第十章
概率
10.1
随机事件与概率
10．1.1 有限样本空间与随机事件
[目标]
1.了解样本空间、随机事件的含义；2.了解必然事件、不可能事件的含义．
[重点]
样本空间与各种事件概念的理解.
[难点]
样本空间、随机事件的含义．
要点整合夯基础
知识点 事件的有关概念
[填一填]
1．事件的分类
(1)我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点．
(2)全体样本点的集合称为试验E的样本空间，如果一个随机试验有n个可能的结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间．
(3)样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件；只包含一个样本点的事件称为基本事件．
(4)Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．
(5)空集?不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称?为不可能事件．
2．对事件分类的两个关键点
(1)条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生．
(2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．
[答一答]
随机试验有哪些特点？
提示：(1)试验可以在相同条件下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
典例讲练破题型
类型一 样本点的确定
[例1] 在一个不透明的口袋中装有大小相同标号不同的5张卡片，其中3张红色，2张白色．
(1)从中一次摸出两张卡片，此试验共有多少个样本点？
(2)从中先后各取一张卡片(每次取后立即放回)，此试验共有多少个样本点？
[分析] (1)一次摸出两张卡片，这两张卡片是没有顺序的，是无序问题；(2)先后各取一张卡片，则这两张卡片是有顺序的，前后是有区别的．
[解] 不妨记3张红色卡片为1,2,3号，2张白色卡片为4,5号．
(1)“从中一次摸出两张卡片”，无顺序，故这个试验中等可能出现的结果有10种，分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)(其中(1,2)表示摸到1号、2号卡片)，故共有10个样本点．
(2)“从中先后各取一张卡片(每次取后立即放回)”，有顺序，故这个试验中的样本点有25个．
试验结果的有序与无序是确定样本点时要考虑的重要因素，所以要认真阅读题干中的关键词，判断是否要考虑顺序问题.
[变式训练1] 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，连续取两次．
(1)当不放回抽取时，写出样本空间Ω1；
(2)当放回抽取时，写出样本空间Ω2.
解：(1)Ω1＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，b1)}．
(2)Ω2＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}．
类型二 样本空间的分析
[例2] 将一枚骰子先后抛掷两次，则：
(1)一共有几个样本点？
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个样本点？
[分析] 根据事件的特点列举即可．
[解] 方法1：(列举法)：
(1)用(x，y)表示结果，其中x表示骰子第1次出现的点数，y表示骰子第2次出现的点数，则试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共36个样本点．
(2)“出现的点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
方法2：(列表法)：
如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，样本点与所描点一一对应．
(1)由图知，样本点总数为36.
(2)“点数之和大于8”包含10个样本点(已用虚线圈出)．
方法3：(树状图法)：
一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示：
(1)由图知，共36个样本点．
(2)“点数之和大于8”包含10个样本点(已用“√”标出)．
样本点个数的三个探求方法
?1?列举法：把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简单的试验问题.
?2?列表法：将样本点用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清样本点的总数，以及要求的事件所包含的样本点个数.列表法适用于较简单的试验问题，样本点个数较多的试验不适合用列表法.
?3?树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验问题.
[变式训练2] 一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球．
(1)共有多少个样本点？
(2)2个都是白球包含几个样本点？
解：方法1：(1)采用列举法．
分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则有以下样本点：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个(其中(1,2)表示摸到1号、2号)．
(2)“2个都是白球”包含(1,2)，(1,3)，(2,3)三个样本点．
方法2：(1)采用列表法．
课堂达标练经典
1．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：该生选报的所有可能情况是：数学和计算机、数学和航空模型、计算机和航空模型，所以样本点有3个．
2．在8件同类产品中，有5件正品，3件次品，从中任意抽取4件，下列事件中的必然事件是( D )
A．4件都是正品
B．至少有一件次品
C．4件都是次品
D．至少有一件正品
解析：抽取4件中至多3件次品，即至少有一件正品．选D.
3．先后抛掷均匀的1分、2分硬币各一枚，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个样本点的是( A )
A．“至少一枚硬币正面向上”
B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上”
D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
解析：“至少一枚硬币正面向上”包括“1分正面向上，2分正面向下”“1分正面向下，2分正面向上”“1分、2分都正面向上”三个样本点．故选A.
4．抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为( C )
A．第一枚为5点，第二枚为1点
B．第一枚为5或6点，第二枚为1点
C．第一枚为6点，第二枚为1点
D．第一枚为1点，第二枚为6点
解析：抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，所以“X>4”即“X＝5”表示的试验结果为“第一枚为6点，第二枚为1点”．
5．设集合M＝{1,2,3,4}，a∈M，b∈M，(a，b)是一个样本点．
(1)写出试验的样本空间．
(2)用集合表示事件M＝“a＋b＝5”包含的样本点．
解：(1)这个试验的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
(2)M＝{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}．
——本课须掌握的问题
必然事件是在一定条件下必然会发生的事件，其概率为1，而不可能事件正相反，其概率为0；必然事件与不可能事件都是随机事件的极端情形．
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-10．1.2 事件的关系和运算
[目标]
1.了解事件的关系与运算；2.理解互斥事件、对立事件的概念．
[重点]
事件的关系、运算.
[难点]
事件关系的判定．
要点整合夯基础
知识点 事件的关系与运算
[填一填]
[答一答]
1．下列说法正确吗？
(1)在掷骰子的试验中，{出现1点}?{出现的点数为奇数}；
(2)不可能事件记作?，显然C??(C是任一事件)；
(3)事件A也包含于事件A，即A?A.
提示：(1)(2)(3)的说法都正确，研究事件的关系可以类比集合间的关系．
2．并事件、交事件和集合的并集、交集意义一样吗？
提示：并事件、交事件和集合的并集、交集的意义一样．例如，并事件包含三种情况：事件A发生，事件B不发生；事件A不发生，事件B发生；事件A，B同时发生，即事件A，B中至少有一个发生．
3．事件A与事件B互斥的含义是什么？
提示：事件A与事件B互斥的含义是：事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生．
4．互斥事件与对立事件的关系是怎样的？
提示：互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件．
典例讲练破题型
类型一 事件关系的判断
[例1] 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各1张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
[分析] 要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．
[解] (1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，也不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
互斥事件、对立事件的判断方法
(1)利用基本概念
①互斥事件不可能同时发生；
②对立事件首先是互斥事件，且一次试验中必有一个要发生．
(2)利用集合观点
设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.
①若事件A与B互斥，则集合A∩B＝?；
②若事件A与B对立，则集合A∩B＝?且A∪B＝Ω.
[变式训练1] 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是( D )
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有两个红球
解析：根据互斥事件与对立事件的定义判断．A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件．
类型二 事件的运算
[例2] 掷一枚骰子，下列事件：
A＝“出现奇数点”，B＝“出现偶数点”，C＝“点数小于3”，D＝“点数大于2”，E＝“点数是3倍数”．
求：(1)A∩B，BC；
(2)A∪B，B＋C；
(3)记为事件H的对立事件，求，C，∪C，＋.
[分析] 利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
[解] (1)A∩B＝?，BC＝{2}．
(2)A∪B＝{1,2,3,4,5,6}，
B＋C＝{1,2,4,6}．
(3)＝{1,2}；C＝BC＝{2}；
∪C＝A∪C＝{1,2,3,5}；＋＝{1,2,4,5}．
进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义；二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.
[变式训练2] 盒子里有6个红球，4个的白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件E＝{3个红球}，那么事件C与A，B，E的运算关系是( B )
A．C＝(A∩B)∪E
B．C＝A∪B∪E
C．C＝(A∪B)∩E
D．C＝A∩B∩E
解析：由题意可知C＝A∪B∪E.
课堂达标练经典
1．某人打靶时，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( C )
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．两次都不中靶
D．只有一次中靶
解析：“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”为互斥事件，同时，也是对立事件．
2．如果事件A，B互斥，那么( B )
A．A∪B是必然事件
B．A的对立事件与B的对立事件的和事件是必然事件
C．A的对立事件与B的对立事件是互斥事件
D．A的对立事件与B的对立事件不是互斥事件
解析：A与B有两种情况，一种是互斥不对立，另一种是A与B是对立事件，要分类讨论．
3．从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
上述事件中，是对立事件的是( C )
A．①
B．②④
C．③
D．①③
解析：③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．
4．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则事件“取出的是理科书”可记为B∪D∪E.
解析：由题意可知事件“取到理科书”的可记为B∪D∪E.
5．用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件A＝“三个圆的颜色全不相同”，事件B＝“三个圆的颜色不全相同”，事件C＝“其中两个圆的颜色相同”，事件D＝“三个圆的颜色全相同”．
(1)写出试验的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A，B，C，D；
(3)事件B与事件C有什么关系？事件A和B的交事件与事件D有什么关系？
解：(1)用数组(a，b，c)表示可能的结果，a，b，c分别表示三个圆所涂的颜色，则试验的样本空间
Ω＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)，(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}．
(2)A＝{(红，黄，蓝)}，B＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}，C＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)}，D＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)}．
(3)由(2)可知C?B，A∩B＝A，A与D互斥，所以事件B包含事件C，事件A和B的交事件与事件D互斥．
——本课须掌握的问题
概率论与集合论之间的对应关系
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-10.1.3 古典概型
[目标]
1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会用列举法计算一些随机事件所含的样本点个数及事件发生的概率；3.掌握利用概率的性质求古典概型的概率的方法．
[重点]
古典概型的概率及其概率计算.
[难点]
应用列举法求古典概型的概率．
要点整合夯基础
知识点 古典概型
[填一填]
1．古典概型的特点
①有限性：试验的样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
2．古典概型的概率公式
对任何事件A，P(A)＝.
[答一答]
1．在区间[2
013,2
014]上任取一个实数的试验，是不是古典概型？
提示：不是，因为在区间[2
013,2
014]上任取一个实数，是无限的．不符合试验结果有有限个的古典概型特点．
2．掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的概率，这个概率模型还是古典概型吗？
提示：不是．因为骰子不均匀，所以每个样本点出现的可能性不相等，不满足等可能性．
3．如何用集合的观点理解古典概型的概率公式？
提示：在一次试验中，等可能出现的n个结果可以组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n个元素．各个基本事件都对应着集合I的只含1个元素的子集，包含m个结果的事件A就对应着集合I的包含m个元素的子集A′.从集合的角度看，如图所示，事件A的概率就是子集A′的元素个数card(A′)与集合I的元素个数card(I)之比，即P(A)＝＝.
典例讲练破题型
类型一 古典概型的判断
[例1] 判断下列试验是不是古典概型：
(1)口袋中有2个红球、2个白球，每次从中任取1球，观察颜色后放回，直到取出红球；
(2)从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表；
(3)射击运动员向一靶子射击5次，脱靶的次数．
[分析] 运用古典概型的两个特征逐个判断即可．
[解] (1)每次摸出1个球后，仍放回袋中，再摸1个球．显然，这是有放回抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去，即所有可能结果有无限个，因此该试验不是古典概型．
(2)从5名同学中任意抽取1名，有5种等可能发生的结果：抽到学生甲，抽到学生乙，抽到学生丙，抽到学生丁，抽到学生戊．因此该试验是古典概型．
(3)射击的结果：脱靶0次，脱靶1次，脱靶2次，…，脱靶5次．这都是样本点，但不是等可能事件．因此该试验不是古典概型．
1.古典概型的判断方法：
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，因而并不是所有的试验都是古典概型.
2.下列三类试验都不是古典概型：
?1?样本点个数有限，但不等可能；
?2?样本点个数无限，但等可能；
?3?样本点个数无限，也不等可能.
[变式训练1] 下列试验中是古典概型的是( B )
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
解析：由古典概型的两个特征易知B正确．
类型二 简单的古典概型的问题
[例2] 有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：
编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
直径
1.51
1.49
1.49
1.51
1.49
1.51
1.47
1.46
1.53
1.47
其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品．
(1)从上述10个零件中，随机抽取1个，求这个零件为一等品的概率；
(2)从这些一等品中，随机抽取2个零件，
①用零件的编号列出样本空间；
②求这2个零件直径相等的概率．
[分析] 首先，阅读题目，收集题目中的各种信息；其次，判断事件是否为等可能事件，并用字母A表示所求事件；再次，求出事件的样本空间Ω包含的样本点个数n及事件A包含的样本点个数m；最后，利用公式P(A)＝
＝，求出事件A的概率．
[解] (1)由题表知一等品共有6个，设“从10个零件中，随机抽取1个为一等品”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)①一等品的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6，从这6个一等品中随机抽取2个，样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，
(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，共15个样本点．
②将“从一等品中，随机抽取的2个零件直径相等”记为事件B，则B包含的样本点有(A1，A4)，(A1，A6)，(A4，A6)，(A2，A3)，(A2，A5)，(A3，A5)，共6个，∴P(B)＝＝.
根据古典概型概率公式P(A)＝
＝进行解题．
[变式训练2] 将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次观察出现点数的情况．
(1)一共有多少个不同的样本点？
(2)点数之和为5的样本点有多少个？
(3)点数之和为5的概率是多少？
解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次，得到的点数有1,2,3,4,5,6，共6个样本点，故先后将这枚骰子抛掷两次，一共有6×6＝36(个)不同的样本点．
(2)点数之和为5的样本点有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4个．
(3)正方体骰子是质地均匀的，将它先后抛掷两次所得的36个样本点是等可能出现的，其中点数之和为5(记为事件A)的样本点有4个，因此所求概率P(A)＝＝.
类型三 较复杂的古典概型问题
[例3] 在一次口试中，考生要从5道题中随机抽取3道进行回答，答对其中2道题为优秀，答对其中1道题为及格，某考生能答对5道题中的2道题，试求：
(1)他获得优秀的概率为多少；
(2)他获得及格及及格以上的概率为多少．
[分析] 这是一道古典概率问题，须用列举法列出样本点个数．
[解] 设这5道题的题号分别为1,2,3,4,5，其中，该考生能答对的题的题号为4,5，则从这5道题中任取3道回答，该试验的样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共10个样本点．
(1)记“获得优秀”为事件A，则随机事件A中包含的样本点个数为3，故P(A)＝.
(2)记“获得及格及及格以上”为事件B，则随机事件B中包含的样本点个数为9，故P(B)＝.
解决有序和无序问题应注意两点
?1?关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的.但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误.
?2?关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以?a1，b?，?b，a1?不是同一个样本点.
[变式训练3] 甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字，将这两个玩具同时掷一次．
(1)若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少？
(2)两个玩具的数字之和共有多少种不同结果？其中数字之和为12的有多少种情况？数字之和为6的共有多少种情况？分别计算这两种情况的概率．
解：(1)甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故样本点总数为6×6＝36(个)．其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确定．故共有6×1＝6(种)不同的结果，即概率为＝.
(2)两个玩具的数字之和共有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12共11种不同结果．出现数字之和为12的只有一种情况，故其概率为.出现数字之和为6的共有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)五种情况，所以其概率为.
课堂达标练经典
1．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( A )
A.
B.
C.
D.
解析：把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的样本点共有16个，其中2个球同色的样本点有8个：(红1，红1)，(红1，红2)，(红2，红1)，(红2，红2)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，故所求概率为P＝＝.
2．甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为( A )
A.
B.
C.
D.
解析：甲、乙两人参加学习小组，若以(A，B)表示甲参加学习小组A，乙参加学习小组B，则一共有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9种情形，其中两人参加同一个学习小组共有3种情形，根据古典概型概率公式，得P＝.
3．先后抛掷两颗骰子，所得点数之和为7的概率为( C )
A.
B.
C.
D.
解析：抛掷两颗骰子，一共有36种结果，其中点数之和为7的共有6种结果，根据古典概型的概率公式，得P＝.
4．从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率为.
解析：用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共15种，2名都是女同学的选法为(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种，故所求的概率为＝.
5．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解：(1)因为样本量与总体中的个体数的比是＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×＝1,150×＝3,100×＝2，
所以A，B，C三个地区的商品被抽取的件数分别为1,3,2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A1；B1，B2，B3；C1，C2，则抽取的这2件商品构成的所有样本空间Ω＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)}，共15个样本点．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些样本点出现的机会是等可能的．记事件D＝“抽取的这2件商品来自相同地区”，则D＝{(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)}，共4个样本点．
所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.
——本课须掌握的两大问题
1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，因而并不是所有的试验都是古典概型．
2．求某个随机事件包含的样本点个数是求古典概型概率的基础和关键．应做到不重不漏．
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-10.1.4 概率的基本性质
[目标]
掌握概率的基本性质并能运用这些性质求一些简单事件的概率．
[重点]
概率基本性质的理解.
[难点]
概率的基本性质的应用．
要点整合夯基础
知识点 概率的几个基本性质
[填一填]
(1)对任意的事件A，都有P(A)≥0.
(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.
(3)如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(4)如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
(5)如果A?B，那么P(A)≤P(B)．
(6)设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
[答一答]
1．(1)若A，B为互斥事件，则( D )
A．P(A)＋P(B)<1
B．P(A)＋P(B)>1
C．P(A)＋P(B)＝1
D．P(A)＋P(B)≤1
(2)随机事件A发生的概率的范围是( D )
A．P(A)>0
B．P(A)<1
C．0
D．0≤P(A)≤1
解析：(1)由互斥事件的定义可知，选D.
(2)必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，随机事件的概率在[0,1]上．故选D.
2．若事件P(A)＋P(B)＝1，事件A与事件B是否一定对立？试举例说明．
提示：事件A与事件B不一定对立．例如：抛掷一枚均匀的骰子，记事件A＝“出现偶数点”，事件B＝“出现1点或2点或3点”，则P(A)＋P(B)＝＋＝1.当出现2点时，事件A与事件B同时发生，所以事件A与事件B不互斥，显然也不对立．
典例讲练破题型
类型一 互斥事件概率加法公式的应用
[例1] 某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
(2)超过7环的概率．
[分析] 先设出事件，判断是否互斥或对立，然后再使用概率公式求解．
[解] (1)设A＝“射中10环”，B＝“射中7环”，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．A∪B＝“射中10环或7环”．
故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.所以射中10环或7环的概率为0.49.
(2)设E＝“超过7环”，则事件E＝“射中8环或9环或10环”，由(1)可知“射中8环”“射中9环”等彼此是互斥事件，
所以P(E)＝0.21＋0.23＋0.25＝0.69，
所以超过7环的概率是0.69.
对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率等于这些事件概率的和.并且互斥事件的概率加法公式可以推广为：P?A1∪A2∪…∪An?＝P?A1?＋P?A2?＋…＋P?An?.其使用的前提条件仍然是A1，A2，…，An彼此互斥.故解决此类题目的关键在于分解事件及确立事件是否互斥.
[变式训练1]
掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现2点”，B表示“出现奇数点”，则P(A∪B)等于( B )
A. B.
C. D.
解析：∵P(A)＝，P(B)＝＝，事件A与B互斥，由互斥事件的概率加法公式得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
类型二 对立事件概率公式的应用
[例2] 甲、乙两人下棋，和棋的概率是，乙获胜的概率为，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．
[分析] 先设出事件，判断是否互斥或对立，然后再使用概率公式求解．
[解] (1)“甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率为1－－＝.
(2)方法一：“甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(甲不输)＝＋＝.
方法二：“甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(甲不输)＝1－＝，故甲不输的概率为.
?1?只有当A，B互斥时，公式P?A∪B?＝P?A?＋P?B?才成立；只有当A，B互为对立事件时，公式P?A?＝1－P?B?才成立.
?2?复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率的加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式P?A?＝1－P?\x\to(A)?求解.
[变式训练2] 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件B＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”．已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( C )
A．0.20 B．0.39
C．0.35 D．0.90
解析：∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而P(A)＝0.65，∴抽到的不是一等品的概率是1－0.65＝0.35.
课堂达标练经典
1．下列说法正确的是( C )
A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
B．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小
C．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
D．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
解析：对于A，当A、B为对立事件时，A,
B中至少有一个发生的概率和A，B中恰有一个发生的概率相等，故A错；对于B，若A、B是相等事件，此时A、B恰有一个发生为不可能事件，概率为0，故B错；C正确，D错误．故选C.
2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( C )
A.
B.
C.
D．1
解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“从中任意取出2粒恰好是同一色”为事件C.
则P(A)＝，P(B)＝.
由互斥事件的概率加法公式可得P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是，故选C.
3．若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于( A )
A．0.3
B．0.7
C．0.1
D．1
解析：∵A，B是互斥事件，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，
∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.故选A.
4．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.
解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝.
5．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.
求：(1)他乘火车或飞机去的概率；
(2)他不乘轮船去的概率．
解：设A＝“乘火车去开会”，B＝“乘轮船去开会”，C＝“乘汽车去开会”，D＝“乘飞机去开会”，它们彼此互斥．
(1)P(A＋D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
(2)P()＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8.
——本课须掌握的三大问题
1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．
2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
3．求复杂事件的概率通常有两种方法：
(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；
(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．
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-10.2 事件的相互独立性
[目标]
1.理解相互独立事件的定义及意义；2.理解概率的乘法公式．
[重点]
掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题．
[难点]
理解相互独立事件的定义及意义．
要点整合夯基础
知识点 事件的相互独立性
[填一填]
1．定义
对于任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则事件A与事件B相互独立，简称为独立．
2．性质
当事件A，B相互独立时，A与，与B，与也相互独立．
3．n个事件相互独立
对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．
4．n个相互独立事件的概率公式
如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)，并且上式中任意多个事件Ai换成其对立事件后等式仍成立．
[答一答]
甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为＋；②目标恰好被命中两次的概率为×；③目标被命中的概率为×＋×；④目标被命中的概率为1－×.
以上正确说法的序号是②④.
解析：①错误，目标恰好被命中一次的概率为×＋×；②正确，目标恰好被命中两次的概率为×；目标被命中的概率为1－×，所以③错误，④正确.
典例讲练破题型
类型一 相互独立事件的判断
[例1] 判断下列各对事件是否是相互独立事件．
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
[分析] (1)利用独立性概念的直观解释进行判断．(2)计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断．(3)利用事件的独立性定义式判断．
[解] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
(3)记A＝“出现偶数点”，B＝“出现3点或6点”，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，
∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝.∴P(A∩B)＝P(A)P(B)，
∴事件A与B相互独立．
判断事件是否相互独立的方法
1.定义法：事件A，B相互独立?P?A∩B?＝P?A?·P?B?.
2.由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
[变式训练1] (1)一袋中装有100只球，其中有20只白球，在有放回地摸球中，记A1＝“第一次摸得白球”，A2＝“第二次摸得白球”，则事件A1与2是( A )
A．相互独立事件
B．对立事件
C．互斥事件
D．无法判断
(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A＝“甲击中目标”，事件B＝“乙击中目标”，则事件A与事件B( A )
A．相互独立但不互斥
B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥
D．既不相互独立也不互斥
解析：(1)由于采用有放回地摸球，所以每次是否摸到白球，对下次摸球结果没有影响，故事件A1，2是相互独立事件．
(2)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．故选A.
类型二 相互独立事件发生的概率
[例2] 在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否相互独立的．
(1)求乙答对这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率．
[分析] (1)设乙答对这道题的概率为x，由对立事件概率关系和相互独立事件概率乘法公式，求出乙答对这道题的概率；
(2)设丙答对这道题的概率y，由相互独立事件概率乘法公式，求出丙答对这道题的概率和甲、乙、丙三人都回答错误的概率，再由对立事件的概率公式，求得答案．
[解] (1)记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件A，B，C，
设乙答对这道题的概率P(B)＝x，
由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A，B，C是相互独立事件．
由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，
得P(
)＝P()P()＝×(1－x)＝，解得x＝，
所以，乙对这道题的概率为P(B)＝.
(2)设“甲、乙、丙、三人中，至少有一人答对这道题”为事件M，丙答对这道题的概率P(C)＝y.
由(1)，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，
得P(BC)＝P(B)P(C)＝×y＝，解得y＝.
甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P(
)＝P()P()P()＝＝.
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，所以，所求事件概率为P(M)＝1－＝.
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤
?1?首先确定各事件之间是相互独立的；
?2?确定这些事件可以同时发生；
?3?求出每个事件的概率，再求积.
2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生.
[变式训练2] (1)一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是( B )
A.
B.
C.
D.
(2)明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是0.98.
解析：(1)设T＝“A与B中至少有一个不闭合”，R＝“E与F至少有一个不闭合”，则P(T)＝P(R)＝1－×＝，所以灯亮的概率为P＝1－P(T)P(R)P()P()＝1－×××＝，故选B.
(2)设A＝“两个闹钟至少有一个准时响”，
则P(A)＝1－(1－0.80)(1－0.90)＝1－0.20×0.10＝0.98.
课堂达标练经典
1．设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次．记事件A＝“第一个四面体向下的一面出现偶数”；事件B＝“第二个四面体向下的一面出现奇数”；C＝“两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数”．给出下列说法：
①P(A)＝P(B)＝P(C)；②P(AB)＝P(AC)＝P(BC)；
③P(ABC)＝；④P(A)P(B)P(C)＝.
其中正确的有( D )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，故①④对．
P(AB)＝×＝，P(AC)＝×＝，P(BC)＝×＝，故②对．
事件A，B，C不可能同时发生，P(ABC)＝0，故③错．故选D.
2．甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为( B )
A．0.42
B．0.12
C．0.18
D．0.28
解析：所求概率为(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12，故选B.
3．某同学从家到学校要经过两个十字路口．设各路口信号灯工作相互独立，且在第一个路口遇到红灯的概率为，两个路口都遇到红灯的概率为，则他在第二个路口遇到红灯的概率为( C )
A.
B.
C.
D.
解析：记事件A为“在第一个路口遇到红灯”，事件B为“在第二个路口遇到红灯”，由于两个事件相互独立，所以P(A)P(B)＝P(AB)，所以P(B)＝＝＝.
4．设M，N为两个随机事件，给出以下命题：(1)若M，N为互斥事件，且P(M)＝，P(N)＝，则P(M∪N)＝；(2)若P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件；(3)若P()＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件；(4)若P(M)＝，P()＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件；(5)若P(M)＝，P(N)＝，P()＝，则M，N为相互独立事件．其中正确命题的个数为( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：若M，N为互斥事件，且P(M)＝，P(N)＝，
则P(M∪N)＝＋＝，故(1)正确；
若P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝.
则由相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故(2)正确；
若P()＝，P(N)＝，P(MN)＝，
则P(M)＝1－P()＝，P(MN)＝P(M)·P(N)．
由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故(3)正确；
若P(M)＝，P()＝，P(MN)＝，
当M，N为相互独立事件时，P(N)＝1－P()＝，P(MN)＝×＝，故(4)错误；
若P(M)＝，P(N)＝，P(
)＝，
则P()＝，P()＝，P(
)≠P()·P()．
由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故(5)错误．故选C.
5．甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军.4个人相互比赛的胜率如下表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率.
甲
乙
丙
丁
甲
—
0.3
0.3
0.8
乙
0.7
—
0.6
0.4
丙
0.7
0.4
—
0.5
丁
0.2
0.6
0.5
—
那么甲得冠军且丙得亚军的概率是( C )
A．0.15
B．0.105
C．0.045
D．0.21
解析：甲、乙比赛甲获胜的概率是0.3，丙、丁比赛丙获胜的概率是0.5，甲、丙决赛甲获胜的概率是0.3，
根据独立事件的概率等于概率之积，所以，甲得冠军且丙得亚军的概率：0.3×0.5×0.3＝0.045.故选C.
——本课须掌握的问题
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-10.3 频率与概率
[目标]
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；2.了解概率的意义以及频率与概率的区别；3.学会用随机模拟法估计概率．
[重点]
随机事件的不确定性和频率的稳定性．
[难点]
频率与概率的区别．
要点整合夯基础
知识点一 频率与概率
[填一填]
1．频率的稳定性
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
2．频率与概率的区别与联系
(1)频率是概率的近似，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身是随机的试验前是不能确定的．
(2)概率揭示随机事件发生的可能性的大小，是一个确定的常数，与试验的次数无关，概率可以通过频率来测量，某事件在n次试验中发生了nA次，当试验次数n很大时，就将作为事件A发生的概率的近似值，即P(A)＝.
(3)求一个随机事件的概率的方法是根据定义通过大量的重复试验用事件发生的频率近似地作为它的概率；任何事件A的概率P(A)总介于0和1之间，即0≤P(A)≤1，其中必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.
[答一答]
1．小明说：“做10次抛硬币试验，正面向上的次数一定是5次”，这种说法对吗？
提示：不正确．因为每次试验结果都是随机的，在试验前不能确定正面向上的次数．
知识点二 随机模拟
[填一填]
1．随机模拟产生的原因
用频率估计概率，需要做大量的重复试验，费时、费力，甚至难以实现．
2．随机模拟的方法
利用计算器或计算软件产生随机数(根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验)．
[答一答]
2．用计算机或计算器模拟试验(蒙特卡洛法)的步骤是什么？
提示：①用计算机或计算器产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；
②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；
③计算频率fn(A)＝作为所求概率的近似值.
典例讲练破题型
类型一 频率与概率的理解
[例1] (1)请班内四位同学依次、分别抛掷一枚硬币20次，其他同学观看并且记录硬币正面朝上的次数，比较他们的结果一致吗？为什么会出现这样的情况？
(2)历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表所示：
抛掷次数
正面向上的次数
正面向上的比例
2
048
1
061
0.518
1
4
040
2
048
0.506
9
12
000
6
019
0.501
6
(续表)
抛掷次数
正面向上的次数
正面向上的比例
24
000
12
012
0.500
5
30
000
14
984
0.499
5
72
088
36
124
0.501
1
在上述抛掷硬币的试验中，你会发现怎样的规律？
(3)在抛掷硬币试验中，把正面向上的比例称作正面向上的频率，你能给频率下个定义吗？
(4)抛掷硬币试验表明，正面朝上在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，正面朝上发生的频率呈现出一定的规律性，这个规律性是如何体现出来的？
(5)在相同条件下，事件A在先后两次试验中发生的频率fn(A)是否一定相等？事件A在先后两次试验中发生的概率P(A)是否一定相等？
[解] (1)通过实际比较可知一致的可能性小，因为抛掷硬币是随机事件，在每一次抛掷前不知道抛掷后会出现什么结果，因此四位同学的结果一致的可能性比较小．
(2)当试验次数很多时，出现正面的比例在0.5附近摆动．
(3)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(4)事件A发生的频率趋于稳定，在某个常数附近摆动．
(5)频率具有随机性，做同样次数的重复试验，事件A发生的频率可能不相同；概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关．
[变式训练1] 李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：
成绩
人数
90分以上
43
80分～89分
182
70分～79分
260
(续表)
成绩
人数
60分～69分
90
50分～59分
62
50分以下
8
经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位)．
(1)90分以上；(2)60分～69分；(3)60分以上．
解：总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645，根据公式可计算出选修李老师的高等数学课的人的考试成绩在各个段上的频率依次为：≈0.067，≈0.282，≈0.403，≈0.140，≈0.096，≈0.012.
用已有的信息，可以估计出王小慧下学期选修李老师的高等数学课得分的概率如下：
(1)A＝“90分以上”，则P(A)≈0.067；
(2)B＝“60分～69分”，则P(B)≈0.140；
(3)C＝“60分以上”，则P(C)≈0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.
类型二 利用频率估计概率
[例2] 下表中列出了10次抛掷硬币的试验结果．n为抛掷硬币的次数，m为硬币正面朝上的次数，计算每次试验中“正面朝上”这一事件的频率，并估算它的概率.
[分析] 先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．
[解] 由fn(A)＝可得出这10次试验中“正面朝上”这一事件出现的频率依次为0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.49,0.488,0.516,0.524,0.494，这些数字在0.5左右摆动，由概率的统计定义可得，“正面朝上”的概率为0.5.
频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率.
[变式训练2] 一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数n
5
544
9
607
13
520
17
190
男婴数m
2
883
4
970
6
994
8
892
(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)；
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？
解：(1)计算即得男婴出生的频率依次约是0.520
0,0.517
3,
0.517
3,0.517
3.
(2)由于这些频率非常接近0.517
3，因此，这一地区男婴出生的概率约为0.517
3.
类型三 利用随机模拟法估计概率
[例3] 已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
[解析] 由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191,271,932,812,393，共5组随机数，∴所求概率为＝＝0.25.
[答案] B
用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.我们可以从以下三个方面考虑：
?1?当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点；
?2?研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；
?3?当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.
[变式训练3] 已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0,1，表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947
1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424
7610 4281
据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为( A )
A. B. C. D.
解析：∵4次射击中有2次及以上未击中目标的有：7140,1417,0371,
6011,7610，∴所求概率为1－＝.
课堂达标练经典
1．有下列两个命题：
(1)抛掷100次硬币，出现正面朝上的频率为0.4，则硬币正面向上的次数为40次；
(2)若一批产品的次品率为0.1，则此该产品中随机抽取100件，一定会有10件次品．
以下判断正确的是( C )
A．(1)错；(2)错
B．(1)错；(2)正确
C．(1)正确；(2)错
D．(1)正确；(2)正确
解析：在命题(1)中，根据题设条件可直接求得硬币正面向上的此时为40次，故(1)正确．在命题(2)中次品率为0.1，不等于100件产品中一定有10件次品，故(2)是错误的，故应选C.
2．在一次摸彩票中奖活动中，一等奖奖金为10
000元，某人摸中一等奖的概率是0.001，这是指( C )
A．这个人抽1
000次，必有1次中一等奖
B．这个人每抽一次，就得奖金10
000×0.001＝10元
C．这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001
D．以上说法都不正确
解析：摸一次彩票相当于做一次试验，某人摸中一等奖的概率是0.001，只能说明这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001，而不能说这个人抽1
000次，必有1次中一等奖，也不能说这个人每抽一次，就得奖金10
000×0.001＝10(元)，因此选C.
3．某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的( B )
A．概率为
B．频率为
C．频率为8
D．概率接近于8
解析：做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为.如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率．故＝为事件A的频率．
4．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，某部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天下雨的概率，先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4表示下雨，其余6个数字表示不下雨．产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
则这三天中恰有两天降雨的概率约为.
解析：在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有191,271,932,812,393，共有5组随机数，∴概率约为＝.
5．某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表.
(1)请完成上述表格(保留3位小数)；
(2)该油菜籽发芽的概率约为多少？
解：(1)填表如下：
(2)由(1)估计该油菜籽发芽的概率约为0.900.
——本课须掌握的三大问题
1．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．
2．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性较大．
3．利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养.
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1
-第十章
概率
本章总结
[例1] 甲、乙两人参加知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
[分析] 应用互斥事件的概率的加法公式解题时．一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率．
[解] 把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种，“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．
(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为＝，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为＝，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为＋＝.
(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为＝，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－＝.
1.互斥事件与对立事件的概率计算
(1)若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
(2)设事件A的对立事件是，则P(A)＝1－P()．
2．求复杂事件的概率常用的两种方法
(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和．
(2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解．
[变式训练1] 某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1
000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)抽取1张奖券中奖的概率；
(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．
解：(1)∵每1
000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，
∴P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则
P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则
P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－－＝.
[例2] 现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
[分析] 对于古典概型概率的计算，关键是分清样本点个数n与事件A中包含的结果数m，有时需用列举法把样本点一一列举出来，再利用公式P(A)＝求出事件的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏．
[解] (1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，样本点共15个，而且这些样本点的出现是等可能的．
用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个，所以P(A)＝＝.
(2)样本空间同(1)，用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的样本点有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8个，所以P(B)＝.
求解古典概型概率问题的关键是找出样本空间中样本点的总数及所求事件所包含的样本点数，常用方法是列举法、列表法、画树状图法等.
[变式训练2] 如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( C )
A.
B.
C.
D.
解析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.
[例3] 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表如下．
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
2
8
14
10
6
(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级，如下表所示.
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大，并说明理由．
[分析] 在解决综合问题时，要求同学们对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信息，排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的．
[解] (1)如图所示．
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．
(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
记CA表示事件“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.
所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
本题通过画频率分布直方图考查对数据的处理能力和数形结合的思想方法，通过求概率考查运算求解能力和实际应用意识.
[变式训练3] 某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：
组数
分组
低碳族的人数
占本组的频率
第一组
[25,30)
120
0.6
第二组
[30,35)
195
p
第三组
[35,40)
100
0.5
第四组
[40,45)
a
0.4
第五组
[45,50)
30
0.3
第六组
[50,55]
15
0.3
(1)补全频率分布直方图并求n，a，p的值；
(2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层随机抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率．
解：(1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高为＝0.06.频率分布直方图如下：
第一组的人数为＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n＝＝1
000.
由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为
1
000×0.3＝300，所以p＝＝0.65.
第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为
1
000×0.15＝150，
所以a＝150×0.4＝60.
(2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比为60?30＝2?1，
所以采用分层随机抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人．
设[40,45)岁中的4人为a，b，c，d，[45,50)岁中的2人为m，n，则选取2人作为领队的选法有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，共15种；其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共8种．
所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为.
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