11.3.1
平行直线与异面直线
1、垂直于同一条直线的两条直线一定（
）
A.平行???????????????????????????B.相交
C.异面???????????????????????????
D.以上都有可能
2、在正方体中,
是线段上的动点,
是线段上的动点,且,不重合,则直线与直线的位置关系是（
）
A.异面且垂直?????
B.共面???????
C.平行???????
D.
相交且垂直
3、下列说法正确的是（
）
A.
一定存在与两条异面直线都平行的平面.
B.
过空间一点，必能作一个平面与两条异面直线都平行.
C.
若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则.
D.
平行于同一直线的两个平面平行.
4、已知是两条异面直线，，那么c与b的位置关系(
)
A.一定是异面
B.一定是相交
C.不可能平行
D.不可能相交
5、如图，在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线异面的直线条数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6、如果点M是两条异面直线外的一点,则过点M且与a,b都平行的平面(????)
A.
只有一个
B.
恰有两个
C.
没有或只有一个
D.
有无数个
7、下列命题中,正确的命题是(???)
A.存在两条异面直线同时平行于同一个平面
B.若一个平面内两条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行
C.底面是矩形的四棱柱是长方体
D.棱台的侧面都是等腰梯形
8、已知空间三条直线．若与m异面，且与n异面，则(
)
A.m与n异面
B.
m与n相交
C.
m与n平行
D.
m与n异面、相交、平行均有可能
9、已知是两条不同直线,
是三个不同平面,则下列正确的是(
)
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
10、如图，点N为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则(
)
A．，且直线是相交直线
B．，且直线是相交直线
C．，且直线是异面直线
D．，且直线是异面直线
11、设是空间中的三条直线,下面给出四个命题:
①若,则;
②若,,则;
③若与相交,
与相交,则与相交;
④若平面,平面,则,—定是异面直线.
上述命题中正确的命题是__________(写出所有正确命题的序号).
12、已知是两条异面直线，，那么与的位置关系__________
13、设是空间的三条直线,下面给出四个命题:
①若,则;
②若是异面直线,
是异面直线,则也是异面直线;
③若和相交,
和相交,则和也相交;
④若和共面,
和共面,则和也共面.
其中真命题的个数是__________
14、如图,正方体中,
、分别为棱、的中点,有以下四个结论:
①直线与是相交直线;
②直线与是异面直线;
③直线与是平行直线;
④直线与是异面直线.
其中正确的结论为__________.
15、在空间四边形中，分别是的中点．求证：和为异面直线.
答案以及解析
1答案及解析：
答案：D
解析：在空间,垂直于同一条直线的两条直线可能平行,相交,异面.
2答案及解析：
答案：D
解析：
3答案及解析：
答案：A
解析：
4答案及解析：
答案：C
解析：是两条异面直线,,那么c与b异面和相交均有可能,但不会平行.因为若,因为,由平行公理得,与是两条异面直线矛盾.故选C
5答案及解析：
答案：C
解析：在直三棱柱的棱所在的直线中，
与直线异面的直线有:，,，共3条.
6答案及解析：
答案：C
解析：
当过点M与两条异面直线中的一条的平面与另一条直线平行时,此时找不到一个过M的平面与两条异面直线都平行；
当过点M与两条异面直线中的一条的平面与另一条直线不平行时,利用线面平行的判断定理,可得1个平面与a,b都平行．
故选C．
7答案及解析：
答案：A
解析：由空间几何体的概念可知，存在两条异面直线同时平行于同一个平面，A正确；
由面面平行的判定定理可知，若一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以B不正确；
底面是矩形的直四棱柱是长方体，所以C不正确；
正棱台的侧面都是等腰梯形，所以D不正确，
故选A
8答案及解析：
答案：D
解析：
9答案及解析：
答案：D
解析：A、不正确.因为平行于同一个平面,故可能相交,可能平行,也可能是异面直线;
B、不正确.因为垂直于同一个平面γ,故可能相交,可能平行;
C、不正确.因为平行与同一条直线m,故可能相交,可能平行;
D、正确.因为垂直于同一个平面的两条直线平行.故选
D.
10答案及解析：
答案：B
解析：
作于，连接，
过作于．
连，平面平面．
平面，
平面，平面，
与均为直角三角形．
设正方形边长为2，易知，
．，故选B．
11答案及解析：
答案：①
解析：由公理4知①正确;
当,时,
与可以相交、平行或异面,故②错;
当与相交,
与相交时,与可以相交、平行,也可以异面,故③错;
,,并不能说明与"不同在任何一个平面内”,故④错.
12答案及解析：
答案：异面或相交
解析：
13答案及解析：
答案：0
解析：
因为,
所以a与c可以相交、平行、异面,故①错.
因为a、b异面,b、c异面.
则a、c可能导面、相交、平行,故②错.
由a、b相交,b、c相交,
则a、c可以异面、平行,故③错.
同理④错,故真命题个数为0.
14答案及解析：
答案：②④
解析：直线与是异面直线,直线与是异面直线.
15答案及解析：
答案：假设和在同一平面内，，则；又同理故，这与是空间四边形矛盾。∴EF和AD为异面直线．
解析：
PAGE11.3.2
直线与平面平行
1、如图，平面四边形中，是的中点，，，，将沿对角线折起至，使平面平面，则四面体中，下列结论不正确的是(
)
A.平面
B.异面直线与所成的角为90°
C.异面直线与所成的角为60°
D.直线与平面所成的角为30°
2、在矩形中(如图(1))，，，取的中点M，将沿翻折，使平面平面，构成四棱锥
(如图(2))，在四棱锥中，分别取的中点，连接，则以下结论正确的是(
)
A.
B.
C.直线与平面所成的角为45°
D.平面
3、如图,在下列四个正方体中,为正方体的两个顶点,
为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线与平面不平行的是(
)
A.
B.
C.
D.
4、已知,为两条不同直线，,为两个不同平面.则下列命题正确的是(
)
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
5、如图,在正方体中,
分别为棱的中点,则在平面内与平面平行的直线(??
)
A.不存在?????B.有1条??????C.有2条??????D.有无数条
6、如图,在多面体中,平面平面,且,则(?
?)
A.
平面
B.
平面
C.
D.平面平面
7、如图，为圆O的直径，点C在圆周上（异于点），直线垂直于圆O所在的平面，点分别为线段的中点，有以下三个命题：
①平面；②平面；③平面平面
其中正确的命题是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
8、下列命题,能得出直线m与平面平行的是(
)
A.直线m与平面内所有直线平行
B.直线m与平面内无数条直线平行
C.直线m与平面没有公共点
D.直线m与平面内的一条直线平行
9、设表示不同直线，表示不同平面，则下列结论中正确的是(
)．
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10、直线是平面外的一条直线，下列条件中可推出的是（
）
A．与内的一条直线不相交
B．与内的两条直线不相交
C．与内的无数条直线不相交
D．与内的任意一条直线不相交
11、在棱长为1的正方体中，点M是对角线上的动点（点M与不重合），则下列结论正确的是____________.
①存在点M，使得平面平面；
②存在点M，使得平面；
③的面积不可能等于；
④若分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点M，使得.
12、四棱锥中，
底面为平行四边形，E是上一点，当点E满足条件：__________时，平面.
13、如图,在正方体中,若过三点的平面与底面的交线为,则与的位置关系是__________.
14、如图所示,在正方体中,侧面对角线上分别有一点,且则直线与平面的位置关系是__________.
15、如图,在四棱锥中,平面,点M为中点,底面为梯形,,,
(1)证明：平面；
(2)若四棱锥的体积为4，求点M到平面的距离
答案以及解析
1答案及解析：
答案：C
解析：因为分别为和的中点，所以，则平面，故A中结论正确；
因为平面平面，交线为，且，所以平面，则，故B中结论正确；
取中点M，连接，则，所以为异面直线与所成的角，又由，，，
可知，故C中结论错误；
连接，可得，由面面垂直的性质定理可得，平面，连接，可得为直线与平面所成的角，
由，得直线与平面所成的角为30°故D中结论正确.故选C.
2答案及解析：
答案：D
解析：由题意，易得，且与的夹角为45°，所以A项不正确；
，所以B项不正确；
因为平面平面，且平面平面，，所以平面，所以C项不正确；
取的中点H，连接，易证，所以平面，所以D项正确.故选D
3答案及解析：
答案：A
解析：A项,作如图①所示的辅助线,其中为的中点,则.
∵平面,
∴与平面相交,
∴直线与平面相交
B项,作如图②所示的辅助线,则,
∴.
又平面,
平面,
∴平面.
C项,作如图③所示的辅助线,则,
∴,又平面,
∴平面..
D项,作如图④所示的辅助线,
则
∴M
又平面,平面,
∴平面.
故选A
4答案及解析：
答案：D
解析：
选项A：若，，则得到与m无公共点，则与m可以平行，也可以是异面，故选项A不正确；
选项B：设因为，
则因为与m可以平行，也可以是异面，
故与m可以平行，也可以是异面，也可以相交，故选项B不正确；选项C：因为，
，所以与无公共点，因为，所以与m无公共点，则与m异面或平行，故选项C不正确；
选项D：设，，，若，则，同理可得：，所以，
因为，所以，因为，，所以，所以，选项D正确.
本题选D.
5答案及解析：
答案：D
解析：
在上取一点,使得,连接,取的中点,
连接,则,因为分别为的中点,
所以,所以,
所以四点共面,所以在平面内,
平行于的直线均平行于平面,这样的直线有无数条.
6答案及解析：
答案：A
解析：取的中点.连接,如图所示.
则由已知条件易证四边形是平行四边形,
∴.
∵平面平面,
平面平面,
平面平面,
∴,
∴.
又,
∴,
∴四边形是平行四边形,即.
又平面,
∴平面.
故选A.
7答案及解析：
答案：C
解析：
8答案及解析：
答案：C
解析：解：A项命题本身说法错误；
B项当直线m在平面α内，m与α不平行；
C项能推出m与α平行．
D项，当直线m在平面α内满足，m与α不平行．
故选C．
9答案及解析：
答案：D
解析：A选项不正确，n还有可能在平面α内，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β内，选项D正确．
10答案及解析：
答案：D
解析：
11答案及解析：
答案：①②④
解析：
①如图
当M是中点时，可知M也是中点且，，，所以平面，所以，同理可知，且，所以平面，又平面，所以平面平面，故正确；
②如图
取靠近A的一个三等分点记为M，记，，因为，所以，所以N为靠近的一个三等分点，则N为中点，又O为中点，所以，且，，，所以平面平面，且平面，所以平面，故正确；
③如图
作，在中根据等面积得：，根据对称性可知：，又，所以是等腰三角形，则，故错误；
④如图
设，在平面内的正投影为，在平面内的正投影为，所以，，当时，解得：，故正确.
故填：①②④.
12答案及解析：
答案：
解析：∵平面平面，平面平面，
∴，
又∵底面为平行四边形，O为对角线的交点，
故O为的中点，
∴E为的中点，
故当E满足条件：时,面.
故答案为：(填其它能表述E为中点的条件也得分)
13答案及解析：
答案：
解析：由正方体的特征,知平面平面,过三点的平面与平面和平面分别交于直线与,根据面面平行的性质定理,得与平行.
14答案及解析：
答案：平面
解析：
过点作,交于点,连接,
则.
∵,
∴
∴
又
∴平面平面.
又平面,
∴平面.
15答案及解析：
答案：
（1）如图,取中点E,连接.
∵M是中点，
∴.又，
∴.
∴四边形为平行四边形.∴
∵平面,平面,∴平面.
（2）设则
由是直角梯形，平面知，四棱锥的体积为
∴
由平面知，点M到平面的距离等于点C到平面的距离
过C作,垂足为F，
由平面,得,
又∴平面，
∵平面，∴∴平面
由知
∴M到平面的距离为
解析：
PAGE11.3.3
平面与平面平行
1、已知两个平面，直线，直线.下列叙述正确的是(
)
A.若，则平面
B.若相交，相交，与均不相交，则平面
C.若，，则
D.若相交，且，，则
2、已知是两条不同直线,
是三个不同平面,则下列正确的是(
)
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
3、两个平面平行的条件是(???)
A.一个平面内一条直线平行于另一个平面
B.一个平面内两条直线平行于另一个平面
C.一个平面内的无数条直线平行于另一个平面
D.一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面
4、设表示不同直线，表示不同平面，则下列结论中正确的是(
)．
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5、如图,正方体的棱长为1,动点E在线段上,F、M分别是AD、CD的中点,则下列结论中错误的是（
）
A．
B．平面
C．存在点E,使得平面平面
D．三棱锥的体积为定值
6、在正方体中，点分别是线段和上不重合的两个动点，则下列结论正确的是
A.
B.
C.
平面平面
D.
平面平面
7、设为两个平面，则能断定
的条件是（
）
A.
内有无数条直线与平行
B.
平行于同一条直线
C.
垂直于同一条直线
D.
垂直于同一平面
8、已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
9、在下列条件中,可判定平面与平面平行的是（
）
A.
都垂直于平面r
B.内存在不共线的三点到的距离相等
C.是内两条直线，且
D.是两条异面直线，且
10、设为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，下列说法中正确的是( )
A．若与所成的角相等，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
11、如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，
①平面；②平面；
③平面平面；④平面平面.
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
12、如图所示,在正方体中,侧面对角线上分别有一点,且则直线与平面的位置关系是__________.
13、如图，在正方体中，点E是棱上的一个动点，平面交棱于点F．下列命题正确的为_______________.
①存在点E，使得平面；
②对于任意的点E，平面平面；
③存在点E，使得平面；
④对于任意的点E，四棱锥的体积均不变．
14、设正方体的棱长为2，动点在棱上，动点分别在棱上，若
，则下列结论中正确的是 ????.
①平面;
②三棱锥的体积与的变化有关，与的变化无关：
③异面直线和所成角的大小与的变化无关.
15、在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面，且M是BD的中点．
（1）求证：平面；
（2）求多面体的体积V．
答案以及解析
1答案及解析：
答案：D
解析：A中，当时，不一定成立，故A错误；
B中，平面可相交，故B错误；
C中，如图，在长方体中，满足，，，但，故C错误；
D中，，.又，且相交，，，，故D正确.故选D.
2答案及解析：
答案：D
解析：A、不正确.因为平行于同一个平面,故可能相交,可能平行,也可能是异面直线;
B、不正确.因为垂直于同一个平面γ,故可能相交,可能平行;
C、不正确.因为平行与同一条直线m,故可能相交,可能平行;
D、正确.因为垂直于同一个平面的两条直线平行.故选
D.
3答案及解析：
答案：D
解析：由两平面平行的定义及判定定理知A、B、C不正确.故选D.
4答案及解析：
答案：D
解析：A选项不正确，n还有可能在平面α内，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β内，选项D正确．
5答案及解析：
答案：C
解析：在A中,因为F、M分别是AD、CD的中点,所以,故A正确；
在B中,F,M是底面正方形边的中点，由平面几何得，又底面
，所以，,所以平面,故B正确；
在C中,BF与平面有交点,所以不存在点E,使得平面平面,故C错误．
在D中,三棱锥以面BCF为底,则高为上下底面的距离，所以三棱锥的体积为定值,故D正确．
6答案及解析：
答案：A
解析：N与C重合时，不成立，排除选项B；
N与重合且M与重合时，平面平面不成立，排除选项C；
M与重合时，平面平面不成立，排除选项D.
故选A.
7答案及解析：
答案：C
解析：
8答案及解析：
答案：D
解析：对于时,
或与相交，故A错误；
对于时，，故B错误；
对于时，，故C错误；
对于时,
，D正确。
9答案及解析：
答案：D
解析：A中：教室的墙角的两个平面都垂直底面，但是不平行，错误
B中：如果三个点在平面的两侧，满足不共线的三点到的距离相等，这两个平面相交，B错误
C中：如果这两条直线平行，那么平面与可能相交，所以C错误
故选D
10答案及解析：
答案：D
解析：
11答案及解析：
答案：
①②③④
解析：以为下底面还原正方体，如图．则易判定四个命题都是正确的．
12答案及解析：
答案：平面
解析：
过点作,交于点,连接,
则.
∵,
∴
∴
又
∴平面平面.
又平面,
∴平面.
13答案及解析：
答案：①②④
解析：
14答案及解析：
答案：①③
解析：①项，平面DPQ外一直线EF平行于平面DPQ内直线DQ，故
平面DPQ，故①项正确.
②项，点Q到直线EF的距离等于?，EF=1，故?，而随着点P在AD上运动，P到平面EFQ
的距离为变量，从而使得三棱锥的体积跟着变化，所以三棱锥的体积与x,y的大小无关，与z的大小有关，故②项错误.③项，由线面垂直的判定定理，可得平面，而直线EQ在平面内运动，不论EQ怎样运动，总有EQ与成90°角，与x,y,z的变化无关，故③正确.
15答案及解析：
答案：（1）取AD的中点N，连接．
在DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，
所以，又因为，
所以且．
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面平面，故平面．
（2）
解析：
PAGE11.4.1
直线与平面垂直
1、如图，为正方体，下面结论错误的是（
）
A．平面
B．
C．平面
D．异面直线与所成的角为
2、已知是两个不同平面,
是两不同直线,下列命题中的假命题是(???)
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
3、已知,表示两条不同直线,
表示平面,下列说法正确的是(??
)
A.若,,则
B.
若,,则
C.若,,则
D.若,,则
4、设为两条不同的直线,为两个不同的平面,下列命题中,正确的是（
）
A．若与所成的角相等，则；
B．若，，则；
C．若，，则；
D．若，，则；
5、设m,n是两条直线，表示两个平面，如果，那么“”是“”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6、已知底面边长为2的正四棱锥的各顶点均在球O的表面上，若球O的表面积为，则该正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为(
)
A.1
B.2
C.2或
D.
7、若将一圆锥沿母线剪开后铺平，其侧面展开后是一个圆心角为的扇形，则此圆锥任意一条母线所在的直线与圆锥底面所成角的正弦值为(
)
A.
B.
C.
D.
8、如图，平面四边形中，是的中点，，，，将沿对角线折起至，使平面平面，则四面体中，下列结论不正确的是(
)
A.平面
B.异面直线与所成的角为90°
C.异面直线与所成的角为60°
D.直线与平面所成的角为30°
9、在矩形中（如图（1）），，，取的中点M，将沿翻折，使平面平面，构成四棱锥（如图（2）），在四棱锥中，分别取的中点，连接，则以下结论正确的是（
）
A.
B.
C.直线与平面所成的角为45°
D.平面
10、在矩形中(如图(1))，，，取的中点M，将沿翻折，使平面平面，构成四棱锥
(如图(2))，在四棱锥中，分别取的中点，连接，则以下结论正确的是(
)
A.
B.
C.直线与平面所成的角为45°
D.平面
11、如图所示,在正方体中,点是棱上的一个动点,平面交棱于点.给出下列命题:①存在点,使得平面;②对于任意的点,平面平面;③存在点,使得平面;④对于任意的点,四棱锥的体积均不变.其中正确命题的序号是__________.(写出所有正确命题的序号)
12、如图，已知所在的平面，是的直径，C是⊙O上的一点，分别是点A在上的射影，给出下列结论：
；
；
平面．其中正确命题的序号是
．
13、已知长方体的外接球体积为，且，则与平面所成的角为
。
14、如图，在长方体中，
E是（含端点）上一动点，则以下命题中，正确的序号是___________.
①
；
②与平面所成角最小为；
③三棱锥体积为定值
；
④与所成的最大角为。
15、如图,在四棱锥中,已知平面,平面,
(1)试在上确定点F的位置,使得直线平面
(2)在(1)的条件下,求直线与平面所成角的正弦值.
答案以及解析
1答案及解析：
答案：D
解析：
2答案及解析：
答案：B
解析：
3答案及解析：
答案：B
解析：对于选项A,
与还可以相交或异面;
对于选项C,还可以是;
对于选项D,还可以是或或与相交.
【点拨】根据空间线面、面面、线线平行的判定与性质、垂直的判定与性质逐个进行判断,注意空间位置关系的各种可能情况.
4答案及解析：
答案：C
解析：选项A错误，取正三棱锥的底面为，其中两条侧棱分别为，
显然有与所成的角相等,但没有；
选项B错误，取和分别为正方体的底面和一左侧面，m为垂直于前后侧面的直线，
可以满足，但不能推出；
选项C正确,在平面内作直线,由可得，
由平面与平面垂直的判定定理可得；
选项D错误,当时,可推出或相交或异面皆有可能.
5答案及解析：
答案：A
解析：
6答案及解析：
答案：C
解析：设球O的半径为R，则，得.
连接，记，连接，则平面，
点O在直线上，设，则.
连接，在中，易知，
由勾股定理可知，解得或，
所以该正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为2或.
7答案及解析：
答案：D
解析：设圆锥的母线长为，底面圆的半径为r，任意一条母线所在直线与圆锥底面所成的角为θ.
依题意可得，即.易知，所以.故选D.
8答案及解析：
答案：C
解析：因为分别为和的中点，所以，则平面，故A中结论正确；
因为平面平面，交线为，且，所以平面，则，故B中结论正确；
取中点M，连接，则，所以为异面直线与所成的角，又由，，，
可知，故C中结论错误；
连接，可得，由面面垂直的性质定理可得，平面，连接，可得为直线与平面所成的角，
由，得直线与平面所成的角为30°故D中结论正确.故选C.
9答案及解析：
答案：D
解析：由题意，易得，且与的夹角为45°，所以A项不正确；
，所以B项不正确；
因为平面平面，且平面平面，，所以平面，所以C项不正确.
取的中点H，连接，易证，所以平面，所以D项正确.故选D.
10答案及解析：
答案：D
解析：由题意，易得，且与的夹角为45°，所以A项不正确；
，所以B项不正确；
因为平面平面，且平面平面，，所以平面，所以C项不正确；
取的中点H，连接，易证，所以平面，所以D项正确.故选D
11答案及解析：
答案：①②④
解析：
12答案及解析：
答案：①②③
解析：
13答案及解析：
答案：
解析：设外接球的半径为R，则，解得.则长方体的体对角线.
又由得，解得.
因为平面，平面，即，
所以直线与平面所成的角为，，则.
14答案及解析：
答案：①③④
解析：①由平面，且，可证.②取中点,易知为所找的线面角，为定长，则当最长时，线面角最小，当与重合时线面角最小，小于.③三棱锥顶点换为，底面大小确定，又因为，所以点到底面的距离不变，命题正确.④因为,所以异面直线所成角与相等或互补（取锐角或直角），当与重合时，此时命题正确.
15答案及解析：
答案：
(1)
如图,
过点F作交于点H,连接,易知,所以
因为平面,平面平面,所以
所以四边形是平行四边形,所以,又,所以
所以,即点F在线段上靠近点D的三等分点处.
(2)连接,令,则
所以
因为平面,平面,所以
又,所以平面
所以三棱锥的体积
易知
所以,所以
所以
设点A到平面的距离为h
则三棱锥的体积
因为,所以
过点A作于点N,则
所以,所以
设直线与平面所成的角为
则,即直线与平面所成角的正弦值为
解析：
PAGE11.4.2
平面与平面垂直
1、设是两条不同的直线,是两个不同的平面，则下列命题中正确的是(
)
A.若且,则
B.若且则
C.若且,则
D.若且,则
2、已知两个平面，直线，直线.下列叙述正确的是(
)
A.若，则平面
B.若相交，相交，与均不相交，则平面
C.若，，则
D.若相交，且，，则
3、如图,在正四面体中,
分别是的中点,下面四个结论中不成立的是(???)
A.
//平面
B.
平面
C.平面平面
D.平面平面
4、如图所示,在四边形中,
,将沿折起至位置,使平面平面,构成三棱锥,则在三棱锥中,下列结论正确的是(???)
A.平面平面
B.平面平面
C.平面平面
D.平面平面
5、如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形为正方形，，，，为全等的等边三角形，分别为、的中点，在此几何体中，下列结论中正确的个数有（
）
①平面平面
②直线与直线是异面直线
③直线与直线共面
④面与面的交线与平行
A．3
B．2
C．1
D．0
6、如图,
是O的直径,
垂直O所在的平面,
是圆周上不同于,的任意一点,
,分别为,
的中点,则下列结论正确的是
(????
)
A.
B.
与所成的角为
C.
平面
D.平面平面
7、如图所示，四边形中，，，.将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列结论正确的是（
）
A.平面平面
B.平面平面
C.平面平面
D.平面平面
8、如图1等腰直角中,边不动，将点C移动到C’的位置，如图2，若四面体的各个顶点均在球H的球面上，且球H的表面积为则二面角的大小为(
)
A.
B.
C.
D.
9、在一个的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角，则此直线与二面角的另一个平面所成角的大小为(
)
A．
B．
C．
D．
10、如图,已知正四面体
(所有棱长均相等的三棱锥),
分别为,,上的点,
,
,分别记二面角,,的平面角为,,,则(??
)
A.
B.
C.
D.
11、如图,以等腰直角三角形的斜边上的高为折痕,把和折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:
①;
②是等边三角形;
③三棱锥是正三棱锥;
④平面平面,
其中正确的是__________.
12、如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，M是上的一动点，请你补充一个条件
______
，使平面平面．
①?
②
③?
④（填写你认为是正确的条件对应的序号）．
13、过正四棱锥的顶点与四个侧面所成的锐二面角都相等的平面有__________个.
14、如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，且，若四棱锥的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为
_______
；当四棱锥的体积取得最大值时，二面角的正切值为
_______
.
15、如图,在四棱锥中,,且,侧面是等腰直角三角形,,且平面平面,分别为的中点
(1)求证:平面
(2)求二面角的余弦值
答案以及解析
1答案及解析：
答案：B
解析：选项A,与还可能平行或者相交;选项C,还可能或相交;选项D,与可能相交.选B.
2答案及解析：
答案：D
解析：A中，当时，不一定成立，故A错误；
B中，平面可相交，故B错误；
C中，如图，在长方体中，满足，，，但，故C错误；
D中，，.又，且相交，，，，故D正确.故选D.
3答案及解析：
答案：D
解析：由题意,知,所以//平面.故结论A成立;易证平面,又,所以平面,平面平面,故结论B,C均成立;点在底面内的射影为的中心,不在中位线上,故结论D不成立.故选D.
4答案及解析：
答案：D
解析：过点作垂直于点,因为平面平面,所以平面,即.易知,又,所以平面,所以.又,所以平面,从而平面平面.
5答案及解析：
答案：A
解析：
6答案及解析：
答案：D
解析：依题意,
,又直线与相交,因此,
与不平行;注意到,因此与所成的角是;
注意到直线与不垂直,因此与平面不垂直;由于,,因此平面.又平面,所以平面平面.综上所述,故选D.
7答案及解析：
答案：D
解析：∵在四边形ABCD中，，，，，∴．又平面平面，且平面平面，故平面，则．又，，
平面，平面，故平面．又平面，∴平面平面．
8答案及解析：
答案：C
解析：设分别为的中点,连接,则平面,平面,设,由,由二面角的定义知,为二面角的平面角,易知,,设球H的半径为R,则,在,,即,由,得
9答案及解析：
答案：A
解析：
10答案及解析：
答案：B
解析：设为三角形中心,则到距离最小,
到距离最大,
到距离居中,而高相等,因此所以选B
11答案及解析：
答案：①②③
解析：
12答案及解析：
答案：①(或③)
解析：
13答案及解析：
答案：3
解析：如图:
故过正四棱锥的顶点与四个侧面所成的锐二面角都相等的平面,根对称性可得:有面,面,面,故有三个面,答案为3.
14答案及解析：
答案：
解析：设，则平面又，
平面，则四棱锥可补形成一个长方体，求O的球心为的中点，从而球O的表面积为，
四棱锥的体积，则，
当时，；当时，，故，此时，过D作于H，连接，则为二面角的平面角，.
15答案及解析：
答案：(1)如图,取的中点F,连接
因为分别为的中点,且,所以
又,所以平面平面
又平面,所以平面
(2)取的中点F,连接,因为,所以
又平面平面,平面平面,所以平面
以A为原点,所在直线为y轴,过点A且与平行得直线为x轴,过点A且平行与的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系
因为,是等腰直角三角形,所以,所以
结合可知
所以
设平面的法向量为
则,取,则
即为平面的一个法向量
设平面的法向量为则
得,取,则
即为平面的一个法向量
则
由图可知二面角为锐二面角
故二面角的余弦值为
解析：
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