沪科版八年级数学上册15.3等腰三角形 题汇编（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 沪科版八年级数学上册15.3等腰三角形 题汇编（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 188.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-06 09:41:39 | ||
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文档简介
沪科版八年级数学等腰三角形经典题汇编
一、
选择题
1.若等腰三角形的周长为10
cm，其中一边长为2
cm，则该等腰三角形的底边长为( )
A.
2
cm B.
4
cm C.
6
cm D.
8
cm
2.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC.若以点B为圆心、BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是( )
A.
AE＝EC B.
AE＝BE
C.
∠EBC＝∠BAC D.
∠EBC＝∠ABE
3.
如图，在△ABC中，以点B为圆心、BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD.若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的度数是( )
A.
70° B.
44° C.
34° D.
24°
4.
如图，在△AEF中，分别以点E，F为圆心、大于EF长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是( )
A.
AO平分∠EAF B.
AO垂直平分EF
C.
GH垂直平分EF D.
GH平分AF
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP＋EP的最小值的是( )
A.
BC B.
CE C.
AD D.
AC
6.
如图，AB∥CD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC＝EA.若∠CAE＝30°，则∠BAF的度数为( )
A.
30° B.
40°
C.
50° D.
60°
第6题
7.某城市几条道路的位置关系如图所示，AB∥CD，AE与AB的夹角为48°.若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为( )
A.
48° B.
40°
C.
30° D.
24°
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的度数为( )
A.
40° B.
36° C.
30° D.
25°
第8题
9.
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为( )
A.
30° B.
45° C.
50° D.
75°
10.
如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为( )
A.
(1，1) B.
(，1) C.
(，) D.
(1，)
11.
已知等边三角形ABC的边长为12，D是AB上的动点，过点D作DE⊥AC于点E，过点E作
EF⊥BC于点F，过点F作FG⊥AB于点G.当点G与点D重合时，AD的长是( )
A.
3 B.
4 C.
8 D.
9
12.
如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA，PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P有( )
A.
2个 B.
3个 C.
4个 D.
5个
13.
如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是( )
A.
15海里 B.
30海里
C.
45海里
D.
30海里
第13题
14.已知△ABC的三边长分别为4，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )
A.
3条 B.
4条 C.
5条 D.
6条
15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( )
A.
4 B.
5 C.
6 D.
7
二、
填空题
16.
已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是________．
17.
等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．
18.
如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中OA＝OB.若剪刀张开的角为30°，则∠A＝________°.
19.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，DE是线段AC的垂直平分线．若BE＝a，AE＝b，则用含a，b的代数式表示△ABC的周长为________．
20.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD.若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为________．
21.
如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3…在直线l上，点B1，B2，B3…在x轴的正半轴上．若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn－1Bn的顶点Bn的横坐标为________.
第21题
22.在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝________．
23.如图，在Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过点D作CD交BE于点C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是__________.
24.
在等腰三角形ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD＝BC，则△ABC的顶角的度数为________．
25.
如图，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝x，ON＝x＋4，P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是________________．
三、
解答题
26.
如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D，E分别为边AB，AC的中点．求证：BE＝CD.
27.
如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.
(1)
求证：△AEC≌△BED；
(2)
若∠1＝42°，求∠BDE的度数．
28.如图，在四边形ABCD中，点E在边AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE.
(1)
求证：AC＝CD；
(2)
若AC＝AE，求∠DEC的度数．
29.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：AD＝BC.
30.如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．
31.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP＝AQ.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
32.
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.
(1)
判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
(2)
求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.
33.在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β.
(1)
如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①
如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝________°，β＝________°；
②
求α，β之间的关系式．
(2)
是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不存在，说明理由．
34.已知线段AB⊥直线l于点B，点D在直线l上，分别以AB，AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F.
(1)
当点F在线段BD上时，如图①，求证：DF＝CE－CF；
(2)
当点F在线段BD的延长线上时，如图②；当点F在线段DB的延长线上时，如图③，请分别写出线段DF，CE，CF之间的数量关系，不需要证明；
(3)
在(1)(2)的条件下，若BD＝2BF，EF＝6，则CF＝________．
参考答案
一、
A
C
C
C
B
D
D
B
B
D
C
B
B
B
D
二、
15
100°
75
2a＋3b
32°
2n＋1－2
2
030°或90°或150°
x＝0或x＝4－4或4三、
∵
∠ABC＝∠ACB，∴
AB＝AC.∵
D，E分别是AB，AC的中点，∴
AD＝AB，AE＝AC.∴
AD＝AE.在△ACD与△ABE中，∴
△ACD≌△ABE.∴
CD＝BE
(1)
∵
AE和BD相交于点O，∴
∠AOD＝∠BOE.∵
△AOD
和△BOE的内角和都为180°，∠A＝∠B，∴
∠BEO＝∠2.又∵
∠1＝∠2，∴
∠1＝∠BEO.∴
∠AEC＝∠BED.在△AEC和△BED中，∴
△AEC≌△BED (2)
∵
△AEC≌△BED，∴
EC＝ED，∠C＝∠BDE.∴
∠C＝∠EDC.∵
∠1＝42°，∴
∠C＝(180°－42°)＝69°.∴
∠BDE＝∠C＝69°
如图，∵
∠BCE＝∠ACD＝90°，∴
∠3＋∠4＝∠4＋∠5.∴
∠3＝∠5.在△ABC和△DEC中，
∴
△ABC≌△DEC.∴
AC＝CD (2)
∵
∠ACD＝90°，AC＝CD，∴
∠2＝∠D＝45°.∵
AE＝AC，∴
∠4＝∠6＝67.5°.∴
∠DEC＝180°－∠6＝112.5°
∵
AB＝AC，∠A＝36°，∴
∠ABC＝∠C＝72°.∵
BD平分∠ABC，∴
∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°.∴
在△BDC中，∠BDC＝180°－∠DBC－∠C＝72°.∴
∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C.∴
AD＝BD，BD＝BC.∴
AD＝BC
如图，∵
DE∥AC，∴
∠1＝∠3.∵
AD平分∠BAC，∴
∠1＝∠2.∴
∠2＝∠3.∵
AD⊥BD，∴
∠ADB＝90°.∴
∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°.∴
∠B＝∠BDE.∴
BE＝DE.∴
△BDE是等腰三角形
如图，射线BQ就是所求作的∠ABC的平分线．∵
AD⊥BC，∴
∠ADB＝90°.∴
∠BPD＋∠PBD＝90°.∵
∠BAC＝90°，∴
∠AQP＋∠ABQ＝90°.由作图，知BQ平分∠ABC，∴
∠ABQ＝∠PBD.∴
∠BPD＝∠AQP.∵
∠BPD＝∠APQ，∴
∠APQ＝∠AQP.∴
AP＝AQ
(1)
∠ABE＝∠ACD 理由：在△ABE和△ACD中，∴
△ABE≌△ACD.∴
∠ABE＝∠ACD. (2)
∵
AB＝AC，∴
∠ABC＝∠ACB.由(1)可知，∠ABE＝∠ACD，∴
∠FBC＝∠FCB.∴
FB＝FC.∴
点F在线段BC的垂直平分线上．∵
AB＝AC，∴
点A在线段BC的垂直平分线上．∴
直线AF垂直平分线段BC
(1)
①
20 10 ②
设∠ABC＝x，∠AED＝y，∵
AB＝AC，AD＝AE，∴
∠ACB＝∠ABC＝x，∠AED＝∠ADE＝y.∵
∠AED，∠ADC分别是△DEC，△ADB的外角，∴
∠AED＝∠CDE＋∠ACB，∠ADC＝∠ABC＋∠BAD.∴
y＝β＋x，y＋β＝α＋x.两式相减，得－β＝β－α，∴
α＝2β (2)
答案不唯一，如图，当点E在CA的延长线上、点D在线段BC上时，设∠ABC＝x，∠ADE＝y，∵
AB＝AC，AD＝AE，∴
∠ACB＝∠ABC＝x，∠AED＝∠ADE＝y.∵
∠ADC
是△ADB的外角，∴
∠ADC＝∠ABC＋∠BAD，即β－y＝x＋α.在△DEC中，根据三角形内角和定理，得x＋y＋β＝180°.将上述两等式相加，得x＋2β＝x＋α＋180°，∴
α＝2β－180°
(1)
∵
△ABC和△ADE都是等边三角形，∴
AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ABC＝60°.∴
∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，∴
△ABD≌△ACE.∴
BD＝CE，∠ABD＝∠ACE.∵
AB⊥直线l，∴
∠ABD＝90°.∴
∠ACE＝90°，∠CBF＝30°.∵
点E，C，F在同一条直线上，∠ACB＝60°，∴
∠BCF＝30°.∴
∠CBF＝∠BCF.∴
BF＝CF.∵
BD＝DF＋BF，∴
BD＝DF＋CF＝CE，即DF＝CE－CF (2)
图②中，DF＝CF－CE；图③中，DF＝CE＋CF (3)
2或6
一、
选择题
1.若等腰三角形的周长为10
cm，其中一边长为2
cm，则该等腰三角形的底边长为( )
A.
2
cm B.
4
cm C.
6
cm D.
8
cm
2.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC.若以点B为圆心、BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是( )
A.
AE＝EC B.
AE＝BE
C.
∠EBC＝∠BAC D.
∠EBC＝∠ABE
3.
如图，在△ABC中，以点B为圆心、BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD.若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的度数是( )
A.
70° B.
44° C.
34° D.
24°
4.
如图，在△AEF中，分别以点E，F为圆心、大于EF长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是( )
A.
AO平分∠EAF B.
AO垂直平分EF
C.
GH垂直平分EF D.
GH平分AF
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP＋EP的最小值的是( )
A.
BC B.
CE C.
AD D.
AC
6.
如图，AB∥CD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC＝EA.若∠CAE＝30°，则∠BAF的度数为( )
A.
30° B.
40°
C.
50° D.
60°
第6题
7.某城市几条道路的位置关系如图所示，AB∥CD，AE与AB的夹角为48°.若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为( )
A.
48° B.
40°
C.
30° D.
24°
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的度数为( )
A.
40° B.
36° C.
30° D.
25°
第8题
9.
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为( )
A.
30° B.
45° C.
50° D.
75°
10.
如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为( )
A.
(1，1) B.
(，1) C.
(，) D.
(1，)
11.
已知等边三角形ABC的边长为12，D是AB上的动点，过点D作DE⊥AC于点E，过点E作
EF⊥BC于点F，过点F作FG⊥AB于点G.当点G与点D重合时，AD的长是( )
A.
3 B.
4 C.
8 D.
9
12.
如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA，PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P有( )
A.
2个 B.
3个 C.
4个 D.
5个
13.
如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是( )
A.
15海里 B.
30海里
C.
45海里
D.
30海里
第13题
14.已知△ABC的三边长分别为4，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )
A.
3条 B.
4条 C.
5条 D.
6条
15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( )
A.
4 B.
5 C.
6 D.
7
二、
填空题
16.
已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是________．
17.
等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．
18.
如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中OA＝OB.若剪刀张开的角为30°，则∠A＝________°.
19.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，DE是线段AC的垂直平分线．若BE＝a，AE＝b，则用含a，b的代数式表示△ABC的周长为________．
20.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD.若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为________．
21.
如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3…在直线l上，点B1，B2，B3…在x轴的正半轴上．若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn－1Bn的顶点Bn的横坐标为________.
第21题
22.在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝________．
23.如图，在Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过点D作CD交BE于点C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是__________.
24.
在等腰三角形ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD＝BC，则△ABC的顶角的度数为________．
25.
如图，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝x，ON＝x＋4，P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是________________．
三、
解答题
26.
如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D，E分别为边AB，AC的中点．求证：BE＝CD.
27.
如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.
(1)
求证：△AEC≌△BED；
(2)
若∠1＝42°，求∠BDE的度数．
28.如图，在四边形ABCD中，点E在边AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE.
(1)
求证：AC＝CD；
(2)
若AC＝AE，求∠DEC的度数．
29.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：AD＝BC.
30.如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．
31.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP＝AQ.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
32.
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.
(1)
判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
(2)
求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.
33.在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β.
(1)
如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①
如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝________°，β＝________°；
②
求α，β之间的关系式．
(2)
是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不存在，说明理由．
34.已知线段AB⊥直线l于点B，点D在直线l上，分别以AB，AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F.
(1)
当点F在线段BD上时，如图①，求证：DF＝CE－CF；
(2)
当点F在线段BD的延长线上时，如图②；当点F在线段DB的延长线上时，如图③，请分别写出线段DF，CE，CF之间的数量关系，不需要证明；
(3)
在(1)(2)的条件下，若BD＝2BF，EF＝6，则CF＝________．
参考答案
一、
A
C
C
C
B
D
D
B
B
D
C
B
B
B
D
二、
15
100°
75
2a＋3b
32°
2n＋1－2
2
0
x＝0或x＝4－4或4
∵
∠ABC＝∠ACB，∴
AB＝AC.∵
D，E分别是AB，AC的中点，∴
AD＝AB，AE＝AC.∴
AD＝AE.在△ACD与△ABE中，∴
△ACD≌△ABE.∴
CD＝BE
(1)
∵
AE和BD相交于点O，∴
∠AOD＝∠BOE.∵
△AOD
和△BOE的内角和都为180°，∠A＝∠B，∴
∠BEO＝∠2.又∵
∠1＝∠2，∴
∠1＝∠BEO.∴
∠AEC＝∠BED.在△AEC和△BED中，∴
△AEC≌△BED (2)
∵
△AEC≌△BED，∴
EC＝ED，∠C＝∠BDE.∴
∠C＝∠EDC.∵
∠1＝42°，∴
∠C＝(180°－42°)＝69°.∴
∠BDE＝∠C＝69°
如图，∵
∠BCE＝∠ACD＝90°，∴
∠3＋∠4＝∠4＋∠5.∴
∠3＝∠5.在△ABC和△DEC中，
∴
△ABC≌△DEC.∴
AC＝CD (2)
∵
∠ACD＝90°，AC＝CD，∴
∠2＝∠D＝45°.∵
AE＝AC，∴
∠4＝∠6＝67.5°.∴
∠DEC＝180°－∠6＝112.5°
∵
AB＝AC，∠A＝36°，∴
∠ABC＝∠C＝72°.∵
BD平分∠ABC，∴
∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°.∴
在△BDC中，∠BDC＝180°－∠DBC－∠C＝72°.∴
∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C.∴
AD＝BD，BD＝BC.∴
AD＝BC
如图，∵
DE∥AC，∴
∠1＝∠3.∵
AD平分∠BAC，∴
∠1＝∠2.∴
∠2＝∠3.∵
AD⊥BD，∴
∠ADB＝90°.∴
∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°.∴
∠B＝∠BDE.∴
BE＝DE.∴
△BDE是等腰三角形
如图，射线BQ就是所求作的∠ABC的平分线．∵
AD⊥BC，∴
∠ADB＝90°.∴
∠BPD＋∠PBD＝90°.∵
∠BAC＝90°，∴
∠AQP＋∠ABQ＝90°.由作图，知BQ平分∠ABC，∴
∠ABQ＝∠PBD.∴
∠BPD＝∠AQP.∵
∠BPD＝∠APQ，∴
∠APQ＝∠AQP.∴
AP＝AQ
(1)
∠ABE＝∠ACD 理由：在△ABE和△ACD中，∴
△ABE≌△ACD.∴
∠ABE＝∠ACD. (2)
∵
AB＝AC，∴
∠ABC＝∠ACB.由(1)可知，∠ABE＝∠ACD，∴
∠FBC＝∠FCB.∴
FB＝FC.∴
点F在线段BC的垂直平分线上．∵
AB＝AC，∴
点A在线段BC的垂直平分线上．∴
直线AF垂直平分线段BC
(1)
①
20 10 ②
设∠ABC＝x，∠AED＝y，∵
AB＝AC，AD＝AE，∴
∠ACB＝∠ABC＝x，∠AED＝∠ADE＝y.∵
∠AED，∠ADC分别是△DEC，△ADB的外角，∴
∠AED＝∠CDE＋∠ACB，∠ADC＝∠ABC＋∠BAD.∴
y＝β＋x，y＋β＝α＋x.两式相减，得－β＝β－α，∴
α＝2β (2)
答案不唯一，如图，当点E在CA的延长线上、点D在线段BC上时，设∠ABC＝x，∠ADE＝y，∵
AB＝AC，AD＝AE，∴
∠ACB＝∠ABC＝x，∠AED＝∠ADE＝y.∵
∠ADC
是△ADB的外角，∴
∠ADC＝∠ABC＋∠BAD，即β－y＝x＋α.在△DEC中，根据三角形内角和定理，得x＋y＋β＝180°.将上述两等式相加，得x＋2β＝x＋α＋180°，∴
α＝2β－180°
(1)
∵
△ABC和△ADE都是等边三角形，∴
AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ABC＝60°.∴
∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，∴
△ABD≌△ACE.∴
BD＝CE，∠ABD＝∠ACE.∵
AB⊥直线l，∴
∠ABD＝90°.∴
∠ACE＝90°，∠CBF＝30°.∵
点E，C，F在同一条直线上，∠ACB＝60°，∴
∠BCF＝30°.∴
∠CBF＝∠BCF.∴
BF＝CF.∵
BD＝DF＋BF，∴
BD＝DF＋CF＝CE，即DF＝CE－CF (2)
图②中，DF＝CF－CE；图③中，DF＝CE＋CF (3)
2或6