11.1.1
空间几何体与斜二测画法
1、—个平面图形用斜二测法作的直观图是一个边长为的正方形,则原图形的周长是(??
)
A.
B.
C.
D.
2、一个边长为a的正三角形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原来正三角形面积的
(
)
A.倍
B.
倍
C.
倍
D.
倍
3、已知水平放置的按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，那么原的面积是(
)
A.
B．
C.
D.
4、如图,矩形是水平放置的一个平面图形的直观图,其中,则原图形是（
）
A.正方形????????????????????????B.矩形
C.菱形?????????????????????????
D.一般的平行四边形
5、如图，是一平面图形的直观图，直角边，则这个平面图形的面积是( )
A．
B．1
C.
D．
6、下列是关于斜二测直观图的命题：?三角形的直观图还是三角形；?平行四边形的直观图还是平行四边形；?菱形的直观图还是菱形④正方形的直观图还是正方形.其中正确的个数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
7、下列选项中的均是水平放置的边长为的正三角形,在斜二测画法下,其直观图不是全等三角形的一组是(???)
A.
B.
C.
D.
8、给出下列结论:
①水平放置的角的直观图一定是角;
②相等的角在直观图中仍然相等;
③相等的线段在直观图中仍然相等;
④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行.
其中正确的结论有(???)
A.①②???????B.①④???????C.③④???????D.①③④
9、已知梯形是直角梯形,按照斜二测画法画出它的直观图
(如下图所示),其中,,,则直角梯形边的长度是（
）
A.
B.
C.
D.
10、如图正方形的边长为,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是(
)
A.
B.
C.
D.
11、一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形,若,那么原△的面积是_______________.
12、如图，矩形是水平放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，其中，则原图形面积是__________.
13、如图,正方形的边长为它是一个水平放置的平面图形的直观图,则它的原图形的周长是___________
14、已知正三角形的边长为1，则它的直观图的面积为_______.
15、用斜二测画法画出图中水平放置的四边形的直观图.
答案以及解析
1答案及解析：
答案：B
解析：如图所示,将斜二测画法中的正方形还原为平面直角坐标系中的四边形
因为位于轴上,长度为1,
位于轴上,且,
故位于轴,且,
则还原之后,且,
即四边形为平行四边形.
由勾股定理可得,
则原图形的周长是.
故选B.
2答案及解析：
答案：A
解析：
3答案及解析：
答案：A
解析：
4答案及解析：
答案：C
解析：本题考查斜二测画法的逆用
根据斜二测的画法可得,还原出的图如下,
其中
(平行于轴的长度不变).
(平行于轴的长度扩为2倍).由于,且,
所以为平行四边形,又,所以为菱形.故答案为
C.
5答案及解析：
答案：C
解析：
6答案及解析：
答案：B
解析：
7答案及解析：
答案：C
解析：C中,前者在斜二测画法下,所得的直观图中,底边不变,高变为原来的,后者在斜二测画法下,所得的直观图中,高不变,底边变为原来的,故C中两个图形在斜二测画法下所得直观图不全等.
8答案及解析：
答案：B
解析：由斜二测画法的规则,知①④正确.
9答案及解析：
答案：B
解析：由已知作出梯形ABCD是直角梯形，如图：
∵按照斜二测画法画出它的直观图，
∴直角梯形ABCD中,
，
过D作，交BC于E，则，
∴直角梯形DC边的长度为：.
10答案及解析：
答案：A
解析：首先把直观图还原为平面图形,按照换直观图的法则,
依旧为原点,
在轴上,
长度不变(),因,在轴还原后还在轴,还原后,轴还原后依旧平行轴长度不变,得到平行四边,∵,周长为?.
11答案及解析：
答案：
解析：
12答案及解析：
答案：
解析：
13答案及解析：
答案：
解析：
14答案及解析：
答案：
解析：
15答案及解析：
答案：(1)画轴,
轴,两轴相交于点,使.
(2)在轴上取点,使,作//轴,并取,在轴上取点,使,在轴上取点,使,顺次连接,如图1所示.
(3)擦去作为辅助线的坐标轴、线段、点,便得到四边形的直观图,如图2所示.
解析：
PAGE11.1.2
构成空间几何体的基本元素
1、为空间三点
,经过这三点（
）
A.能确定一个平面
B.能确定无数个平面
C.能确定一个或无数个平面
D.能确定一个平面或不能确定平面
2、空间中四点可确定的平面有（
）
A.1个
B.4个
C.1个或4个
D.1个或4个或无数个
3、平面α与平面都相交,则这三个平面可能有（
）
A.
1条或2条交线
B.
2条或3条交线
C.
仅2条交线
D.
1条或2条或3条交线
4、下列命题错误的是（
）
A.不在同一直线上的三点确定一个平面
B.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C.如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面
D.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面
5、下列图形均表示两个相交平面,其中画法正确的是(???)
A.
B.
C.
D.
6、把正方体各个面伸展成平面，则把空间分为的部分数值为
(
)
A．13 B．19
C．21 D．27
7、空间不共线的四点，可以确定平面的个数为(
)
A．0
B．1
C．1或4
D．无法确定
8、设平面平面是的中点,当分别在内运动时,所有的动点(??
)
A.不共面
B.当且仅当在两条相交直线上移动时才共面
C.当且仅当在两条给定的平行直线上移动时才共面
D.共面
9、下列四个命题中错误的是(
)
A.
若直线互相平行,则直线确定一个平面
B.
若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线
C.
若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线
D.
两条异面直线不可能垂直于同一个平面
10、空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（
）
A．3
B．1或2
C．1或3
D．2或3
11、有以下3个命题:
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点;
②直线在平面内,可以用""表示;
③
若平面内的一条直线与平面内的一条直线相交,
则与相交.
其中所有真命题的序号是__________.
12、不共面的四点最多可以确定平面的个数为________.
13、若直线与平面相交于点且，则三点的位置关系是__________.
14、设直线a上有6个点，直线b上有9个点，则这15个点，能确定_____个不同的平面.
15、如图,在正方体中,判断下列命题是否正确,并说明理由.
1.由点可以确定一个平面;
2.由点确定的平面为平面.
答案以及解析
1答案及解析：
答案：D
解析：由于题设中并没有指明这三点之间的位置关系,所以在应用公理2时要注意条件
“不共线的三点。
当三点共线时,经过这三点就不能确定平面,
当三点不共线时,经过这三点就可以确定一个平面,故选D.
2答案及解析：
答案：D
解析：
3答案及解析：
答案：D
解析：
4答案及解析：
答案：C
解析：如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，可能相交或平行于另一个平面，故命题错误.
5答案及解析：
答案：D
解析：A中图形没有画出两平面的交线,故不正确;B,C中图形的实、虚线没有按照画法原则去画,也不正确.故选D.
6答案及解析：
答案：D
解析：
7答案及解析：
答案：C
解析：
8答案及解析：
答案：D
解析：不论如何移动,点均在与距离相等的平面内,故选D.
9答案及解析：
答案：C
解析：解：A、由两条直线平行确定一个平面判断正确，故A不对；
B、根据三棱锥的四个顶点知，任意三点都不共线，故B不对；
C、若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行，故C对；
D、根据线面垂直的性质定理知，这两条直线平行，即不可能，故D不对．
故选C．
10答案及解析：
答案：C
解析：
11答案及解析：
答案：①③
解析：若平面外的直线与平面有两个或两个以上的公共点,则这条直线一定在这个平面内,矛盾,故①正确;
直线在平面内用符号""表示,即,故②错误;
由与相交,说明两个平面有公共点,因此一定相交,故③正确.
12答案及解析：
答案：4
解析：∵不共线的三个点确定一个平面，不共面的四点就一定不存在三个点共线的情况，
∴从4个点中任取3个点都可以确定一个平面，共有种结果，.
13答案及解析：
答案：共线
解析：三点共线,证明如下：如图所示，,与可确定一个平面
又
直线.
三点共线.
14答案及解析：
答案：15
解析：当直线共面时，可确定一个平面；
当直线a，b异面时，直线a与b上9个点可确定9个不同平面，直线b与a上6个点可确定6个不同平面，所以一点可以确定15个不同的平面．
15答案及解析：
答案：1.不正确.因为点在同一条直线上,故不能确定一个平面.
2.正确.因为点不共线,所以可确定一个平面.又因为,所以点平面.所以由点确定的平面为平面.
解析：
PAGE11.1.3
多面体与棱柱
1、下列命题：
①
多面体的面数最少为4；
②
正多面体只有5种；
③
凸多面体是简单多面体；
④
一个几何体的表面，经过连续变形为球面的多面体就叫简单多面体。
其中正确的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2、下列各组几何体中是多面体的一组是(??
)
A.三棱柱、四棱台、球、圆锥
B.三棱柱、四棱台、正方体、圆台
C.三棱柱、四棱台、正方体、六棱锥
D.圆锥、圆台、球、半球
3、下列几何体中,多面体是(?
?)
A.
B.
C.
D.
4、下列说法中正确的是(???)
A.有两个面平行,其余各面都是三角形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行,其余各面都是梯形的几何体叫棱台
C.有一个面是多边形,其余各面都是五边形的几何体叫棱锥
D.棱台各侧棱的延长线交于一点
5、下列说法中正确的个数是(
)
①圆锥的轴截面是等腰三角形;
②用一个平面去截棱锥,得到一个棱锥和一个棱台;
③棱台各侧棱的延长线交于一点;
④有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.
A.0
B.1
C.2
D.3
6、下列命题中正确的是（
）
A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台
C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
D.棱台各侧棱的延长线交于一点
7、如图,模块①?⑤均由4个棱长为1的小正方体构成,模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①?⑤中选出3个放到模块⑥上,使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.下列选择方案中,能够完成任务的为(??
)
A.模块①②⑤
B.模块①③⑤?
C.模块②④⑤?
D.模块③④⑤
8、设集合={正四棱柱},={长方体},={直四棱柱},={正方体},这些集合间的关系是(?
?)
A.
B.
C.
D.
9、下列命题正确的是(???
)
A.棱柱的侧面都是长方形
B.棱柱的所有面都是四边形
C.棱柱的侧棱不一定相等
D.一个棱柱至少有五个面
10、如图是一个正方体,它的展开图可能是下面四个展开图中的(??
)
A.
B.
C.
D.
11、如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为__________.
12、给出下列说法:
①棱柱的棱都相互平行且相等;
②面数最少的多面体一定是三棱锥;
③五面体是三棱柱或三棱台.
其中正确说法的个数是__________.
13、底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为，它的对角线的长分别是和，则这个棱柱的侧面积是_______________.
14、下列有关棱柱的说法:
①棱柱的所有的面都是平的;
②棱柱的所有的棱长都相等;
③棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形;
④棱柱的侧面的个数与底面的边数相等;
⑤棱柱的上、下底面形状、大小相等.
其中正确的有________.(填序号)
15、已知长方体,如图所示.
1.长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?请说明理由.
2.用平面把这个长方体分成两部分,各部分还是棱柱吗?如果是,判断是几棱柱,并用符号表示;如果不是,请说明理由.
答案以及解析
1答案及解析：
答案：D
解析：
2答案及解析：
答案：C
解析：对于A,由于球、圆锥是旋转体,不是多面体,故A不正确;
对于B,由于圆台是旋转体,不是多面体,故B不正确;
对于C,三棱柱、四棱台、正方体、六棱锥,它们的各个面都是平面多边形,所以C的各个几何体都是多面体,C项正确;
对于D,圆锥、圆台、球、半球都是旋转体,D项中没有多面体,故D不正确,故选C.
3答案及解析：
答案：B
解析：
4答案及解析：
答案：D
解析：
5答案及解析：
答案：C
解析：
6答案及解析：
答案：D
解析：
7答案及解析：
答案：A
解析：先将模块⑤放到模块⑥上,在把模块①放到模块⑥上,在把模块②放到模块⑥上.
8答案及解析：
答案：D
解析：正方体是侧棱长等于底面边长的正四棱拄,正四棱柱的上、下两个底面都是正方形,其余各面都是矩形,因此正四棱柱一定是长方体,长方体的侧棱和上、下两底面垂直,因此长方体一定是直四棱柱,故的关系为,因此选D.
9答案及解析：
答案：D
解析：A不对,侧面都是平行四边形,不一定都是长方形;B不对,三棱柱的底面是三角形C不对,棱柱的侧棱一定相等D对,三棱柱的面最少,三个侧面两个底面共5个面,其他棱柱都多余5个面故选D
10答案及解析：
答案：A
解析：
11答案及解析：
答案：
解析：平面将多面体分成了两个以为底面边长,高为的正四棱锥,
所以其体积为.
12答案及解析：
答案：1
解析：对于①,棱柱的侧棱都相互平行且相等,故①不正确;②显然正确;对于③,五面体也可以是四棱锥,故③不正确.
综上,正确说法的个数为1.
13答案及解析：
答案：160
解析：
14答案及解析：
答案：
解析：
15答案及解析：
答案：1.长方体是棱柱,且是四棱柱.因为上下两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行,所以是棱柱,由于底面是四边形,所以是四棱柱.
2.平面把这个长方体分成的两部分还是棱柱.
左边部分几何体的两个面和平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行,所以是棱柱,
由于底面是四边形,所以是四棱柱,即左边部分几何体为四棱柱;
同理右边部分几何体为三棱柱.
解析：
PAGE11.1.4
棱锥与棱台
1、若正棱锥的底面边长与侧棱长都相等，则该棱锥一定不是（
）
A．三棱锥
B．四棱锥
C．五棱锥
D．六棱锥
2、下列说法中正确的是(???)
A.有两个面平行,其余各面都是三角形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行,其余各面都是梯形的几何体叫棱台
C.有一个面是多边形,其余各面都是五边形的几何体叫棱锥
D.棱台各侧棱的延长线交于一点
3、如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥不可能是(??
)
A.正三棱锥?????B.正四棱锥?????C.正五棱锥?????D.正六棱锥
4、已知四棱锥底面四边形中顺次三个内角的大小之比为，此棱锥的侧棱与底面所成的角相等，则底面四边形的最小角是（
）
A．
B．
C．
D．无法确定的
5、如下图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是(??
)
A.①是棱台?????B.②是圆台?????C.③是棱锥?????D.④不是棱柱
6、下列命题正确的是(??
)
A.棱柱的底面一定是平行四边形
B.棱锥的底面一定是三角形
C.棱台的底面是两个相似的正方形
D.棱台的侧棱延长后必交于一点
7、如图,三棱台截去三棱锥后,剩余部分是(???)
A.三棱锥?????B.四棱锥?????C.三棱台?????D.四棱柱
8、如图,根据下列条件能推断出这个几何体可能是三棱台的是(??
)
A.
B.
C.
D.
9、如图,在正四棱台中,上底面边长为,下底面边长为,高为,点分别在棱上,且.若过点的平面与此四棱台的下底面相交,则平面与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为(???)
A.
B.
C.
D.
10、如图，在三棱台的6个顶点中任取3个点作平面，设平面，若，
则这3个点可以是（
）
A.
B. ????
C. ????
D.
11、给出下列说法:
①棱柱的棱都相互平行且相等;
②面数最少的多面体一定是三棱锥;
③五面体是三棱柱或三棱台.
其中正确说法的个数是__________.
12、底面边长6，侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为__________．
13、如图,三棱锥中,
,点在侧面上,且到直线的距离为
,则的最大值是________.
14、已知正四棱台的上底面边长为,下底面边长为,高为,则它的侧棱长为__________.??????????????????????????
15、在正方形中,
、分别为、的中点,
现在沿及把△、△和△折起,使、、三点重合,重合后的点记为问:
1.依据题意知该几何体是什么几何体?
2.这个几何体由几个面构成,每个面的三角形是什么三角形?
3.若正方形的边长为,则所折成的几何体每个面的面积为多少?
答案以及解析
1答案及解析：
答案：D
解析：
2答案及解析：
答案：D
解析：
3答案及解析：
答案：D
解析：正六棱锥的侧棱长大于底面边长,所以其侧面不可能是等边三角形.
4答案及解析：
答案：B
解析：∵四棱锥底面四边形中顺次三个内角的大小之比为,又四边形的对角和为,
∴这三个角为,从而剩余的角为,
∴底面四边形的最小角是,故选B
5答案及解析：
答案：C
解析：利用几何体的结构特征进行分析判断,能够求出结果解:图①不是由棱锥截来的,所以①不是棱台;图②上、下两个面不平行,所以②不是圆台;图③是棱锥.图④前、后两个面平行,其他面是平行四边形,且每相邻两个四边形的公共边平行,所以④是棱柱.故选C
点评:本题考查几何体的结构特征,解题时要认真审题,注意熟练掌握基本概念.
6答案及解析：
答案：D
解析：棱台的侧棱延长后必交于一点.
7答案及解析：
答案：B
解析：剩余部分是四棱锥
8答案及解析：
答案：C
解析：在A中,
,故A不符合题意;
在B中,
,
所以平行于,平行于,
不平行于,故B不符合题意;
在C中,
,
所以平行于,平行于,
平行于,故C符合题意;
在D中,若,
并不一定得到平行于,平行于,
平行于,故D不符合题意.
9答案及解析：
答案：B
解析：当平面经过点时与四棱台的面的交线围成的图形的面积最大,
此时所围成的图形为等腰梯形,上底,下底.
此时作正四棱台俯视图如下.
则的中点在底面的投影到的距离为,
因为正四棱台的高为5.
所以截面等腰梯形的高为.
所以截面面积的最大值为.
故选B.
10答案及解析：
答案：D
解析：过点B作，则，
连接，，，如图所示：
则平面可以为平面，
则平面，且，
所以这3个点可以是,,.故选D.
11答案及解析：
答案：1
解析：对于①,棱柱的侧棱都相互平行且相等,故①不正确;②显然正确;对于③,五面体也可以是四棱锥,故③不正确.
综上,正确说法的个数为1.
12答案及解析：
答案：
解析：如图，正三棱锥中，O为底面中心，
∵侧面为等腰直角三角形，，
故答案为：．
13答案及解析：
答案：
解析：
14答案及解析：
答案：6
解析：
15答案及解析：
答案：1.三棱锥;
2.这个集合体由四个面构成,即面、面、面、面.
由平面几何知识可知,
所以△为等腰三角形,△、△、△为直角三角形.
3.由2可知,,
,
所以.
解析：
PAGE11.1.5
旋转体
1、将边长为的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积为(????)
A.
B.
C.
D.
2、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周,所形成的几何体包括(??
)
A.一个圆台、两个圆锥?????????????????
B.两个圆台、一个圆柱
C.两个圆台、一个圆锥?????????????????
D.一个圆柱、两个圆锥
3、如图所示,在中,
.若将绕BC所在的直线旋转一周,则所形成的旋转体的表面积是(
)
A.
B.
C.
D.
4、如图是由哪个平面图形旋转得到的(?
)
?
A.
B.
C.
D.
5、一个球内有一内接长方体,其长、宽、高分别为，则球的直径为(
)
A.
B.
C.
D.
6、正方体内切球和外接球半径的比为(
)
A.
B.
C.
D.
7、小明在上海世博会参观时，看到一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是
（
）
A．圆柱
B．圆锥
C．球
D．圆台
8、下列四个命题中，其中错误的个数是（
）
①
经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个大圆；
②
经过球直径的三等分点，作垂直于该直径的两个平面，则这两个平面把球面分成三部分的面积相等；
③
球的面积是它大圆面积的四倍；
④
球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上，以这两点为端点的劣弧的长．
A．
0
B．
1
C．
2
D．
3
9、已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，．若球心在三棱锥的高的三等分点处，则球的半径为（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
10、已知正三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，.若球心O在三棱锥的高AQ的三等分点处，则球O的半径为(
)
A.3
B.2
C.3
D.4
11、如图,多面体,两两垂直,
,,则经过的外接球的表面积是__________
12、巳知球O为正四面体的内切球，E为棱的中点，,则平面截球O所得截面圆的面积为____________.
13、已知正三角形的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面的距离为，点E是线段的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是
．
14、已知球的表面积为,用一个平面截球,使截面圆的半径为,则截面圆心与球心的距离是________.
15、球的两个平行截面的面积分别是，两截面间的距离为1，求球的半径．
答案以及解析
1答案及解析：
答案：C
解析：由题意可知该几何体是底面半径,母线的圆柱,故.故选C.
思路导引:所得几何体为圆柱,求出底面半径和母线后即可求侧面积.
2答案及解析：
答案：D
解析：如图所示:
3答案及解析：
答案：A
解析：
绕直线BC旋转一周,所形成的旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥,
是一个以A到BC的距离AO为半径,母线为AC的圆锥挖去同底的以AB为母线的的圆锥的组合体,
,,
所以该几何体的表面积为．
故选A．
4答案及解析：
答案：D
解析：A.应旋转为中间是圆柱,上下是圆锥,
B.应旋转为上下同底的两个圆锥,
C.应旋转为上面是圆柱,线面是圆锥,只有D旋转后是如图的几何体,故选D.
5答案及解析：
答案：A
解析：因为一个球内有一内接长方体，所以该球的直径为内接长方体的对角线，
因为内接长方体的长、宽。高分别为，所以长方体的对角线长为，所以该球的直径为.综上所述，答案选择：A
6答案及解析：
答案：B
解析：
7答案及解析：
答案：C
解析：
8答案及解析：
答案：C
解析：
9答案及解析：
答案：B
解析：如图，设，则，
在底面正三角形中，求得，
在直角三角形中，，
得，
∴球的半径为2，
故选：B．
10答案及解析：
答案：B
解析：设球O半径为R，则.AQ为正三棱锥的高，则Q为等边三角形的中心，则，，所以在中，，即，解得，故选B.
11答案及解析：
答案：
解析：∵多面体两两垂直,
,
∴经过A，B，C，D的外接球就是以OA，OB，OC为棱构成的长方体的外接球，
设OA=a，OB=b，OC=c，
则,∴，
∴经过A,B,C,D的外接球的半径，
∴经过A,B,C,D的外接球的表面积
12答案及解析：
答案：
解析：因为球0为正四面体的内切球，,所以正四面体的体积为.设正四面体内切球的半径长为r,则，故内切球半径.因为平面截球O所得截面经过
球心，所以平面截球O所得截面圆半径与球的半径相等，故截面圆面积.
13答案及解析：
答案：
解析：
14答案及解析：
答案：
解析：因为,所以，又，即截面与球心的距离为；
15答案及解析：
答案：设两个平行截面圆的半径分别为，球半径为R，则由，得由，得.
(1)如图所示，当两个截面位于球心O的同侧时，有，所以，解得.
(2)当两个截面位于球心O的异侧时，有.此方程无解．
所以球的半径是3
解析：
PAGE11.1.6
祖暅原理与几何体的体积
1、如图，已知在平行六面体中，，且，则该平行六面体的体积为(
)
A.
B.
C.6
D.8
2、小明有一个圆柱形水杯，水杯内壁的直径是8cm，高是cm.小明用这个水杯接了一些水，随后缓慢倾斜水杯喝水，小明刚好喝到水时，圆柱形水杯的母线与地面的夹角是60°小明恰好停止喝水时，水杯的母线与地面的夹角是30°小明喝掉的水的体积是()
A.
B.
C.
D.
3、已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(???)
A.
B.
C.
D.
4、如图，三棱锥中，平面，，，分别是上的点，且，，则几何体的体积为(
)
A.
B.
C.
D.
5、设是同一个半径为的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为(?
?)
A.
B.
C.
D.
6、已知是圆锥底面圆的两条相互垂直的直径，，四棱锥侧面积为，则圆锥的体积为(
)
A.
B.
C.
D.
7、我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为l尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸）（）
A．3寸
B．4寸
C．5寸
D．6寸
8、已知正六棱台的上下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（）
A.
B.
C.
D.
9、已知三棱锥中，是以A为直角顶点的直角三角形，，，且，为的外接圆的圆心，，则三棱锥外接球的体积为(
)
A.
B.
C.
D.
10、已知三棱锥中，，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为(
)
A．
B．
C．
D．
11、如图,在圆柱内有一个球,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱的体积为,球的体积为,则的值是__________.
12、如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为__________.
13、如图，边长为2的菱形中，沿对角线将其折起，使点A与点重C合，则当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的体积为.
14、如图,在棱长均为3的正四棱锥中,分别是上的点,平面与平面平行,S为和的交点,当四棱锥的体积最大时,____________,四棱锥外接球的表面积为______.
15、一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥,且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上,如图,已知圆锥底面面积是这个球面面积的,设球的半径为R,圆锥底面半径为r.
1.试确定R与r的关系,并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比;
2.求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比.
答案以及解析
1答案及解析：
答案：A
解析：依题意可得平行六面体的底面积，
连接由，可知点A在底面上的射影在上，
设H为点A在底面上的射影，
如图，设，则，则，
故，因此.
可得该平行六面体的体积，故选A.
2答案及解析：
答案：D
解析：根据题意可知，，，，
如图，则，，故初始时水的体积为，
结时水的体积为圆柱的一半，即故小明喝掉的水的体积为.故选D
3答案及解析：
答案：B
解析：由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径，
则圆柱体体积，故选B.
4答案及解析：
答案：D
解析：在中，，，由，可得.
因为平面，所以，
因为，，所以.
易知三棱锥与三棱锥的高相等，则它们的体积比等于其底面积的比，
即，所以
所以几何体的体积为，故选D.
5答案及解析：
答案：B
解析：如图所示
,
点M为的重心,E为AC中心,当平面时,三棱锥体积最大(O是球心)此时,
∴
∴中,有
∴
∴
故选B
6答案及解析：
答案：A
解析：设圆锥的底面半径为r，则，所以，解得，所以圆锥的母线，高，则圆锥体积.
7答案及解析：
答案：A
解析：作为圆台的轴截面如图所示，
由题意知，（单位：寸，下同），即G是的中点，所以为梯形的中位线，所以，即积水上底面半径为10，所以盆中积水的体积为（立方寸），又盆口的面积为（平方寸），所以平均降雨量是（寸），即平均降雨量是3寸
8答案及解析：
答案：B
解析：由题意可知，下底面面积，上底面面积，正六棱台的体积
9答案及解析：
答案：B
解析：设三棱锥外接球的球心为O，半径为R，连接，如图.
由已知，得为圆的直径，则.
因为，，，所以在中，
由余弦定理，得，所以.
又，所以为钝角.
由正弦定理，得，即，
得，所以，
又平面，，所以，
在中，，
在中，，
即，得，
所以球O的体积.故选B
10答案及解析：
答案：C
解析：
11答案及解析：
答案：
解析：设球半径为,则.故答案为.
12答案及解析：
答案：
解析：平面将多面体分成了两个以为底面边长,高为的正四棱锥,
所以其体积为.
13答案及解析：
答案：
解析：过作平面，垂足为H，则，
显然当平面平面时，取得最大值.
设三棱锥的外接球球心为和的外接圆圆心分别为，
连接并延长，交于点M，连接，，
易得四边形为正方形，则.
在中，，所以,
所以外接球的半径，所以.
14答案及解析：
答案：;
解析：因为平面与平面平行,所以四边形与四边形相似,所以四边形是正方形,设,所以,易知四棱锥与四棱锥的高的比值为,设,则,设,则,则当时,,当时,,所以当,即时,取得最大值,此时取得最大值
连接,设与交于点M,易知点M在上,
设四棱锥的外接球球心为O,半径为R,易知O在直线上,连接,易知点O在四棱锥的外部,则,解得,所以四棱锥的外接球的表面积为.
15答案及解析：
答案：1.不妨设球的半径为4;
则球的表面积为,圆锥的底面积为,
圆锥的底面半径为;
由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离,球的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形
由此可以求得球心到圆锥底面的距离是,
所以圆锥体积较小者的高为,
同理可得圆锥体积较大者的高为;
又由这两个圆锥的底面相同,
较大圆锥与较小圆锥的体积之比等于它们高之比,即
2.由1可得两个圆锥的体积和为,
球的体积为,
故两个圆锥的体积之和与球的体积之比为
解析：11.2
平面的基本事实与推论
1、下列命题中，错误的是（
）
A.一条直线和直线外一点确定一个平面
B.平行于同一平面的两个不同平面平行
C.若直线不平行平面，则在平面内不存在与平行的直线
D.如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
2、下列命题正确的是(???)
①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直
②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,它必和另一个平面平行
③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直
④如果两个平面互相垂直,经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内
A.①③?
B.②③
?C.②③④
D.④
3、设表示不同直线，表示不同平面，则下列结论中正确的是(
)．
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4、下列命题错误的是（
）
A.不在同一直线上的三点确定一个平面
B.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C.如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面
D.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面
5、给出下列语句:
①一个平面长3m,宽2m;
②平面内有无数个点,平面可以看成点的集合;
③空间图形是由空间的点、线、面所构成的.
其中正确的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
6、空间不共线的四点，可以确定平面的个数为(
)
A．0
B．1
C．1或4
D．无法确定
7、设平面平面是的中点,当分别在内运动时,所有的动点(??
)
A.不共面
B.当且仅当在两条相交直线上移动时才共面
C.当且仅当在两条给定的平行直线上移动时才共面
D.共面
8、下列四个命题中错误的是(
)
A.
若直线互相平行,则直线确定一个平面
B.
若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线
C.
若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线
D.
两条异面直线不可能垂直于同一个平面
9、经过圆上任意三个不同的点可以作出_______________个平面(
)
A.0个
B.1个
C.2个
D.1个或无数个
10、下列四个命题:
(1)
如果两个平面有三个公共点
,
那么这两个平面重合
;
(2)两条直线可以确定个平面;
(3)若,则;
(4)空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内.
真命题的个数为(???)
A.1
B.2
C.3
D.4
11、不共面的四点最多可以确定平面的个数为________.
12、若直线与平面相交于点且，则三点的位置关系是__________.
13、已知是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：
①若，则；②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
③若平面a，平面β，则一定是异面直线；④若与c成等角，则.
其中正确的说法是________(填序号)．
14、有以下3个命题:
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点;
②直线在平面内,可以用""表示;
③
若平面内的一条直线与平面内的一条直线相交,
则与相交.
其中所有真命题的序号是__________.
15、在正方体中，分别是正方体的棱的中点，试证：六点共面．
答案以及解析
1答案及解析：
答案：C
解析：
2答案及解析：
答案：D
解析：过平面外一点可作一条直线与平面垂直,过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直,所以①不对;若,则或,所以②不对;当平面外的直线是平面的垂线时,能作无数个平面与已知平面垂直,否则只能作一个,所以③也不对.
3答案及解析：
答案：D
解析：A选项不正确，n还有可能在平面α内，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β内，选项D正确．
4答案及解析：
答案：C
解析：如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，可能相交或平行于另一个平面，故命题错误.
5答案及解析：
答案：B
解析：
6答案及解析：
答案：C
解析：
7答案及解析：
答案：D
解析：不论如何移动,点均在与距离相等的平面内,故选D.
8答案及解析：
答案：C
解析：解：A、由两条直线平行确定一个平面判断正确，故A不对；
B、根据三棱锥的四个顶点知，任意三点都不共线，故B不对；
C、若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行，故C对；
D、根据线面垂直的性质定理知，这两条直线平行，即不可能，故D不对．
故选C．
9答案及解析：
答案：B
解析：
10答案及解析：
答案：A
解析：(1)错,如果两个平面有三个公共点,那么这三个公共点共线,或这两个平面重合;
(2)错,两条平行或相交直线可以确定一个平面;(3)
对;(4)
错,空间中,相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内.
11答案及解析：
答案：4
解析：∵不共线的三个点确定一个平面，不共面的四点就一定不存在三个点共线的情况，
∴从4个点中任取3个点都可以确定一个平面，共有种结果，.
12答案及解析：
答案：共线
解析：三点共线,证明如下：如图所示，,与可确定一个平面
又
直线.
三点共线.
13答案及解析：
答案：①
解析：由公理4知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可能相交、平行，也可能异面，故②不正确；当平面α，平面β时，a与b可能平行、相交或异面，故③不正确；当a，b与c成等角时，a与b可能相交、平行，也可能异面，故④不正确．
14答案及解析：
答案：①③
解析：若平面外的直线与平面有两个或两个以上的公共点,则这条直线一定在这个平面内,矛盾,故①正确;
直线在平面内用符号""表示,即,故②错误;
由与相交,说明两个平面有公共点,因此一定相交,故③正确.
15答案及解析：
答案：，与共面，又和共面．
∵不共线的三点确定一个平面，∴平面与重合，∴点.（同理点．故六点共面．
解析：
PAGE
