江西省南昌市第二高中2020-2021学年高一上学期12月第三次月考数学试题 Word版含答案解析

南昌市第二高中2020——2021学年度上学期第三次考试
高一数学试卷
命题人： 审题人：
一、选择题（每小题5分，满分60分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象大致是（　　）
A B C D
4．已知点在幂函数的图像上，则（ ）
A． B． C． D．
5. 已知角的终边过点，则( )
A. B. C. D.
6．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（　　）
A．向左移个单位 B．向右移个单位
C．向左移个单位 D. 向右移个单位
7．函数 的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
8. 若 ，则( )
A. B. C. D.
9.函数定义域为（ ）
A. B.
C. D.
10.使函数 是奇函数，且在上是减函数的的一个值为（ ）
A. B. C. D.
11．已知函数.若函数在区间上有且仅有三个零点，则的值是（ ）
A. B. C. D.
12．已知函数，点和是函数图像的相邻的两个对称中心，且函数在区间内单调递减，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，满分20分）
13.函数 恒过定点，点坐标为_______.
14．已知 则
15.已知，则=________.
16.已知函数 ，记方程在 上的根从小到大依次为
，，，求=_________.
三、解答题（共70分）
17（本小题满分10分）．化简：
（1）
（2）
18（本小题满分12分）．
已知
（1）记函数求函数的值域；
（2）求不等式的解集.
19（本小题满分12分）.
（1）已知 ，， ， ，求的值．
（2）已知，且均为锐角，求的值.
20（本小题满分12分）．
已知定义域为R的函数，且
（1）求此函数的解析式;
（2）求单调递增区间；
（3）求．
21．（本小题满分12分）
如图,为连接赣江两侧的人口稠密区(假设河的两岸呈平行状)，南昌市政府计划投资建设一条过江通道,且为钝角.若江面宽，两个人口稠密区直线距离为，
（1）过作交直线于，设，请用表示
；
（2）已知通道的地面道路部分的拆迁安置及道路修建等费用约为亿元/千米，通道
的水下隧道部分修建费用约为亿元/千米，那么点设在何处可使总造价最低？

22（本小题满分12分）．
已知函数，的部分图象，如图所示，、分别为该图象的最高点和最低点，点的坐标为，点的坐标为，且.
（1）求解析式；
（2）若方程在区间内恰有一个根，求的取值范围.
高一第三次月考数学参考答案
1.B解:，，因此，.
2.D解:由题知：，解得.，所以扇形的周长为.
3．C 解:由可得函数为奇函数，图象关于原点对称，可排除选项；又由可排除选项，故选C．
4.A解：由于函数为幂函数，则，解得，则，由已知条件可得，得，因此，.
5.D 6．D 7.D 8.C 9.B 10.B 11.B
12.【答案】A【详解】点和是函数图像的相邻的两个对称中心，且正切函数图像相邻两个对称中心的距离，函数的最小正周期，即，解得.又在区间内单调递减，，.由，，得，.，当时，；当时，.
①当时，，由，，
得，，即函数的单调递减区间为，.
当时，函数的单调递减区间为，满足条件.
②当时，.由，，
得，，即函数的单调递减区间为，，
当，时，函数单调递减区间分别为，，不符合题意，故舍去.
综上所述，.故选：A.
14. 或 16.
17.解： （1）原式；
（2）原式
18.解：（1），
则,对称轴为,当时，单增，
当时，单减，故，当时，代入得，故的值域为；
（2），所以或，
解得或.故不等式的解集为
19.解： (1) 由，α∈，得.
又, , 所以α＋β∈(0， )．
，则cos(α＋β)＝.所以sinβ＝sin(α＋β－α)＝
sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×＝,因为 ，所以.
（2），均为锐角，所以，
所以 故
20.解:（1）由题意，由，得，即
，又，则，从而，而，所以
，故，消，得所以，解得，又，所以，所以，
（2）单调递增，则,,得,,
故单调递增区间为,.
（3）此函数有最小正周期6，且，，

21．解：（1）由题意可知 ，；
（2）设总费用为亿元，则，令
则
，
（当且仅当时取得最小值），此时，
，，所以点设在如图所示江南岸与点距离千米处可使总造价最低.
22．解：（1）利用公式可知： 点的横坐标为，，．过点作轴的垂线，垂足为，则，故，所以，故=.
（2），方程在区间内恰有一个根等价于函数在在区间内恰有一个零点.设，当时，.
又，则，，令，则函数在内恰有一个零点，可知在内最多一个零点.
①当0为的零点时，显然不成立；
②当为的零点时，由，得，把代入中，
得，解得，，不符合题意.
③当零点在区间时，若，得，此时零点为1，即，由的图象可知不符合题意；若，即，设的两根分别为，，由，且抛物线的对称轴为，则两根同时为正，要使在内恰有一个零点，则一个根在内，另一个根在内，所以解得.综上，的取值范围为.