第七章
复数
7．1 复数的概念
7．1.1 数系的扩充和复数的概念
[目标]
1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法．
[重点]
复数的概念及复数相等的条件．
[难点]
复数的理解与引入．
要点整合夯基础
知识点一 复数的概念
[填一填]
1．复数与复数集
我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．
2．复数的代数形式
复数通常用z表示，z＝a＋bi(a，b∈R)，叫做复数的代数形式．其中a与b分别叫复数z的实部与虚部．
[答一答]
1．如何理解虚数单位i?
提示：①i2＝－1；②i可与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算律仍成立．
2．能说形如a＋bi(其中i为虚数单位)的数叫做复数？
提示：不能．只有当a，b∈R时，结论才成立．
知识点二 复数的分类与复数相等
[填一填]
1．复数的分类
(1)对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，它是实数，当b≠0时，它叫做虚数，当a＝0且b≠0时，它叫做纯虚数．
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，如图所示：
2．复数相等
a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等当且仅当a＝c且b＝d.
[答一答]
3．(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时为实数，当a＝0时为虚数，这种说法正确吗？
(2)形如bi的数一定是纯虚数吗？
提示：(1)这种说法不正确，复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，当b＝0时为实数；当a＝0时z不一定为虚数，因为当a＝b＝0时，z＝0是实数，而不是虚数．
(2)不一定，只有在bi中，当b∈R且b≠0时它才是纯虚数，当b＝0时，bi＝0不是纯虚数，当b?R时，也不是纯虚数．
4．两个复数能否比较大小？
提示：两个复数不一定能比较大小，只有当两个复数全部为实数时，才能比较大小，否则不能比较大小，只能判定这两个复数相等或者不相等．这是因为虚数单位i与实数0的大小关系不确定，若i>0，则两边同乘以i，有i2>0，即－1>0，这是不可能的．若i<0，则两边同时平方得i2>0，即－1>0，这也不可能.
典例讲练破题型
类型一 复数的概念
[例1] 分别指出下列复数的实部和虚部．
3＋2i，－i，－3i＋5，，－5i，i2,0.
[分析] 先把复数写成a＋bi(a，b∈R)的形式，然后根据实部和虚部的定义解题．
[解] 3＋2i的实部是3，虚部是2.
－i＝＋(－1)i，故－i的实部是，虚部是－1.
－3i＋5＝5－3i，故－3i＋5的实部是5，虚部是－3.
＝＋0i，故的实部是，虚部是0.
－5i＝0－5i，故－5i的实部是0，虚部是－5.
i2＝－1＝－1＋0i，故i2的实部是－1，虚部是0.
0＝0＋0i，故0的实部和虚部都是0.
首先将所给的复数化简为复数的代数形式，然后根据实部与虚部的概念确定实部、虚部.)
[变式训练1] 给出下列几个命题：
①若x是实数，则x可能不是复数；
②若z是虚数，则z不是实数；
③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；
④－1没有平方根；
⑤若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
⑥两个虚数不能比较大小．
则其中正确命题的个数为2.
解析：因为实数是复数，故①错；②正确；因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因为－1的平方根为±i，故④错；当a＝－1时，(a＋1)i是实数0，故⑤错；⑥正确．
类型二 复数的分类
[例2] 已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
[分析] 根据复数z为实数、虚数及纯虚数的充要条件列方程(不等式)组求解．
[解] (1)当z为实数时，
则
∴
∴当a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，
则
∴
∴当a≠±1且a≠6时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，
则∴
∴不存在实数a使z为纯虚数．
利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式?等式或不等式?组??，求解参数时，注意考虑问题要全面.
[变式训练2] 已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时：
(1)z∈R；(2)z是虚数；
(3)z是纯虚数；(4)z＝－4i.
解：(1)∵z∈R，
∴
即
∴当m＝－3时，z∈R.
(2)∵z是虚数，
∴
即
∴当m≠1且m≠－3时，z是虚数．
(3)∵z是纯虚数，
∴即
∴当m＝0或m＝－2时，z是纯虚数．
(4)∵z＝－4i，
∴
即
∴当m＝－1时，z＝－4i.
类型三 复数相等
[例3] 已知＋(x2－2x－3)i＝0，求实数x的值．
[分析] 先利用复数相等的定义列出关于x的实数方程组，然后解方程组求x的值．
[解] ∵x∈R，∴由复数相等的定义得
即
∴x＝3.
应用复数相等的充要条件时，要注意：?1?必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组.?2?利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要.
[变式训练3] 已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实数x，y的值．
解：∵x，y为实数，
∴2x－1，y＋1，x－y，－x－y均为实数．
由复数相等的定义知∴
课堂达标练经典
1．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，
所以a＋b＝4.
2．若x、y∈R，则“x＝0”是“x＋yi为纯虚数”的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当x＝0，y＝0时，x＋yi是实数．
3．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为( C )
A．1
B．1或－4
C．－4
D．0或－4
解析：当a＝0或1时，复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai不相等，排除A、B、D.
4．在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则实数a的值是( B )
A．a＝0或a＝2
B．a＝0
C．a≠1且a≠2
D．a≠1或a≠2
解析：因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.
5．实数m分别为何值时，复数z＝＋(m2－3m－18)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解：(1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.
故若使z为实数，则
解得m＝6.所以当m＝6时，z为实数．
(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.
故若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，且m＋3≠0.
所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数．
(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.
故若使z为纯虚数，则
解得m＝－或m＝1.
所以当m＝－或m＝1时，z为纯虚数．
——本课须掌握的三大问题
1．数系扩充的脉络
自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系．
2．虚数单位i性质的两个关注点
(1)i2＝－1的理解：并没有规定i＝±还是i＝或i＝－，在今后的学习中，我们将知道＝±i，但不能说i＝±.
(2)i与实数之间可以进行四则运算：这条性质是数系扩充的原则之一，这里只提到加、乘运算，没提到减、除运算，并不是对减法与除法不成立，而是为了后面讲复数的四则运算时，只对加法、乘法法则作出规定，而把减法、除法作为加法、乘法的逆运算的做法相一致．
3．实部与虚部的要求：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部．
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-7．1.2 复数的几何意义
[目标]
1.能说出复数与复平面内的点、平面向量之间的一一对应关系；2.会分析复数的几何意义，记住复数的模的几何意义．
[重点]
复数的几何意义与复数的模．
[难点]
复数的几何意义．
要点整合夯基础
知识点一 复平面
[填一填]
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，虚轴上的点(0,0)不对应虚数．
[答一答]
1．实轴上的点一定表示实数，虚轴上的点一定表示虚数吗？
提示：在复平面中，实轴上的点一定表示实数，但虚轴上的点不一定表示虚数．事实上，虚轴上的点(0,0)是原点，它表示实数0，虚轴上的其他点都表示纯虚数．
知识点二 复数的两种几何意义
[填一填]
复数z＝a＋bi(a，b∈R) 一一对应复平面内的点Z(a，b)．
复数z＝a＋bi(a，b∈R) 一一对应平面向量.
[答一答]
2．(1)在复平面中，复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点是Z(a，bi)吗？
(2)复平面中，复数与向量一一对应的前提条件是什么？
提示：(1)不是，在复平面中，复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点应该是Z(a，b)，而不是(a，bi)．
(2)前提条件是复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为在复平面内与相等的向量有无数个．
知识点三 复数的模
[填一填]
向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
[答一答]
3．(1)复数的模一定是正数吗？
(2)若复数z满足|z|＝1，那么在复平面内，复数z对应的点Z的轨迹是什么？
提示：(1)不一定，复数的模是非负数，即|z|≥0，当z＝0时，|z|＝0；反之，当|z|＝0时，必有z＝0.
(2)点Z的轨迹是以原点为圆心，半径等于1的一个圆．
知识点四 共轭复数
[填一填]
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．复数z的共轭复数用来表示．
[答一答]
4．互为共轭复数的两个复数有什么特点？
提示：实部相等，虚部相反，模相同．
典例讲练破题型
类型一 复数与复平面内点的对应关系
[例1] 已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)．
(1)在实轴上；
(2)在第三象限．
[分析] 解答本题可先确定复数z的实部、虚部，再根据要求列出关于a的方程(组)或不等式(组)求解．
[解] 复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i的实部为a2－1，虚部为2a－1.
在复平面内对应的点为(a2－1,2a－1)．
(1)若z对应的点在实轴上，则有2a－1＝0，解得a＝.
(2)若z对应的点在第三象限，则有解得－1
复数集与复平面内所有的点组成的集合之间存在着一一对应关系.每一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部、虚部分别对应点的横坐标、纵坐标，从而讨论复数对应点在复平面内的位置，关键是确定复数的实、虚部，由条件列出相应的方程?或不等式?组.
[变式训练1] (1)已知a∈R，则复数(a2＋a＋1)－(a2－2a＋3)i对应的点在复平面内的第四象限．
(2)已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数x的取值范围为(1,2)．
解析：(1)因为a2＋a＋1＝2＋>0，
－(a2－2a＋3)＝－(a－1)2－2<0，
故复数对应的点在第四象限．
(2)因为复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，所以所以所以1即1类型二 复数与向量的对应关系
[例2] 已知向量对应的复数是4＋3i，点A关于实轴的对称点为A1，将向量平移，使其起点移动到A点，这时终点为A2.
(1)求向量对应的复数；
(2)求点A2对应的复数．
[分析] 根据复数与点、复数与向量的对应关系求解．
[解] (1)∵向量对应的复数是4＋3i，
∴点A对应的复数也是4＋3i，
因此点A坐标为(4,3)，
∴点A关于实轴的对称点A1为(4，－3)，
故向量对应的复数是4－3i.
(2)依题意知＝，而＝(4，－3)，
设A2(x，y)，则有(4，－3)＝(x－4，y－3)，
∴x＝8，y＝0，即A2(8,0)，∴点A2对应的复数是8.
1.根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.
2.解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
[变式训练2] 在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i.
(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；
(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数．
解：(1)设向量对应的复数为z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，则点B的坐标为(x1，y1)，由题意可知，点A的坐标为(2,1)．
根据对称性可知：x1＝2，y1＝－1，故z1＝2－i.
(2)设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，
则点C的坐标为(x2，y2)，由对称性可知：x2＝－2，y2＝－1，
故z2＝－2－i.
类型三 复数模的计算
[例3] 已知复数z1＝－＋i，z2＝－－i.
(1)求|z1|与|z2|的值，并比较它们的大小．
(2)设复平面内，复数z满足|z2|≤|z|≤|z1|，复数z对应的点Z的集合是什么？
[分析] (1)利用复数模的定义来求解．若z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝.
(2)先确定|z|的范围，再确定点Z满足的条件，从而确定点Z的图形．
[解] (1)|z1|＝＝2，
|z2|＝＝1.
∵2>1，∴|z1|>|z2|.
(2)由(1)知|z2|≤|z|≤|z1|，则1≤|z|≤2.
因为不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环(包括边界，如图阴影部分所示)．
1.两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模均可比较大小.
2.复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解.
3.|z1－z2|表示点Z1，Z2两点间的距离，|z|＝r表示以原点为圆心，以r为半径的圆.
[变式训练3] 已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．
解：∵z＝3＋ai(a∈R)，|z|＝，
由已知得<4，∴a2<7，即－∴a∈(－，)．
类型四 共轭复数
[例4] 已知复数z＝2－i，则||的值为( )
A．5 B. C．3 D.
[解析] 因为z＝2－i，所以由共轭复数的定义知＝2＋i，所以||＝＝.
[答案] B
共轭复数的求法及其关系
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为＝a－bi.
(2)互为共轭复数关于实轴对称．
(3)互为共轭复数的模长相等．
[变式训练4] 在复平面内，复数＋i的共轭复数对应的点位于( D )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：z的共轭复数＝－i，对应的点为，位于第四象限.
课堂达标练经典
1．在复平面内，若＝(0，－5)，则对应的复数为( C )
A．0
B．－5 C．－5i D．5
解析：对应的复数z＝0－5i＝－5i.
2．已知复数z＝6－2i(i为虚数单位)，则在复平面内z的共轭复数所对应的点为( B )
A．(6，－2)
B．(6,2)
C．(－2,6)
D．(2,6)
解析：由题意，可知＝6＋2i，则在复平面内所对应的点为(6,2)．故选B.
3．已知复数z＝－3i，则复数的模|z|是( D )
A．5
B．8
C．6
D.
解析：|z|＝＝.
4．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( C )
A．4＋8i
B．8＋2i
C．2＋4i
D．4＋i
解析：复数6＋5i对应的点为A(6,5)，复数－2＋3i对应的点为B(－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2,4)，故点C对应的复数为2＋4i.
5．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝，
代入方程得，a＋bi＋＝2＋8i，
∴解得∴z＝－15＋8i.
——本课须掌握的两大问题
1．对复数几何意义的理解
(1)复数集中的复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)与平面向量＝(a，b)也是一一对应的．
(3)注意z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量的起点必须为原点，因为复平面内与相等的向量有无数个．
2．复数与其对应的点的关系
复数实部、虚部的符号与其对应点所在象限密切相关，实数、纯虚数的对应点分别在实轴和虚轴上．若实部为正且虚部为正，则复数对应点在第一象限；若实部为负且虚部为正，则复数对应点在第二象限；若实部为负且虚部为负，则复数对应点在第三象限；若实部为正且虚部为负，则复数对应点在第四象限．此外，若复数的对应点在某些曲线上，还可写出代数形式的一般表达式．
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-7．2 复数的四则运算
7．2.1 复数的加、减运算及其几何意义
[目标]
1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则；2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．
[重点]
复数加法与减法的运算法则．
[难点]
复数加法与减法的几何意义．
要点整合夯基础
知识点一 复数加法与减法的运算法则
[填一填]
1．运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2．加法运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
[答一答]
1．两个复数的和，差分别是一个确定的复数，那么两个虚数的和，差是否仍为虚数？
提示：两个虚数的和，差可能是虚数也可能是实数．
2．若复数z1，z2满足z1－z2>0，能否认为z1>z2?
提示：不能．如2＋i－i>0，但2＋i与i不能比较大小．
知识点二
复数加法与减法的几何意义
[填一填]
如图，设，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，则＝(a，b)，＝(c，d)，由平面向量的坐标运算，得＋＝(a＋c，b＋d).－＝(a－c，b－d)．这说明两个向量与的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量，与的差就是与复数(a－c)＋(b－d)i对应的向量，即图中四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是.
[答一答]
3．设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向量分别是，，那么向量，的坐标分别是什么？z1＋z2对应的向量的坐标是什么？
提示：由复数与平面向量的一一对应可知＝(a，b)，＝(c，d)，故＋＝(a＋c，b＋d)．由复数加法的几何意义可知＋即为z1＋z2对应的向量，故z1＋z2对应的向量的坐标为(a＋b，c＋d)．
4．从复数减法的几何意义理解：|z1－z2|表示什么？
提示：表示Z1与Z2两点间的距离．
5．若a，b，r为实常数，且r>0，则满足|z－(a＋bi)|＝r的复数z在复平面上对应的点的轨迹是什么？
提示：是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆.
典例讲练破题型
类型一 复数的加减法运算
[例1] (1)(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)；
(2)(2－i)－(－1＋5i)＋(3＋4i)；
(3)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(4)(a＋bi)－(3a－4bi)＋5i(a，b∈R)．
[分析] 复数的加减运算，只需把“i”看作一个字母，完全可以按照合并同类项的方法进行．
[解] (1)原式＝(－1＋4i)＋(2－3i)＝1＋i.
(2)原式＝(3－6i)＋(3＋4i)＝6－2i.
(3)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
(4)原式＝(－2a＋5bi)＋5i＝－2a＋(5b＋5)i.
1.复数运算类比实数运算，若有括号，括号优先，若无括号，可从左到右依次进行.
2.算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提取各复数的实部与虚部，将它们分别相加.
3.准确提取虚、实部，正确进行符号运算有利于提高解题的准确率.
[变式训练1] 设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于( D )
A．1－5i
B．－2＋9i
C．－2－i
D．5＋3i
解析：∵z1－z2＝5＋5i，∴f(z1－z2)＝5＋5i－2i＝5＋3i.
类型二 复数加减法的几何意义
[例2] (1)设及分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，计算z1－z2，并在复平面内作出－.
(2)设及分别与复数z1＝1＋3i及复数z2＝2＋i对应，计算z1＋z2，并在复平面内作出＋.
[分析] 由复数的几何意义知，复数z1及复数z2所对应的点即分别为Z1和Z2.
－就是表示向量，而＋可利用平行四边形法则作出．
[解] (1)z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i.－即为，如图①所示．
(2)z1＋z2＝(1＋3i)＋(2＋i)＝(1＋2)＋(3＋1)i＝3＋4i.＋即为，如图②所示．
1.根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算.
2.利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.
3.复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.
[变式训练2] 复平面内三点A，B，C，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求点C对应的复数．
解：∵对应的复数为1＋2i，对应的复数为3－i，
∴＝－对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又∵＝＋，
∴C点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
类型三 复数加减法的综合运算
[例3] 已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．
[分析] 利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题．
[解] 方法1：设w＝z－3＋4i，∴z＝w＋3－4i.
∴z＋1－i＝w＋4－5i.
又|z＋1－i|＝1，
∴|w＋4－5i|＝1.
可知w对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆．
如图(1)所示，∴|w|max＝＋1，|w|min＝－1.
方法2：由条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，
而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离，
在圆上与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，所以|z－3＋4i|max＝＋1，|z－3＋4i|min＝－1.
|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离，利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.
[变式训练3] 已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
解：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴△OAB是边长为1的正三角形，
∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，
∴|z1＋z2|＝|OC|
＝＝.
课堂达标练经典
1．(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的结果为( C )
A．5－3i
B．3＋5i
C．7－8i
D．7－2i
解析：(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)＝(6－1＋2)＋(－3－3－2)i＝7－8i.
2．在复平面内，复数1＋i和1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝( B )
A.
B．2
C.
D．4
解析：由复数减法的几何意义知，对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，∴||＝2.
3．已知复数z满足z＋3i－3i2＝3－3i，则z＝( B )
A．0
B．－6i
C．6
D．6－6i
解析：∵z＋3i－3i2＝3－3i，∴z＝(3－3i)－(3i＋3)＝－6i.
4．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i，3＋2i,1＋5i，那么对应的复数为4－4i.
解析：∵＝－(－＋)，
∴对应的复数为－[(－2＋i)－(3＋2i)＋(1＋5i)]
＝－[(－2－3＋1)＋(1－2＋5)i]＝－(－4＋4i)＝4－4i.
5．已知|z|＝2，则|z＋3－4i|的最大值是7.
解析：由|z|＝2知复数z对应的点在圆心为O(0,0)，半径r＝2的圆上．而|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|表示复数z对应的点与M(－3,4)之间的距离，由于|OM|＝5，所以|z＋3－4i|的最大值为|OM|＋r＝5＋2＝7.
——本课须掌握的两大问题
1．对复数加法的理解
(1)复数代数形式的加法运算法则是一种规定，以后就要按照规定进行运算．
(2)复数的加法法则是在复数的代数形式下进行的．
(3)复数的加法运算的结果仍然是复数．
(4)实数的移项法则在复数中仍然成立．
(5)复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形．
2．对复数加、减法几何意义的理解
(1)对于应用向量加法法则求复数的和，可以利用平行四边形法则，也可以利用三角形法则．
(2)复数的减法法则用向量的减法法则来进行运算，应用向量来进行复数的减法，三角形法则显得更加方便．
(3)复数的加减法运算可以通过向量的加减法运算进行；反之，向量的加减法运算也可以通过复数的加减法运算进行．
(4)利用复数的加减法运算的几何意义可以直观地解决复数问题．
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-
1
-7.2.2 复数的乘、除运算
[目标]
1.掌握复数的乘法法则，能熟练地进行复数的乘法运算；2.理解共轭复数的意义；3.掌握复数的除法法则，能熟练地进行复数的除法运算．
[重点]
复数的乘法与除法的运算法则．
[难点]
复数的除法运算．
要点整合夯基础
知识点一 复数的乘法运算
[填一填]
1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．复数的乘法满足的运算律
对任意z1、z2、z3∈C，有
[答一答]
1．两个复数的乘法运算法则类似多项式的乘法法则，多个复数的乘法呢？
提示：多个复数的乘积运算也类似多项式相乘的规律，把复数逐一相乘，再分别合并实部、虚部．
2．若z1，z2∈C，(z1＋z2)2＝z＋2z1·z2＋z是否成立？
提示：成立．复数的乘法(乘方)类似于实数范围内的多项式的乘法(乘方)，只不过是在运算中遇到i2时就将其换为－1，因此在复数范围内，完全平方公式、平方差公式等仍然成立．
知识点二 复数的除法运算
[填一填]
复数代数形式的除法法则
(a＋bi)÷(c＋di)＝＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．
[答一答]
3．复数除法的实质是怎样的？
提示：复数除法的实质是分母实数化的过程，两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．
典例讲练破题型
类型一 复数的乘法运算
[例1] (1)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝( )
A．3－4i
B．3＋4i
C．4－3i
D．4＋3i
(2)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.
[分析] 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．
[解析] (1)∵a，b∈R，a＋i＝2－bi，
∴a＝2，b＝－1，
∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.
(2)因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，a，b∈R，所以
解得所以a＋bi＝1＋2i.
[答案] (1)A (2)1＋2i
正确使用乘法公式，此类题就不难解决.三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算与实数的运算一样，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简捷，如平方差公式、完全平方公式等.
[变式训练1] 计算下列各题．
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)；
(3)(1－i)3.
解：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)
＝(－2＋10i＋i－5i2)·(3－4i)
＝(3＋11i)·(3－4i)＝9－12i＋33i－44i2
＝53＋21i.
(3)(1－i)3＝(1－i)2·(1－i)
＝(1－2i＋i2)·(1－i)
＝(－2i)·(1－i)＝－2i＋2i2＝－2－2i.
类型二 共轭复数
[例2] 已知复数z满足z·＋2i·z＝4＋2i，求复数z.
[分析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)→由题意得到方程组求x，y的值→得到复数z.
[解] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，
由题意，得(x＋yi)(x－yi)＋2(x＋yi)i＝(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i，
∴解得或
∴z＝1＋3i或z＝1－i.
[变式训练2] 已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于( A )
A.
B.
C．1
D．2
解析：因为z＝，
所以|z|＝＝＝＝，
所以z·＝.
类型三 复数的除法运算
[例3] 计算：(1)＋；
(2)＋.
[分析] 复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．
[解] (1)因为＝
＝＝i－1，
＝＝＝－i.
所以＋＝i－1＋(－i)＝－1.
(2)＋＝＋＝＋＝＋i＝＋i＝＋i＝2i.
[变式训练3] 已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝( C )
A．－2－i
B．－2＋i
C．2－i
D．2＋i
解析：z－1＝＝1－i，所以z＝2－i.
课堂达标练经典
1．z1，z2是复数，且z＋z<0，则正确的是( B )
A．zB．z1，z2中至少有一个是虚数
C．z1，z2中至少有一个是实数
D．z1，z2都不是实数
解析：取z1＝1，z2＝2i满足z＋z<0，从而排除A和D；取z1＝i，z2＝2i，满足z＋z<0，排除C，故选B.
2．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( A )
A．－1＋i
B．－1－i
C．1＋i
D．1－i
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1－i)(a＋bi)＝2i，即(a＋b)＋(b－a)i＝2i.
根据复数相等的充要条件得解得
∴z＝－1＋i，故选A.
3．若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝2.
解析：由题意，得x＋i＝＝＝＝2＋i，所以x＝2.
4．复数的共轭复数是2－i.
解析：＝＝＝2＋i，其共轭复数为2－i.
5．已知复数z满足z＝(－1＋3i)·(1－i)－4.
(1)求复数z的共轭复数；
(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．
解：(1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，所以复数z的共轭复数为－2－4i.
(2)w＝－2＋(4＋a)i，复数w对应的向量为(－2,4＋a)，其模为＝.又复数z所对应向量为(－2,4)，其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，
所以，实数a的取值范围是－8≤a≤0.
——本课须掌握的三大问题
1．复数的乘除法
(1)复数乘法与多项式乘法类似，但注意结果中i2应化为－1.
(2)复数除法先写成分式的形式，再将分母实数化，但注意结果一般写成实部与虚部分开的形式．
2．共轭复数
(1)复数z的共轭复数通常用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi.
(2)两个共轭复数的乘积是一个实数，这个实数等于两个共轭复数模的平方，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝a2＋b2＝|z|2＝||2.
(3)实数a的共轭复数仍是a本身，即z∈C，z＝?z∈R，这是判断一个数是否为实数的一个准则．
(4)两个共轭复数的对应点关于实轴对称．
3．虚数单位i的乘方
由i4＝1，则对任意n∈N
，i的幂的周期性如下：
i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1.
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-
1
-7．3
复数的三角表示
7．3.1 复数的三角表示式
[目标]
1.知道复数的模和辐角的定义；2.会求复数的模和辐角主值；3.能求出复数的三角形式．
[重点]
复数的代数形式向三角形式的转换．
[难点]
复数的代数形式与三角形式的互换．
要点整合夯基础
知识点一 复数的三角形式
[填一填]
1．定义：r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
2．非零复数z辐角θ的多值性
以x轴正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角θ叫复数z＝a＋bi的辐角，因此复数z的辐角是θ＋2kπ(k∈Z)
(k∈Z)．
3．辐角主值
(1)表示法：用argz表示复数z的辐角主值．
(2)定义：适合[0,2π)的角θ叫辐角主值．
(3)唯一性：复数z的辐角主值是确定的、唯一的．
[答一答]
1．当z＝0时，其辐角如何？
提示：z＝0时，其辐角是任意的．
2．如何确定复数三角形式中辐角、辐角主值？
提示：可以运用三角函数值求解．
知识点二 复数的代数形式与三角形式的互化
[填一填]
复数z＝a＋bi＝r(cosθ＋isinθ)的两种表示式之间的关系为
[答一答]
3．将复数z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式z＝r(cosθ＋isinθ)时，要注意什么？
提示：将复数z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式z＝r(cosθ＋isinθ)时，要注意：
(1)r＝.
(2)cosθ＝，sinθ＝，其中θ终边所在象限与点(a，b)所在象限相同．若tanθ＝(a≠0)，θ终边所在象限与点(a，b)所在象限一致．当a＝0，b>0时，argz＝.
典例讲练破题型
类型一 代数形式与三角形式的转换
[例1] 下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：
(1)z1＝－2(cosθ＋isinθ)；(2)z2＝cosθ－isinθ.
[分析] 由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向．变形时，可按照如下步骤进行：首先确定复数z对应点所在象限(此处可假定θ为锐角)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”．这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率．
[解] (1)由“模非负”知，不是三角形式，需做变换：z1＝2(－cosθ－isinθ)，复平面上点Z1(－2cosθ，－2sinθ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cosθ”已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．∴z1＝2(－cosθ－isinθ)＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．
(2)由“加号连”知，不是三角形式，复平面上点Z2(cosθ，－sinθ)在第四象限(假定θ为锐角)，不需改变三角函数名称，可用诱导公式“2π－θ”或“－θ”将θ变换到第四象限．
∴z2＝cosθ－isinθ＝cos(－θ)＋isin(－θ)或z2＝cosθ－isinθ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)，
考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一．
对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题.
[变式训练1] 下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：
(1)z3＝－sinθ＋icosθ；(2)z4＝－sinθ－icosθ；(3)z5＝cos60°＋isin30°.
解：(1)由“余弦前”知，不是三角形式，复平面上点Z3(－sinθ，cosθ)在第二象限(假定θ为锐角)，需改变三角函数名称，可用诱导公式“＋θ”将θ变换到第二象限．
∴z3＝－sinθ＋icosθ＝cos(＋θ)＋isin(＋θ)．
(2)不是三角形式，同理(1)可得z4＝－sinθ－icosθ＝cos(π－θ)＋isin(π－θ)．
(3)由“角相同”知，不是三角形式，z5＝cos60°＋isin30°＝＋i＝(1＋i)＝×(cos＋isin)＝(cos＋isin)．
类型二 将复数的三角形式化为代数形式
[例2] 将复数3化为代数形式为________．
[解析] 3＝3
＝－＋i.
[答案] －＋i
将复数的三角形式r?cosθ＋isinθ?化为代数形式a＋bi?a，b∈R?时，其中a＝rcosθ，b＝rsinθ.
[变式训练2] 复数6的代数形式是－3－3i.
解析：6＝6＝－3－3i.
类型三 复数的模与辐角主值
[例3] 求复数z＝1＋cosθ＋isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值．
[分析] 式子中多了个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”．
[解] z＝1＋cosθ＋isinθ＝1＋(2cos2－1)＋2i·sincos＝2cos(cos＋isin)，①
∵π<θ<2π，∴<<π，∴cos<0，
∴①式右端＝－2cos(－cos－isin)
＝－2cos[cos(π＋)＋isin(π＋)]，
∴r＝－2cos，z的辐角为π＋＋2kπ(k∈Z)．
∵<<π，∴π<π＋<2π，
∴argz＝π＋.
复数的三角形式z＝r?cosθ＋isinθ?中，模r≥0，θ为任意角，若θ为辐角主值，则θ∈[0，2π?.
[变式训练3] 将z＝(π<θ<3π)化为三角形式，并求其辐角主值．
解：z＝＝＝
＝＝cos2θ＋isin2θ.
∵π<θ<3π，
∴π<2θ<6π，
∴π<2θ－4π<2π，
∴argz＝2θ－4π.
类型四 复数辐角的应用
[例4] 复数z满足arg(z＋3)＝π，求|z＋6|＋|z－3i|最小值．
[分析] 由两个复数模的和取最小值，联想到一个点到两个定点距离和的最小值，将之转化为几何问题来解决应比较简便.
[解] 由arg(z＋3)＝π，知z＋3的轨迹是射线OA，则z轨迹应是平行于OA，且过点(－3,0)的射线BM(如图)，
∴|z＋6|＋|z－3i|就表示射线BM上点到点P(－6,0)和点Q(0,3)距离之和，连接PQ与射线BM交于点N，当复数z在复平面内的点为N点时，|z＋6|＋|z－3i|所取的值最小，
即|z＋6|＋|z－3i|＝|PN|＋|NQ|＝|PQ|＝3，
∴所求最小值＝3.
解此类题的本质是将数学式子利用其几何意义转化成几何问题进行解决.如果纯粹用代数方法求解，难度会很大.对有关最值问题，尤其是模?距离?和辐角主值最值问题，用数形结合方法显然较为简便.
[变式训练4] 已知|z－2i|≤1，求arg(z－4i)最大值．
解：∵|z－2i|≤1，∴点Z轨迹是以(0,2)为圆心，1为半径的圆面．如图，在其上任取一点Z，连接Z与点(0,4)得一以(0,4)为起点，Z为终点的向量，将起点平移到原点，则θ为其对应的辐角主值，显然arg(z－4i)最大值为π.
课堂达标练经典
1．求下列复数的模和辐角主值．
(1)1＋i；(2)－i.
解：(1)|1＋i|＝＝，
又tanθ＝＝1，点(1,1)在第一象限．
所以θ＝arg(1＋i)＝.
(2)＝＝2，
有tanθ＝－，点(，－1)在第四象限，
所以θ＝arg(－i)＝2π－＝.
2．写出下列复数的三角形式．
(1)ai(a∈R)；(2)tanθ＋i(<θ<π)；
(3)－(sinθ－icosθ)．
解：(1)ai＝
(2)tanθ＋i(<θ<π)＝－[cos(π－θ)＋isin(π－θ)]．
(3)－(sinθ－icosθ)＝[cos(＋θ)＋isin(＋θ)]．
3．复数的代数形式与三角形式互化：
(1)－1＋i；
(2)2.
解：(1)r＝|－1＋i|＝2，arg(－1＋i)＝，
所以－1＋i＝2.
(2)2＝2＝－＋i.
4．复数z的辐角为θ(0<θ<π)，且满足|z－i|＝1，求复数z2－zi的辐角主值．
解：设z＝r(cosθ＋isinθ)，r>0.
由|z－i|＝1，得(rcosθ)2＋(rsinθ－1)2＝1.
即r2＝2rsinθ，∴r＝2sinθ，z＝2sinθ(cosθ＋isinθ)．
z2－zi＝z(z－i)＝2sinθ(cosθ＋isinθ)[2sinθ(cosθ＋isinθ)－i]
＝2sinθ(cosθ＋isinθ)(sin2θ－icos2θ)
＝2sinθ(cosθ＋isinθ)[cos(2θ－)＋isin(2θ－)]
＝2sinθ[cos(3θ－)＋isin(3θ－)]．
①
0<θ<，－<3θ－<0，
arg(z2－zi)＝3θ－＋2π＝＋3θ；
②≤θ<，0≤3θ－<2π，arg(z2－zi)＝3θ－；
③≤θ<π，2π≤3θ－<，
arg(z2－zi)＝3θ－－2π＝3θ－.
5．设z＝a－1＋ai，a∈R，|z|≤1.
(1)求a的取值范围；
(2)若u＝，求u的辐角主值的取值范围．
解：(1)|z|2＝(a－1)2＋a2≤1，∴2a(a－1)≤0，
∴0≤a≤1.
(2)u＝＝
＝＝.
设u的辐角主值为θ，当a＝0时，u＝1，θ＝0.
当a≠0时，tanθ＝－＝－＝－，
∵0∴tanθ≥－1.
∵u的实部为正，虚部为负，
∴<θ<2π.argu∈{0}∪(，2π)．
——本课须掌握的三大问题
1．并不是每一个复数都有唯一确定的辐角主值．如复数0的模为0，辐角主值不确定．
2．注意辐角与辐角主值的区别，辐角主值是[0,2π)内的辐角，但辐角不一定是辐角主值．
3．复数三角形式的四个要求：模非负，角相同，余弦前，加号连，缺一不可．任何一个不满足，就不是三角形式．
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-7．3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
[目标]
1.利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题；2.注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法.
[重点]
复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用．
[难点]
复数三角形式的乘除运算．
要点整合夯基础
知识点一
复数的三角形式的运算
[填一填]
设z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，则
(1)乘法：z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
(2)除法：z1÷z2＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)](其中z2≠0)，
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
(3)乘方：zn＝rn(cosnθ＋isinnθ)．
(4)开方：＝(cos＋isin)(k＝0,1,2，…，n－1)．
知识点二 复数三角形式乘、除运算的几何意义
[填一填]
两个复数z1，z2相乘时，可以像图中所示那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转一个角θ2(如果θ2<0，就要把按顺时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这就是复数乘法的几何意义．
z2≠0，的几何意义是把z的对应向量按顺时针方向旋转一个角θ2(如果θ2<0，就要把按逆时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，所得的向量即表示商.
典例讲练破题型
类型一 复数的三角形式的乘、除运算
[例1] (cos＋isin)·(cos＋isin)．
[分析] 复数的三角形式的乘除运算较代数形式更为简便，要熟记公式．
[解] (cos＋isin)·(cos＋isin)
＝·[cos(＋)＋isin(＋)]
＝(cos＋isin)
＝(＋i)＝＋i.
r1?cosθ1＋isinθ1?·r2?cosθ2＋isinθ2?＝r1r2[cos?θ1＋θ2?＋isin?θ1＋θ2?]计算，简便得多.这就是复数的三角形式乘法运算公式.
[变式训练1] 设复数z＝cosθ＋isinθ，θ∈(π，2π)，求复数z2＋z的模和辐角．
解：z2＋z＝(cosθ＋isinθ)2＋cosθ＋isinθ
＝cos2θ＋isin2θ＋cosθ＋isinθ
＝(cos2θ＋cosθ)＋i(sin2θ＋sinθ)
＝2coscos＋i(2sincos)
＝2cos(cosθ＋isinθ)
＝－2cos.
∵θ∈(π，2π)，∴∈(，π)，
∴－2cos>0，
所以复数z2＋z的模为－2cos，辐角为(2k－1)π＋(k∈Z)．
类型二 复数的乘、除运算的几何意义
[例2] 向量与－1＋i对应，把按逆时针方向旋转120°，得到，求与向量对应的复数．
[解] 将向量逆时针方向旋转120°，得到，由于模未发生变化，应当是对应复数乘以1·(cos120°＋isin120°)，
即z′＝(－1＋i)(cos120°＋isin120°)＝(cos135°＋isin135°)(cos120°＋isin120°)＝(cos255°＋isin255°)＝－i.
利用复数乘、除法的几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便.
[变式训练2] 如图，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数证明∠1＋∠2＋∠3＝.
证明：∠1，∠2，∠3分别等于复数1＋i,2＋i,3＋i的辐角主值，这样∠1＋∠2＋∠3就是(1＋i)(2＋i)(3＋i)＝10i的辐角，∠1，∠2，∠3都是锐角，所以∠1＋∠2＋∠3＝.
课堂达标练经典
1．计算：4(cos＋isin)÷2(cos＋isin)．
解：原式＝2[cos(－)＋isin(－)]
＝2(cos＋isin)＝2i.
2．把复数z1与z2对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知z2＝－1－i，求复数z1的代数形式和它的辐角主值．
解：由复数乘法的几何意义得
z1(cos＋isin)＝z2(cos＋isin)，
又z2＝－1－i＝2(cos＋isin)，
∴z1＝
＝2[cos(3π－)＋isin(3π－)]
＝－＋i，z1的辐角主值为.
3．计算：(cos＋isin)·4(cos＋isin)．
解：原式＝4[cos(＋)＋isin(＋)]
＝4(cos＋isin)＝2＋2i.
4．若z＝(cos＋isin)，求z2与z3的值．
解：z2＝z·z＝()2[cos(＋)＋isin(＋)]
＝3(cos＋isin)＝＋i.
z3＝z·z·z＝()3[cos(×3)＋isin(×3)]
＝3(cos＋isin)＝3i.
5．在复平面上A，B表示复数为α，β(α≠0)，且β＝(1＋i)α，判断△AOB形状，并证明S△AOB＝|α|2.
解：△AOB为等腰直角三角形．
证明：∵α≠0，∴β＝(1＋i)α，
∴＝1＋i＝(cos＋isin)，∴∠AOB＝；
∵，分别表示复数α，β－α，
由β－α＝αi，得＝i＝cos＋isin，
∴∠OAB＝90°，∴△AOB为等腰直角三角形．
∴S△AOB＝|OA|2＝|α|2.
——本课须掌握的问题
复数的代数形式较为容易运算，因此把三角形式化为代数形式，按照代数形式的乘法运算法则就可以完成运算．根据数学求简的原则，运用三角公式把结果化简．在已知的基础上发展和探索未知的东西，解题时，把未知转化成已知，这是重要的思想方法．
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-第七章
复数
本章总结
[例1] 已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当m取何实数值时，复数z是：(1)零；(2)纯虚数；(3)2＋5i?
[分析] 熟练掌握复数的代数形式、复数相等及复数表示各类数的条件是熟练解答复数问题的前提．
[解] (1)由题意可得
即所以m＝1，
即当m＝1时，复数z为零．
(2)由题意可得
解得所以m＝0，
即m＝0时，z为纯虚数．
(3)由题意可得
解得所以m＝2，
所以当m＝2时，复数z为2＋5i.
当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论.分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数.当x＋yi没有说明x，y∈R时，也要分情况讨论.
[变式训练1] 已知复数z＝a2－a－6＋i，分别求出满足下列条件的实数a的值：
(1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是0.
解：(1)由a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，
得a＝－5或a＝3，
∴当a＝－5或a＝3时，z为实数．
(2)由a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，
得a≠－5且a≠3且a≠±2，
∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数．
(3)由a2－a－6＝0，a2－4≠0且a2＋2a－15＝0，得a＝3，
∴当a＝3时，z＝0.
[例2] (1)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝( )
A．－2 B．－2i C．2 D．2i
(2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝( )
A．2＋3i
B．2－3i
C．3＋2i
D．3－2i
[分析] 复数的加减法是实部与实部、虚部与虚部分别相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i2＝－1.
[解析] (1)因为z＝1＋i，所以＝1－i，＝＝＝1－i，所以＋i·＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2，故选C.
(2)由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋＝2i＋＝2i＋2＋i＝2＋3i.故选A.
[答案] (1)C (2)A
[变式训练2] 已知复数z＝.
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
解：(1)z＝＝＝＝1＋i.
(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
即a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以解得
[例3] 设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．1
B.
C.
D．2
[分析] 复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现．
[解析] 因为(1＋i)x＝1＋yi，所以x＋xi＝1＋yi.
又因为x，y∈R，所以x＝1，y＝x＝1.
所以|x＋yi|＝|1＋i|＝，故选B.
[答案] B
?1?对于两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di?a，b，c，d∈R?.规定a＋bi＝c＋di相等的充要条件是a＝c，b＝d.,?2?根据复数相等的定义知，在a＝c，b＝d两式中，如果有一个不成立，那么a＋bi≠c＋di.
[变式训练3] 已知x，y∈R，i为虚数单位，x＋(y－2)i＝，则x＋y＝2.
解析：x＋(y－2)i＝＝＝1－i，
所以解得x＝1，y＝1，则x＋y＝2.
[例4] 若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[分析] 复数的几何意义及复数加减运算的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．熟练掌握复平面内的点、以原点为起点的平面向量和复数三者之间的对应关系，就能有效地利用数形转换来解决实际问题．
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z＋2－2i|＝|x＋2＋(y－2)i|＝1表示圆心为A(－2,2)，半径为1的圆，而|z－2－2i|＝|(x－2)＋(y－2)i|表示圆A上的点到B(2,2)的距离，如图所示，显然其最小值为|AB|－1＝4－1＝3.
[答案] B
复数既可用代数形式?或三角形式?表示，也可与向量、点坐标联系，使复数的运算具有了几何意义.因此，在解决某些复数问题时，若能以形助数则可使解答直观、简捷.
[变式训练4] 已知复数z的模为1，求|z－1－2i|的最大值和最小值．
解：因为复数z的模为1，
所以z在复平面上的对应点在以原点为圆心，1为半径的圆上．
而|z－1－2i|＝|z－(1＋2i)|可以看成圆上的点Z到点A(1,2)的距离，如图所示．
所以|z－1－2i|min＝|AB|＝|OA|－|OB|＝－1，
|z－1－2i|max＝|AC|＝|OA|＋|OC|＝＋1.
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