5.2.1 三角函数的概念（一）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册课件（25张PPT）

第五章三角函数
§5.2 三角函数的概念
5.2.1 三角函数的概念(一）
探要点·究所然
情境导学
在初中我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数， 角的概念推广后，这样的三角函数的定义明显不再适用，如何对三角函数重新定义，这一节我们就来一起研究这个问题.
探究点一　锐角三角函数的定义
思考1　如图， Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知
a＝3，b＝4，c＝5，试求sin A，cos B，sin B，
cos A，tan A，tan B的值.
思考2　如图，锐角α的顶点与原点O重合，始边与
x轴的非负半轴重合，在α终边上任取一点P(a，b)，
它与原点的距离为r，作PM⊥x轴，你能根据直角
三角形中三角函数的定义求出sin α，cos α，tan α吗？
思考3　如图所示，在直角坐标系中，以原点为
圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.锐角α
的终边与单位圆交于P(x，y)点，则有：sin α＝ ，
cos α＝ ，tan α＝ .
y
x
探究点二　任意角三角函数的概念
?
y
y
x
x
?
?
?
?
?
思考2　对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢？
答　 由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实数，它的大小只与角α的终边位置有关，即与角有关，与角α终边上点P的位置无关.
思考3　在上述三角函数定义中，自变量是什么？对应关系有什么特点，函数值是什么？
答　(1)正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.
?
(3)当α是锐角时，此定义与初中定义相同；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P(x，y)，从而就必然能够最终计算出三角函数值.
?
解　在直角坐标系中，
?
∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为
反思与感悟　利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论.
跟踪训练1　已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝ 则y＝ .
所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.
－8
探究点三　三角函数值在各象限的符号
?
?
三角函数值在各象限内的符号，如图所示：
记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
例2　判断下列各式的符号：
(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)；
解　(1)∵α是第二象限角.
∴sin α>0，cos α<0，∴sin α·cos α<0.
(2)sin 285°cos(－105°)；
解　∵285°是第四象限角，∴sin 285°<0，
∵－105°是第三象限角，∴cos(－105°)<0，
∴sin 285°·cos(－105°)>0.
∴sin 3>0，cos 4<0.
反思与感悟　准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键.可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆.
跟踪训练2　已知cos θ·tan θ<0，那角θ是(　　)
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角
∴角θ为第三或第四象限角.
C
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于(　　)
D
1
2
3
4
2.如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于(　　)
A
1
2
3
4
D
呈重点、现规律
1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定.即三角函数值的大小只与角有关.
2.要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取.
3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.