F和f所做的功分别为500
J和－22
J.
物理中力F所做功W问题常运用向量的数量积解决．
[变式训练2] 一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8
m，其中|F1|＝2
N，方向为北偏东30°，|F2|＝4
N，方向为北偏东60°，|F3|＝6
N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．
解：以物体上的一点O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示．
则F1＝(1，)，F2＝(2，2)，
F3＝(－3,3)，
所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2,2＋4)．
又因为位移s＝(4，4)．
所以合力F所做的功为W＝F·s＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝4×6＝24(J)．
即合力F所做的功为24
J.
课堂达标练经典
1．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10
N，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10
m，则力F做的功为( B )
A．100
J
B．50
J
C．50
J
D．200
J
解析：设小车位移为s，则|s|＝10
m，WF＝F·s＝|F||s|·cos60°＝10×10×＝50
J.
2．坐标平面内一只小蚂蚁以速度ν＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为( B )
A．2
B．3
C．4
D．8
解析：|ν|＝＝，又||＝＝，∴时间t＝＝3.
3．已知力F＝(2,3)作用于一物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2,3)，则力F对物体所做的功为1.
解析：W＝F·s＝F·＝(2,3)×(－4,3)＝－8＋9＝1.
4．如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是①③(写出正确的所有序号)．
①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断减小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．
解析：设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ(0<θ<)．
则|F|cosθ＝|f|，∴|F|＝，
∵θ增大，cosθ减小，∴|F|增大，
∵|F|sinθ增大，∴船的浮力减小．
5．一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风往东偏南30°方向吹，风速为4米/秒，这时气象台报告实际风速为2米/秒．试求风的实际方向和汽车的速度大小．
解：依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为ν车地，风对车的速度为ν风车、风对地的速度为ν风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即ν风地＝ν风车＋ν车地．如图，
根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量ν风地的有向线段是平行四边形ABDC的对角线．
因为||＝4，∠ACD＝30°，||＝2，
所以∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，||＝||cos30°＝2，即风的实际方向是由正北向正南方向，汽车速度的大小为2米/秒．
——本课须掌握的两大问题
1．物理中的速度、加速度、位移都具有大小和方向，它们都是向量，从而物理量之间的关系可抽象为数学模型来解决．速度的分解也就是向量的分解，因而满足平行四边形法则．
2．用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：①问题的转化：把物理问题转化成数学问题；②模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；③参数的获取：求出数学模型的解；④问题的答案：回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．
PAGE
-
1
-6．4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
[目标]
1.了解向量法推导余弦定理的过程；2.能利用余弦定理求三角形中的边角问题．
[重点]
能利用余弦定理求三角形中的边角问题．
[难点]
余弦定理的推导及能利用余弦定理求三角形中的边角问题．
要点整合夯基础
知识点一 余弦定理
[填一填]
[答一答]
1．在△ABC中，若a2＝b2＋c2，a2>b2＋c2，a2
提示：若a2＝b2＋c2，则△ABC是直角三角形；
若a2>b2＋c2，则△ABC是钝角三角形；
若a22．勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系．你能说说这两个定理之间的关系吗？
提示：余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例．
知识点二 余弦定理及其推论的应用
[填一填]
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
余弦定理及其推论可解决两类基本的解三角形的问题：一类是已知两边及夹角解三角形；另一类是已知三边解三角形．
[答一答]
3．在三角形中，已知两边及一边的对角，能否用余弦定理解该三角形？
提示：能用余弦定理解．设另一边为x，由余弦定理列出方程求解．
4．余弦定理推论的作用有什么？
提示：余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角.
典例讲练破题型
类型一 已知三角形三边解三角形
[例1] 已知△ABC中，a?b?c＝2??(＋1)，求△ABC的各内角度数．
[分析] 根据三边比例关系设出三边，然后用余弦定理推论求出两个内角，再用三角形内角和定理求出第三个内角．
[解] ∵a?b?c＝2??(＋1)，
令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)．
由余弦定理的推论得：cosA＝
＝＝，∴A＝45°，
cosB＝＝＝，
∴B＝60°.
∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
已知三角形的三边求三角时，一般利用余弦定理的推论先求出两角，再根据三角形内角和定理求出第三个角．
利用余弦定理的推论求角时，应注意余弦函数在(0，π)上是单调的．当余弦值为正时，角为锐角；当余弦值为负时，角为钝角．
[变式训练1] (1)在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为( B )
A.
B.
C.
D.
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则此三角形的最大边长为14.
解析：(1)∵a>b>c，∴C为最小角且C为锐角，
由余弦定理，得cosC＝
＝＝.
又∵C为锐角，∴C＝.
(2)已知a－b＝4，则a>b且a＝b＋4.又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，则b>c，从而知a>b>c，所以a为最大边，故A＝120°，b＝a－4，c＝2b－a＝a－8.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2＋bc＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.又b＝a－4>0，所以a＝14，即此三角形的最大边长为14.
类型二 已知三角形两边及一角解三角形
[例2] (1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a；
(2)已知在△ABC中，A＝60°，最大边和最小边的长是方程3x2－27x＋32＝0的两实根，求边BC的长．
[分析] (1)已知两边及其夹角，可直接利用余弦定理求出第三条边；
(2)利用余弦定理、根与系数的关系进行求解．
[解] (1)由余弦定理，
得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋(2)2－2×3×2cos30°＝3，所以a＝.
(2)由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，
其中a＝BC，b＝AC，c＝AB.
由方程根与系数关系，b·c＝，b＋c＝9，
∴a2＝81－×2－2××＝49，
∴a＝7.∴BC＝7.
已知三角形的两边及一角解三角形的方法,已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.
[变式训练2] 若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( A )
A.
B．8－4
C．1
D.
解析：(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab＝4，
又c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab，
∴a2＋b2－c2＝ab，∴3ab＝4，∴ab＝.
类型三 判断三角形的形状
[例3] 在△ABC中，若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且sinC＝2cosAsinB，试判断△ABC的形状．
[分析] 判断三角形的形状时，一般有两种思路：一种是考虑三角形的三边关系；另一种是考虑三角形的内角关系．当然有时可将边和角巧妙结合，同时考虑．
[解] ∵△ABC中，sinC＝sin(A＋B)，
又2cosAsinB＝sinC＝sinAcosB＋cosAsinB，
∴sin(A－B)＝0，
又∵－180°又∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
∴(a＋b)2－c2＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab.
∴由余弦定理知2abcosC＝ab，
∴cosC＝.∴C＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线：?1?先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.?2?先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
[变式训练3] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，b＝3c，试判断△ABC的形状．
解：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA.
又因为cosA＝，b＝3c，
所以a2＝b2＋c2－2×3c×c×＝b2－c2.
所以a2＋c2＝b2，所以B＝，
所以△ABC是直角三角形.
课堂达标练经典
1．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为( C )
A．4
B．8
C．4或8
D．无解
解析：由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.
2．在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于( C )
A．1
B.
C．2
D．4
解析：bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＝a＝2.
3．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝，c＝2，则b＝2.
解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋12－2×2×2×＝4，所以b＝2.
4．在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是.
解析：由余弦定理得cosC＝＝，
∴C∈(0，)，
∴sinC＝，∴AD＝AC·sinC＝.
5．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长．
解：5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)·(x＋2)＝0.
∴x1＝，x2＝－2(舍去)．
∴cosC＝.
根据余弦定理，
c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×＝16.
∴c＝4，即第三边长为4.
——本课须掌握的四大问题
1．适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
2．结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”．
3．揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．
4．主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．
学科素养培优精品微课堂
余弦定理与方程思想的综合
开讲啦
余弦定理中涉及三边一角，未知量较多，题目所给条件往往不是一个，需要根据具体条件进行整合，建立方程或方程组求解．
[典例] 如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，D为BC的中点，且AD＝，求BC边长．
[分析] 此题所给已知条件只有边长，应考虑在设BC边为x后，建立关于x的方程．此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用．因为D为BC的中点，所以BD，DC可表示为，然后利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程．
[解] 设BC边为x，则BD＝DC＝.
在△ADB中，cos∠ADB＝
＝，
在△ADC中，cos∠ADC＝
＝.
∵∠ADB＋∠ADC＝180°，
∴cos∠ADB＝cos(180°－∠ADC)＝－cos∠ADC，
∴＝－.
解得x＝9.∴BC边长为9.
[名师点评]解决此类题应注意利用余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，同时注意利用公共边这一等量关系，这也是解三角形中经常用到的等量关系．
[针对训练] 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，A＝60°，bc＝4，求b，c.
解：方法一：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc－2bccosA，得b＋c＝4，
∴b，c为方程x2－4x＋4＝0的两根，∴b＝c＝2.
方法二：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，
∴b2＋c2＝8，则
∵b>0，c>0，∴解得
PAGE
-
8
-第2课时 正弦定理
[目标]
1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其基本应用；2.能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状.3.能利用正、余弦定理解决综合问题．
[重点]
应用正弦定理进行边角转化，解决三角形问题．
[难点]
正弦定理的理解及推导及能利用正、余弦定理解决综合问题．
要点整合夯基础
知识点一 正弦定理
[填一填]
[答一答]
1．在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？
提示：这个比值恰好等于该三角形外接圆的直径2R，即＝＝＝2R，其中R是该三角形外接圆的半径．
2．在△ABC中，a＝4b，则＝4.
解析：由正弦定理＝，得＝＝＝4.
知识点二 正弦定理的变形公式
[填一填]
①a＝＝，b＝＝，c＝＝；
②a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
③sinA＝，sinB＝，sinC＝；
④a?b?c＝sinA?sinB?sinC.
其中，R为△ABC外接圆的半径．
这些常见的公式的变形形式应熟练掌握，在解决具体问题时，根据不同的题设条件灵活选用不同的变形公式．
[答一答]
3．正弦定理的变形公式的作用是什么？正弦定理的适用范围是什么？
提示：由正弦定理的变形公式可以实现三角形中边与角之间的相互转化，正弦定理对任意的三角形都成立．
4．在△ABC中，A>B与sinA>sinB的关系怎样？
提示：在△ABC中，若A>B，则a>b.由正弦定理得2RsinA>2RsinB，即sinA>sinB.
若sinA>sinB，则2RsinA>2RsinB(R是△ABC的外接圆半径)．由正弦定理得a>b.
综上所述，在△ABC中，A>B与sinA>sinB等价．
知识点三 利用正弦定理判断三角形的解的个数
[填一填]
已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下：
由正弦定理得sinB＝，
①若>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解．
②若＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解．
③若<1，则满足条件的三角形个数为1或2.
[答一答]
5．利用正弦定理能解什么条件下的三角形？
提示：正弦定理的等式中有四个量，所以知其中三个，可求第四个．因此，知两角及一边可解三角形；知两边及一边的对角也可解三角形．
6．在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，判断三角形解的个数．
提示：由正弦定理和已知条件，得sinC＝＝，
∴C＝60°或C＝120°均符合题意．
∵①若C＝60°，则A＝90°，于是a＝＝6.
②若C＝120°，则A＝30°，于是a＝b＝3.
∴C＝60°，A＝90°，a＝6或C＝120°，A＝30°，a＝3.
∴三角形有两个解.
典例讲练破题型
类型一 已知两角和任意一边解三角形
[例1] 在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．
[分析] 由三角形的内角和定理可求A的度数．根据正弦定理可求a，c.
[解] 因为B＝30°，C＝105°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理，得＝＝，
解得a＝＝4，c＝＝2(＋)．
已知两角及一边解三角形的解题方法
1.若所给边是已知角的对边，可先由正弦定理求另一边，再由三角形的内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.
2.若所给边不是已知角的对边，则先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.
[变式训练1] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝.
解析：在△ABC中，由cosA＝，cosC＝，
可得sinA＝，sinC＝，
sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝，
又a＝1，由正弦定理得b＝＝.
类型二 已知两边及一边的对角解三角形
[例2] 下列三角形是否有解？有解的作出解答．
(1)a＝7，b＝8，A＝105°；
(2)b＝10，c＝5，C＝60°；
(3)a＝2，b＝6，A＝30°.
[分析] 利用三角形中大边对大角定理以及结合有解无解的图形来考虑．
[解] (1)a＝7，b＝8，a90°，本题无解．
(2)b＝10，c＝5，b∵sinB＝＝＝，
∴B＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°.
∴a＝＝＝＝5(＋1)．
(3)a＝2，b＝6，a又∵bsinA＝6sin30°＝3，∴a>bsinA，
∴本题有两解．
由正弦定理得：
sinB＝＝＝，∴B＝60°或120°，
当B＝60°时，C＝90°，c＝＝＝4；
当B＝120°时，C＝30°，c＝＝＝2.
∴B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2.
本例属于已知两边及其中一边的对角求解三角形的类型．此类问题解的情况如下：
[变式训练2] (1)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB等于( D )
A．－ B. C．－ D.
(2)在△ABC中，若C＝2B，则的取值范围为(1,2)．
解析：(1)由正弦定理，得＝，
∴sinB＝＝＝.
∵a>b，∴A>B，又∵A＝60°，∴B为锐角，
∴cosB＝＝＝.
(2)因为A＋B＋C＝180°，C＝2B，
所以A＝180°－3B>0，所以0所以因为＝＝＝2cosB，
所以1<2cosB<2，故1<<2.
类型三 利用正弦定理判断三角形的形状
[例3] 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．
[分析] 注意到a，b在条件式中是齐次的，因此可以考虑利用正弦定理将边化为角，通过角的特征或者关系来判断三角形的形状．
[解] 因为(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，
所以b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]
＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，
所以2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，
即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.
由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，
所以sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，
又sinA·sinB≠0，所以sinAcosA＝sinBcosB，
所以sin2A＝sin2B.
在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，
所以2A＝2B或2A＝π－2B.
所以A＝B或A＋B＝.
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
1.判断三角形的形状，可以从三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断.
2.判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.
[变式训练3] 在△ABC中，lg(sinA＋sinC)＝2lgsinB－lg(sinC－sinA)，判断△ABC的形状．
解：由题意得(sinA＋sinC)(sinC－sinA)＝sin2B，
即－sin2A＋sin2C＝sin2B.由正弦定理得－a2＋c2＝b2，
即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．
类型四 正弦定理和余弦定理的综合应用
命题角度1：利用正、余弦定理解三角形
[例4] 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，设a，b，c满足条件b2＋c2－bc＝a2和＝＋，求角A和tanB的值．
[分析] 求角A的关键是利用余弦定理的推论：cosA＝.利用正弦定理将已知条件边化角，即＝＝＋，再结合A＋B＋C＝180°，解三角方程可求tanB.
[解] 由余弦定理，得cosA＝＝，
∵0°在△ABC中，C＝180°－A－B＝120°－B.
由已知条件和正弦定理，得
＋＝＝＝
＝＝×＋，
解得tanB＝.
在解三角形时，常常将正、余弦定理结合在一起使用，要注意恰当选取定理，简化运算过程，提高解题速度.同时，要注意与平面几何中的有关性质、定理结合起来，挖掘题目中的隐含条件.解题时要综合、灵活地运用这两个定理，认真分析已知条件，结合三角形的有关性质?如大角对大边，大边对大角，三角形内角和定理等?，并注意数形结合，防止出现漏解或增解的情况.
[变式训练4] 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，＋＝.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，△ABC的面积为，求边b，c.
解：(1)由＋＝及正弦定理得＋＝，
整理得，sinAcosB＋cosAsinB＝2sinCcosA，
即sin(A＋B)＝2sinCcosA.
因为sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，且sinC≠0.
所以，cosA＝.又0(2)因为△ABC的面积S＝bcsinA＝bcsin＝，所以bc＝4.①
由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA,22＝b2＋c2－2bccos，所以b2＋c2＝8，②
联立①②，解得b＝c＝2.
命题角度2：利用正、余弦定理判断三角形形状
[例5] 在△ABC中，若(a－ccosB)sinB＝(b－ccosA)·sinA，判断△ABC的形状．
[分析]
[解] 解法一：∵(a－ccosB)sinB＝(b－ccosA)sinA，
∴由正、余弦定理，得
·b＝·a，
整理，得(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.
∴a2＋b2＝c2或a＝b.
故△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
解法二：根据正弦定理，原等式可化为
(sinA－sinCcosB)sinB＝(sinB－sinCcosA)sinA，
即sinCcosBsinB＝sinCcosAsinA.
∵sinC≠0，∴sinBcosB＝sinAcosA.
∴sin2B＝sin2A.
∴2B＝2A或2B＋2A＝π，即A＝B或A＋B＝.
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
依据已知条件中的边角关系判断三角形形状时，主要有如下两种方法：
1.利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.
[变式训练5] 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.
(1)求角A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝，试判断△ABC的形状．
解：(1)∵2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，
∴2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，
∴cosA＝＝.
∵0°(2)∵A＋B＋C＝180°，
∴B＋C＝180°－60°＝120°，
由sinB＋sinC＝，得sinB＋sin(120°－B)＝，
∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝，
∴sinB＋cosB＝，
即sin(B＋30°)＝1.
又∵0°∴30°∴B＋30°＝90°，即B＝60°，
∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC为正三角形.
课堂达标练经典
1．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝( B )
A．4
B．2
C.
D.
解析：由正弦定理得＝，
即＝，解得AC＝2.
2．在△ABC中，若A?B?C＝2?3?7，则a?b等于( C )
A．1?2
B．2?3
C．1?
D．1?
解析：由A?B?C＝2?3?7及A＋B＋C＝180°，
得A＝30°，B＝45°.由正弦定理，
得a?b＝sinA?sinB＝?＝1?.
3．在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于.
解析：由正弦定理得，
2sinAsinB＝sinB，sinA＝，
因为△ABC为锐角三角形，所以A＝.
4．三角形ABC的三内角A、B、C所对的边长分别是a，b，c.若(a＋b)(sinB－sinA)＝(a＋c)sinC，则角B的大小为.
解析：由正弦定理得，(a＋b)(b－a)＝(a＋c)c，
即b2－a2＝ac＋c2，a2＋c2－b2＝－ac，
cosB＝＝－.
又B∈(0，π)，所以B＝.
5．在△ABC中，求证：＝.
证明：因为右边＝
＝×cosB－×cosA
＝×－×
＝－＝＝左边．
所以＝.
——本课须掌握的两大问题
1．对正弦定理的理解
(1)结构形式
正弦定理的关系式是分子为边长，分母为该边所对角的正弦的分式连等式，实际上是三个边角关系式：＝，＝，＝.
(2)定理本质
正弦定理指出了任意三角形中三条边与它们所对角的正弦之间的一个关系式．由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．
(3)主要功能：实现三角形中边角关系的转化．
2．三角形解的个数的确定
当三角形的两角和任一边确定时，三角形唯一确定；当三角形中已知两边和其中一边的对角时，三角形不能唯一确定，可能出现一解、两解或无解的情况．
判断三角形解的个数可由“三角形中大边对大角”来判定．设A为锐角，若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有一解；若a1，无解；②sinB＝1，一解；③sinB<1，两解．
由于正弦定理、余弦定理阐述了三角形的边角之间的关系，因此对于三角形中的综合问题可以运用正弦定理、余弦定理以及三角函数公式的知识解决．有时题目还会涉及向量等其他章节的知识，要全面掌握才可以解题．
学科素养培优精品微课堂
三角形解的个数的判断
开讲啦
对已知两边和其中一边的对角的三角形解的情况要熟练掌握，当其中一边不确定时需要分类讨论．
[典例] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝4，A＝30°，b＝x(x>0)，判断此三角形解的个数．
[分析] 由于b是不确定的边长，无法知道a与b的大小关系，即无法判断B是否为钝角，这就需要对x的取值进行分类讨论．
[解] 解法一：当0当4当x＝8时，sinB＝1，则B＝90°，此时△ABC有一解；
当x>8时，sinB＝>1，B无解，此时△ABC无解．
综上可知，当0当48时，△ABC无解．
解法二：A＝30°，是锐角，分三种情况：
①当a＝bsinA或a≥b，即4＝xsin30°或4≥x，
即x＝8或0②当xsin30°<4③当48时，三角形无解．
综上可知，当0当4当x>8时，△ABC无解．
[针对训练] 在△ABC中，分别根据下列条件指出三角形解的个数．
(1)a＝4，b＝5，A＝30°；
(2)a＝5，b＝4，A＝60°；
(3)a＝，b＝，B＝120°；
(4)a＝，b＝，A＝60°.
解：(1)∵a∴bsinA(2)∵a>b，A<90°，∴B(3)∵B>90°，a>b，∴无解．
(4)∵aPAGE
-
13
-第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例
[目标]
1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中距离、角度和高度的测量问题；2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．
[重点]
正弦、余弦定理解决生产实践中距离、角度和高度的测量问题．
[难点]
实际问题的理解与建模．
要点整合夯基础
知识点一 测量中的有关概念、名词、术语
[填一填]
1．俯角和仰角：如图所示，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．
2．方向角和方位角
①指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫方向角．目标方向线方向一般可用“×偏×”多少度来表示，这里第一个“×”是“北”或“南”，第二个“×”是“东”或“西”．如图所示，OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东60°、北偏西30°、南偏西45°、南偏东20°.
②方位角：从某点开始的指北方向线按顺时针转到目标方向线为止的水平角叫方位角．
3．坡度和坡比
坡面与水平面所成的夹角的度数叫坡度，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡比.如图所示．
[答一答]
1．“视角”是“仰角”吗？
提示：不是．视角是指观察物体的两端视线张开的角度．如图所示，视角60°指的是观察该物体上下两端点时，视线的张角．
2．方向角和方位角有何区别？
提示：方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，而方位角是从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角．
3．坡度和坡比有什么区别？
提示：坡度是坡面与水平面所成的夹角的度数，而坡比是坡面的铅直高度与水平宽度的比．
知识点二 基线
[填一填]
在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
[答一答]
4．测量是否一定要选取基线？
提示：测量一定要选取基线，因为无论应用正弦定理还是余弦定理解三角形时，至少应已知一边的长度．
知识点三 距离问题
[填一填]
1．测量从一个可到达的点A到一个不可到达的点B之间的距离问题．如图所示．
这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理就可解决．
2．测量两个不可到达的点A，B之间的距离问题．如图所示．
首先把未知的BC和AC的距离问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间距离的问题；然后把求不可到达
的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题．
[答一答]
5．解与三角形有关的应用题的基本思路是什么？
提示：基本思路(如图)：
知识点四 高度与角度问题
[填一填]
1．高度问题
测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦或余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
2．角度问题
测量角度就是在三角形内，利用正弦定理和余弦定理求角的三角函数值，然后求角，再根据需要求所求的角．
[答一答]
6．为了测量某建筑物的高度所构造的三角形，其所在平面与地面之间有什么关系？
提示：为了测量某建筑物的高度所构造的三角形，其所在平面与地面垂直．
7．解三角形应用问题常见的几种情况是什么？
提示：解三角形实际应用问题经抽象概括为解三角形问题时，常见情况有以下几种：
(1)已知量与未知量全都集中在一个三角形中，可直接用正弦定理或余弦定理求解；
(2)已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形．这时可先解条件充足的三角形，然后逐步求解其他三角形；有时需要设出未知量，从几个三角形中利用正弦或余弦定理列出方程或方程组，解方程或方程组得到答案．
典例讲练破题型
类型一 距离问题
命题角度1：测量从一个可到达的点，到一个不可到达的点之间的距离
[例1] 为了测量水田两侧A，B两点间的距离(如图所示)，某观测者在A的同侧选定一点C，测得AC＝8
m，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，求A，B两点间的距离．
[分析] 将问题转化为解△ABC的问题．
[解] 根据正弦定理得＝，
∴AB＝
＝
＝＝8(－1)
(m)．
即A，B间的距离为8(－1)
m.
[变式训练1] 如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120米，求河的宽度．
解：在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，
∴∠ACB＝60°.由正弦定理可得AC＝.
∴AC＝＝20(3＋)(米)．
设C到AB的距离为CD，则
CD＝ACsin∠CAB＝AC＝20(＋3)．
∴河的宽度为20(＋3)米．
命题角度2：测量两个不可到达的点之间的距离
[例2] 如图，为了测量正在海面匀速行驶的某船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C，D，在某天10：00观察到该船在A处，此时测得∠ADC＝30°，2分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，则船速为________千米/分钟．
[分析] 先在△ACD中利用正弦定理求出AD的长度，在△BCD中利用余弦定理进行求解．
[解析] 在△ACD中，CD＝1，∠ADC＝30°，
∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝105°，
∴∠CAD＝180°－30°－105°＝45°.
由正弦定理，AD＝·sin∠ACD
＝×＝.
同理，在△BCD中，
BD＝·sin∠BCD＝×＝1.
在△ADB中，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB
＝()2＋12－2××1×＝.
∴AB＝，∴船速为千米/分钟．
[答案]
测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，首先是明确题意根据条件和图形特点寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解，另外基线的选取要恰当.
[变式训练2] 如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距
km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．
解：在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°.
∴AC＝CD＝
km.
在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°.
在△BCD中，由正弦定理，得BC＝＝(km)．
则在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA
＝()2＋()2－2×cos75°＝5.
∴AB＝
km.
∴两目标A，B之间的距离为
km.
类型二 高度问题
命题角度1：底部不可到达的高度问题
[例3] 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600
m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
[分析] 将实际问题转化为解三角形问题．在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝600
m．已知两角及其夹边，可考虑用正弦定理求解．在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，求CD.
[解析] 由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600
m，故由正弦定理得＝，
解得BC＝300
m.
在Rt△BCD中，
CD＝BC·tan30°＝300×＝100(m)．
[答案] 100
对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，我们可选择一条过建筑物底部点的基线，在基线上取另外两点，这样四点可以构成两个小三角形.其中，把不含未知高度的那个小三角形作为依托，从中解出相关量，进而应用到含未知高度的三角形中，利用正弦或余弦定理求解即可.
[变式训练3] 如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距500
m，则电视塔AB的高度是( D )
A．100
m
B．400
m
C．200
m
D．500
m
解析：设AB＝x
m，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
所以BC＝AB＝x
m；
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，
所以BD＝x
m，在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500
m，
由余弦定理得(x)2＝x2＋5002－2x×500×cos120°，解得x＝500(负值舍去)．
命题角度2：顶部不可到达的高度问题
[例4] 如图，某人在地面上C处观察一架迎面飞来的飞机在A处的仰角为30°，过一分钟后到B再测得仰角为45°，如果该飞机以每小时450
km的速度沿水平方向飞行，则飞机的高度为________km.
[解析] 由题意知，∠DCA＝60°，∠DCB＝45°，
设飞机高为h
km，
则BD＝h
km，AD＝h
km.
又AB＝450×＝7.5(km)，
由AD－BD＝AB得h－h＝7.5.
所以h＝＝(km)．
[答案]
对于顶部不能到达的建筑物高度的测量，我们可以选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成的三角形，在此三角形中利用正弦或余弦定理求解即可.
[变式训练4] 某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1
000
m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为811
m．(精确到1
m)
解析：如图，过点D作DE∥AC交BC于E，
因为∠DAC＝20°，
所以∠ADE＝160°，
于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.
又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°，
在△ABD中，由正弦定理，得
AB＝＝＝1
000(m)．
在Rt△ABC中，BC＝ABsin35°≈811
(m)．
类型三 角度问题
[例5] 某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离为10
km的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10
km/h的速度向小岛靠拢，海军舰艇立即以10
km/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．
[分析] 由题意知，要求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间，可设靠近的位置为B处．因此只要确定∠BAC及AB的值即可．故先设出舰艇与渔船靠近的时间t，然后在△ABC中利用余弦定理建立关于t的方程，即可求解．
[解] 如图所示，设t
h后，舰艇与渔船在B处靠近，
则AB＝10t，CB＝10t，
在△ABC中，根据余弦定理，
则有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，
可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，
整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)．
所以舰艇需1
h靠近渔船．
此时AB＝10，BC＝10.
在△ABC中，由正弦定理，得＝，
所以sin∠CAB＝＝＝.
又因为∠CAB为锐角，所以∠CAB＝30°.
所以舰艇航行的方位角∠BAD＝45°＋30°＝75°.
答：舰艇航行的方位角为75°，航行的时间为1
h.
测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解.解题时应认真审题，结合图形去选择定理，这是最关键、最重要的一步.
[变式训练5] 如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100
m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50
m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ等于( C )
A. B. C.－1 D.－1
解析：在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴AC＝100
m.
在△ADC中，＝，
∴cosθ＝sin(θ＋90°)＝＝－1.
课堂达标练经典
1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°视角，则B、C间的距离是( D )
A．10海里
B.海里
C．5海里
D．5海里
解析：如图，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10，由正弦定理得＝，∴BC＝5海里，故选D.
2．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100
m，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于( A )
A．50
m
B．100
m
C．50
m
D．100
m
解析：因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，
由正弦定理得＝，
所以AC＝DC＝100
m，
在Rt△ABC中，AB＝ACsin60°＝50
m.
3．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3
km到B处，再沿正东方向行走2
km到C处，则A，C两地距离为( C )
A．4
km
B．6
km
C．7
km
D．9
km
解析：如图所示，由题意可知AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150°，
由余弦定理得AC2＝27＋4－2×3×2×cos150°＝49，
所以AC＝7，所以A，C两地距离为7
km.
4．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为7
km.
解析：因为A，B，C，D四点共圆，所以D＋B＝π.
在△ABC和△ADC中，
由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D)
＝32＋52－2×3×5×cosD，
整理得cosD＝－，
代入得AC2＝32＋52－2×3×5×(－)＝49，故AC＝7.
5．甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
解：如图所示，设经过t小时两船在C点相遇，
则在△ABC中，BC＝at海里，
AC＝at海里，
B＝180°－60°＝120°，
由＝，
得sin∠CAB＝＝＝＝，
∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°－30°＝30°，
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
——本课须掌握的三大问题
1．数学建模思想：解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到实际问题的解，这就是数学建模思想．
2．解三角形应用题的具体操作程序
(1)在弄清题意的基础上作出示意图；
(2)在图形上分析已知三角形中哪些元素，需求哪些量；
(3)用正、余弦定理进行求解；
(4)根据实际意义与精确度要求给出答案．
3．解三角形应用题常见的两种情形
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件充分的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解．
PAGE
-
1
-