课题：6.3
余角、补角、对顶角（1）
【学习目标】了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角
的知识解决相关问题
【重点难点】互余、互补等概念和性质并熟练应用。
【导学指导】：
一、自主学习
1．（1）、两个角的和等于_________，就说这两个角__
___。
如果∠1+∠2=90°，那么∠1与_∠2________；也可以说∠1是∠2的________,∠2也是∠1的________
（2）、两个角的和等于________，就说这两个角________。
如果∠α
+∠β=180°，那么∠α与∠β________，也可以说∠α是∠β的________，∠β也是∠α的________
（3）、如果∠1＋∠2=90°,∠1+∠3=90°,那么∠2________∠3.
如果∠1＋∠2=90°,∠3+∠4=90°,且∠1=∠3,那么∠2
________∠3.
等角或同角的余角______
；
（4）如果∠1＋∠2=180°,∠1+∠3=180°,那么∠2
________∠3.
如果∠1＋∠2=180°,∠3+∠4=180°,且∠1=∠3,那么∠2________∠3.
等角或同角的补角________
（5）、如图,∠AOB=90°∠COD=90°,那么图中互余的角
有___
对，它们是_________,
∠2与∠3的关系是____.
2．练习：
（1）.52°34′的余角是__________，补角是__________．
（2）.
如图，直线AB与CD相交于点O，∠EOD=90°，正确填写下列两角关系的名称：
∠1与∠2：_______；∠2与∠3：________；∠1与∠4：________.
二、例题评析：
例1.
已知一个角的余角比它的补角的还少40°，求这个角．
练习：若∠α补角是∠α余角的3倍，求∠α．
例2．如图，直线AB与CD相交于点O，OD恰为∠BOE的角平分线．
（1）请直接写出和∠AOD能成为互为补角的角；（把符合条件的角都填出来）
（2）若∠AOD=142°，求∠AOE的度数．
三、巩固知识
[典型问题]
1.现有下列说法：①锐角的余角是锐角；②钝角没有余角；③直角的补角是直角；④两个锐角互余．其中正确说法的个数是(
)
A．4
B．3
C．2
D．1
2.已知：如图，∠AOB＝∠COD＝90°，则∠1与∠2的关系是( )
A．互余
B．互补
C．相等
D．无法确定
3．一个角的补角的2倍与它的余角的和为240°，求这个角的度数．
四基训练
4、如图，点O在直线AB上，若∠1＝40°，则∠2的度数是( )
A．50°
B．60°
C．140°
D．150°
5．下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（
）
A．
B．
C．
D．
6.如果一个角是36°，那么( )
A．它的余角是64°
B．它的补角是64°
C．它的余角是144°
D．它的补角是144°
7．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，△ABC是直角三角形，AB⊥CD，图中与∠CAB互余的角有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．己知一个角的余角的3倍是这个角的补角与34°的和，求这个角的度数．
10．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足为O．
（1）写出图中所有与∠AOD互补的角；
（2）若∠AOE=120°，求∠BOD的度数．
拓展提升
11．如图（1）所示，∠AOB、∠COD都是直角．
（1）试猜想∠AOD与∠COB在数量上是相等，互余，还是互补的关系．请你用推理的方法说明你的猜想是合理的．
（2）当∠COD绕着点O旋转到图（2）所示位置时，你在（1）中的猜想还成立吗？请你证明你的结论．
课题：6.3
余角、补角、对顶角（1）
【学习目标】叙述余角和补角的定义和性质，并能熟练应用其性质。
【重点难点】互余、互补等概念和性质并熟练应用。
【导学指导】：
一、自主学习
1．（1）、两个角的和等于___900______，就说这两个角__互余___。
如果∠1+∠2=90°，那么∠1与_∠2互余__；也可以说∠1是∠2的_余角_,∠2也是∠1的_余角_
（2）、两个角的和等于_1800__，就说这两个角_互补_。
如果∠α
+∠β=180°，那么∠α与∠β__互补___，也可以说∠α是∠β的__补角_，∠β也是∠α的_补角__
（3）、如果∠1＋∠2=90°,∠1+∠3=90°,那么∠2
_=__∠3.
如果∠1＋∠2=90°,∠3+∠4=90°,且∠1=∠3,那么∠2
_=__∠3.
等角或同角的余角______
；
（4）如果∠1＋∠2=180°,∠1+∠3=180°,那么∠2
_=__∠3.
如果∠1＋∠2=180°,∠3+∠4=180°,且∠1=∠3,那么∠2
_=__∠3.
等角或同角的补角__相等__
（5）、如图,∠AOB=90°∠COD=90°,那么图中互余的角
有_2__
对，它们是_∠1与∠2,
∠1与∠3_____,
∠2与∠3的关系是__相等__.
2．练习：
（1）.52°34′的余角是__37°26′________，补角是___127°26′._______．
（2）.
如图，直线AB与CD相交于点O，∠EOD=90°，正确填写下列两角关系的名称：
∠1与∠2：__互余_____；∠2与∠3：_互补__；∠1与∠4：__互余___.
二、例题评析：
例1.
已知一个角的余角比它的补角的还少40°，求这个角．
解：设这个角为x°，
则（90-x）+40=180-x，解得x=30．
答：这个角是30°
练习：若∠α补角是∠α余角的3倍，求∠α．
解：∠α的补角=180°﹣α，
∠α的余角=90°﹣α，
则有：180°﹣α=3（90°﹣α），
解得：α=45°．
例2．如图，直线AB与CD相交于点O，OD恰为∠BOE的角平分线．
（1）请直接写出和∠AOD能成为互为补角的角；（把符合条件的角都填出来）
（2）若∠AOD=142°，求∠AOE的度数．
解：（1）由图示可得，∠AOD+∠AOC=180°，∠AOD+∠BOD=180°，
又OD为∠BOE的角平分线，可得∠BOD=∠DOE，故∠AOD+∠DOE=180°，
故∠AOD的补角是∠AOC、∠BOD、∠EOD；
（2）∵∠AOD=142°，∴∠BOD=38°，
∵OD为∠BOE的角平分线，∴∠EOD=38°，
∴∠AOE=∠AOD﹣∠EOD=142°﹣38°=104°．
三、巩固知识
[典型问题]
1.现有下列说法：①锐角的余角是锐角；②钝角没有余角；③直角的补角是直角；④两个锐角互余．其中正确说法的个数是(
B
)
A．4
B．3
C．2
D．1
2.已知：如图，∠AOB＝∠COD＝90°，则∠1与∠2的关系是( B )
A．互余
B．互补
C．相等
D．无法确定
3．一个角的补角的2倍与它的余角的和为240°，求这个角的度数．
解：设这个角的度数为n°，则由题意得，
2×（180﹣n）+（90﹣n）=240
解得：n=70
经检验n=70符合题意，
所以这个角的度数为70度．
四基训练
4、如图，点O在直线AB上，若∠1＝40°，则∠2的度数是( C )
A．50°
B．60°
C．140°
D．150°
5．下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（B）
A．
B．
C．
D．
6.如果一个角是36°，那么(
D
)
A．它的余角是64°
B．它的补角是64°
C．它的余角是144°
D．它的补角是144°
7．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（C）
A．
B．
C．
D．
8．如图，△ABC是直角三角形，AB⊥CD，图中与∠CAB互余的角有（B）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．己知一个角的余角的3倍是这个角的补角与34°的和，求这个角的度数．
解：设这个角的度数等于x°，根据题意可得：
3（90﹣x）=（180﹣x）+34，
解得：x=28．
所以这个角的度数为28度．
10．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足为O．
（1）写出图中所有与∠AOD互补的角；
（2）若∠AOE=120°，求∠BOD的度数．
解：（1）∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOC和∠BOD与∠AOD互补，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=∠DOF=90°，
∴∠DOE=∠ACO，
∴∠DOE也是∠AOD的补角，
∴与∠AOD互补的角有∠AOC，∠BOD，∠DOE；
（2）∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠AOE=60°，
∵OF⊥CD，
∴∠DOF=90°，
∴∠BOD=180°-∠AOF-∠AOC=180°-60°-90°=30°．
拓展提升
11．如图（1）所示，∠AOB、∠COD都是直角．
（1）试猜想∠AOD与∠COB在数量上是相等，互余，还是互补的关系．请你用推理的方法说明你的猜想是合理的．
（2）当∠COD绕着点O旋转到图（2）所示位置时，你在（1）中的猜想还成立吗？请你证明你的结论．
解：（1）∠AOD与∠COB互补．
理由如下：∵∠AOB、∠COD都是直角，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∴∠BOD=∠AOD﹣∠AOB=∠AOD﹣90°，
∠BOD=∠COD﹣∠COB=90°﹣∠COB，
∴∠AOD﹣90°=90°﹣∠COB，
∴∠AOD+∠COB=180°，
∴∠AOD与∠COB互补；
（2）成立．
理由如下：∵∠AOB、∠COD都是直角，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∵∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，
∴∠AOD+∠COB=180°，
∴∠AOD与∠COB互补．课题：6.3
余角、补角、对顶角（2）
【学习目标】能够识别对顶角，并能理解对顶角的性质。
【重点难点】理解对顶角概念并知道对顶角性质。
【导学指导】：
一、自主学习
1.如图（下左），∠AOC、∠BOD都是直角，则∠1和∠2的大小关系是
，理由：
。
2.如图（下右），直线AB、CD相交于点O.
∠1和∠3的大小关系是
，理由：
。
结论：如图（上右）中的∠1和∠3就是对顶角，它们不仅相等，而且还具有特殊的位置关系：角的两边分别互为
。
3.如图,直线a、b相交,形成∠1，∠2，∠3，∠4，
∠1和∠3叫做______角，∠2和∠4也是_____角，
对顶角______.为什么?
∵∠1＋∠2=______，∠3＋∠2=______
∴∠1=∠3（
）（填理由）
如果∠1=50°，请求出∠2、∠3、∠4的度数.
4.说出下列图中对顶角
图(1)中的对顶角有:
图(2)中的对顶角有:
(1)
(2)
二、例题评析：
例1
如图，直线AB和CD相交于点O，OE是∠DOB的平分线，如果
∠AOC=70°，求∠EOB的度数。
O
例2
下列4个图中，哪个图中的∠1和∠2是对顶角？并说明理由。
三、巩固知识
[典型问题]
1.直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，∠MON＝90°．若∠BON＝50°，
求∠BOD的度数．
2．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；
（1）直接写出图中∠AOC的对顶角为 ，∠BOE的补角为 ；
（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．
四基训练
1．如图，∠1和∠2是对顶角的图形有
(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．下面说法中，正确的是（
）
A．相等的两个角是对顶角
B．有公共顶点的两个角是对顶角
C．如果∠1+∠2+∠3
=180?，那么∠1，∠2，∠3互为补角
D．对顶角的角平分线在同一条直线
3．有下列命题：①同角或等角的补角相等；②两点之间，线段最短；③相等的角是对顶角；④两个锐角的和是锐角．正确命题的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4.三条直线l1，l2，l3相交于点E，则∠1＋∠2＋∠3等于( )
A．90°
B．120°
C．180°
D．360°
5．如图，AB、CD相交于O，OE⊥AB，那么下列结论错误的是（）
A．∠AOC与∠BOD是对顶角
B．∠AOC与∠COE互为余角
C．∠BOD与∠COE互为余角
D．∠COE与∠BOE互为补角
6如图，其中共有______对对顶角．
7已知，如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠EOC=25°，则∠BOD的度数为 ．
8．如图，有两堵墙，要测量地面上所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外．如何测量（运用本章知识）？
9.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD.
(1)若∠AOC＝68°，∠DOF＝90°，求∠EOF的度数；
(2)若OF平分∠COE，∠AOE＝150°，求∠FOE的度数．
10．如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠DOE=90°，
①在∠1，∠2，∠3，∠4中，对顶角有 ，补角有 ，
②若∠1=50°，分别求出∠2、∠3、∠4的度数．
11．如图，直线AB、CD、EF相交于点O．
（1）写出∠COE的邻补角；
（2）分别写出∠COE和∠BOE的对顶角；
（3）如果∠BOD=60°，∠BOF=90°，求∠AOF和∠FOC的度数．
拓展提升
12.如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝
；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝
；
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；
（3）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小有何关系，请说明理由；
（4）已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是锐角），如图（c），若把它们的顶点O重合在一起，
请直接写出∠AOD与∠BOC的大小关系．
课题：6.3
余角、补角、对顶角（2）
【学习目标】能够识别对顶角，并能理解对顶角的性质。
【重点难点】理解对顶角概念并知道对顶角性质。
【导学指导】：
一、自主学习
1.如图（下左），∠AOC、∠BOD都是直角，则∠1和∠2的大小关系是
∠1=∠2
，理由：
同角的余角相等
。
2.如图（下右），直线AB、CD相交于点O.
∠1和∠3的大小关系是
∠1=∠3
，理由：
同角的补角相等
。
结论：如图（上右）中的∠1和∠3就是对顶角，它们不仅相等，而且还具有特殊的位置关系：角的两边分别互为
反向延长线
。
3.如图,直线a、b相交,形成∠1，∠2，∠3，∠4，
∠1和∠3叫做_对顶_角，∠2和∠4也是_对顶_角，
对顶角__相等____.为什么?
∵∠1＋∠2=_1800_，∠3＋∠2=_1800_
∴∠1=∠3（同角的补角相等
）
小练习：如果∠1=50°，请求出∠2、∠3、∠4的度数.
解：∵∠1=50°
∴∠3=∠1=50°（对顶角相等）
∠2=1800-∠1=1800-50°=130°
∴∠4=∠2=130°（对顶角相等）
4.说出下列图中对顶角
图(1)中的对顶角有:
∠AFD与∠BFG,
∠AFG与∠BFD,
∠CGE与∠BGF,
∠CGF与∠BGE.
图(2)中的对顶角有:
(1)
(2)
∠AME与∠BMF,
∠AMN与∠BME,
∠CNF与∠DNM,
∠CNE与∠DNF,
二、例题评析：
例1
如图，直线AB和CD相交于点O，OE是∠DOB的平分线，如果
∠AOC=70°，求∠EOB的度数。
解：∠AOC=∠BOD=70°
∵
OE是∠DOB的平分线
∠EOB=
∠BOD=350
例2
下列4个图中，哪个图中的∠1和∠2是对顶角？并说明理由。
第三个图形中∠1和∠2是对顶角，因为这两个角的边互为反向延长线.
三、巩固知识
[典型问题]
1.直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，∠MON＝90°．若∠BON＝50°，
求∠BOD的度数．
解∵∠MON＝90°．∠BON＝50°，
∴∠AOM＝90°﹣50°＝40°，
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠AOC＝40°×2＝80°，
∴∠BOD＝∠AOC＝80°．
2．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；
（1）直接写出图中∠AOC的对顶角为 ，∠BOE的补角为 ；
（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．
解：（1）∠AOC的对顶角为∠BOD，∠BOE的邻补角为∠AOE；
（2）∵∠DOE=∠AOC=70°，∠DOE=∠BOE+∠EOD及∠BOE：∠EOD=2：3，
∴得，
∴，
∴∠BOE=28°，
∴∠AOE=180°﹣∠BOE=152°．
四基训练
1．如图，∠1和∠2是对顶角的图形有
(
A)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．下面说法中，正确的是（
D）
A．相等的两个角是对顶角
B．有公共顶点的两个角是对顶角
C．如果∠1+∠2+∠3
=180?，那么∠1，∠2，∠3互为补角
D．对顶角的角平分线在同一条直线
3．有下列命题：①同角或等角的补角相等；②两点之间，线段最短；③相等的角是对顶角；④两个锐角的和是锐角．正确命题的个数是（B）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4.三条直线l1，l2，l3相交于点E，则∠1＋∠2＋∠3等于( C )
A．90°
B．120°
C．180°
D．360°
5．如图，AB、CD相交于O，OE⊥AB，那么下列结论错误的是（D）
A．∠AOC与∠BOD是对顶角
B．∠AOC与∠COE互为余角
C．∠BOD与∠COE互为余角
D．∠COE与∠BOE互为补角
6如图，其中共有___4___对对顶角．
7已知，如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠EOC=25°，则∠BOD的度数为 50° ．
8．如图，有两堵墙，要测量地面上所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外．如何测量（运用本章知识）？
解：延长AO与BO得到∠AOB的对顶角∠COD，测出∠COD的度数，
则∠AOB=∠COD．
9.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD.
(1)若∠AOC＝68°，∠DOF＝90°，求∠EOF的度数；
(2)若OF平分∠COE，∠AOE＝150°，求∠FOE的度数．
解：(1)∵∠AOC＝68°，∴∠BOD＝68°.
∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE＝34°.
∵∠DOF＝90°，∴∠EOF＝∠DOF－∠DOE＝90°－34°＝56°.
(2)∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE.
∵∠BOE＋∠AOE＝180°，∠COE＋∠DOE＝180°，∴∠COE＝∠AOE＝150°.
∵OF平分∠COE，∴∠FOE＝∠COE＝×150°＝75°.
10．如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠DOE=90°，
①在∠1，∠2，∠3，∠4中，对顶角有 ∠1和∠2 ，补角有 ∠1和∠4，∠2和∠4 ，
②若∠1=50°，分别求出∠2、∠3、∠4的度数．
解：①在∠1，∠2，∠3，∠4中，对顶角有∠1和∠2，补角有∠1和∠4，∠2和∠4，
②∵∠1=50°，
∴∠2=∠1=50°，∠4=180°﹣∠1=130°，
∵∠DOE=90°，
∴∠EOC=90°，
∴∠3=90°﹣∠1=40°．
11．如图，直线AB、CD、EF相交于点O．
（1）写出∠COE的邻补角；
（2）分别写出∠COE和∠BOE的对顶角；
（3）如果∠BOD=60°，∠BOF=90°，求∠AOF和∠FOC的度数．
解：（1）∠COE的邻补角为∠COF和∠EOD；
（2）∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF；
（3）∵∠BOF=90°，
∴AB⊥EF
∴∠AOF=90°，
又∵∠AOC=∠BOD=60°
∴∠FOC=∠AOF+∠AOC=90°+60°=150°．
拓展提升
12.如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝
；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝
；
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；
（3）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小有何关系，请说明理由；
（4）已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是锐角），如图（c），若把它们的顶点O重合在一起，
请直接写出∠AOD与∠BOC的大小关系．
解：（1）若∠DCE＝35°，∵∠ACD＝90°，∠DCE＝35°，∴∠ACE＝90°﹣35°＝55°，
∵∠BCE＝90°，∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝55°+90°＝145°；
若∠ACB＝140°，∵∠BCE＝90°，∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°，
∵∠ACD＝90°，∴∠DCE＝90°﹣50°＝40°，
故答案为145°；40°；
（2）∠ACB+∠DCE＝180°，
理由如下：∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°+∠BCD，
∴∠ACB+∠DCE＝90°+∠BCD+∠DCE＝90°+∠BCE＝180°；
（3）∠DAB+∠CAE＝120°，
理由如下：∵∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝60°+∠CAB，
∴∠DAB+∠CAE＝60°+∠CAB+∠CAE＝60°+∠EAB＝120°；
（4）∠AOD+∠BOC＝α+β，理由是：
∵∠AOD＝∠DOC+∠COA＝β+∠COA，
∴∠AOD+∠BOC＝β+∠COA+∠BOC＝β+∠AOB＝α+β．
