5.3.2　等比数列的前n项和-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册课件（31张PPT）

5.3.2　等比数列的前n项和
激趣诱思
知识点拨
一个人知道一则消息,他第一次对2个人说了,结果全城人中就有3个人知道了;这2个人又每人把消息告诉了2个人,结果全城人中就有7个人知道了.假如这样传播9次,全城中该有多少人知道了?
激趣诱思
知识点拨
一、等比数列的前n项和公式
名师点析 对等比数列前n项和公式的说明
(1)在求等比数列{an}的前n项和公式时,应分q=1和q≠1两种情况,若题目中没有指明,切不可忘记对q=1这一情形的讨论.
(2)等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量,即a1,an,q,n,Sn,通常已知其中三个量可求另外两个量,这一方法简称为“知三求二”.
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知识点拨
微练习
在等比数列{an}中,若q=-2,S5=44,则a1的值为(　　)
A.4　　　　B.-4
C.2 D.-2
答案:A
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知识点拨
二、等比数列前n项和的常用性质
设等比数列{an}的公比为q,首项为a1,前n项和为Sn,则等比数列的性质如下:
1.Sk≠0时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.
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知识点拨
微练习
等比数列{an}的首项a1=-1,前n项和为Sn,若 ,则公比q=　　　　.
探究一
探究二
探究三
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等比数列前n项和公式的应用
例1在等比数列{an}中,
(1)已知a1=3,q=2,求a6,S6;
(2)已知a1=-1,a4=64,求q和S4;
思路分析在等比数列的前n项和公式中有五个基本量a1,an,q,n,Sn,只要已知任意三个,就可以求出其他两个.
探究一
探究二
探究三
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探究一
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探究三
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反思感悟 等比数列前n项和公式的应用策略
在等比数列{an}中,首项a1与公比q是两个最基本的元素,有关等比数列的问题,均可化成关于a1,q的方程或方程组求解.解题过程中,要注意:①选择适当的公式;②利用等比数列的有关性质;③注意在使用等比数列前n项和公式时,要考虑q是否等于1.
探究一
探究二
探究三
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变式训练1在等比数列{an}中,公比为q,前n项和为Sn.
(3)a6-a4=24,a3·a5=64,求S8.
探究一
探究二
探究三
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等比数列前n项和性质的应用
例2(1)已知一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则这个数列的公比q=　　　　　,项数n=　　　　　.?
(2)在等比数列{an}中,若前10项的和S10=10,前20项的和S20=30,则前30项的和S30=　　　　　.?
探究一
探究二
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解析:(1)(方法一)该等比数列的公比为q,项数为n,
∴2n-1=255,∴n=8,
故这个数列的公比为2,项数为8.
(方法二)该等比数列的公比为q,项数为n,
则奇数项和偶数项也分别成等比数列,公比均为q2.
∴q=2,n=8,∴这个数列的公比为2,项数为8.
探究一
探究二
探究三
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答案:(1)2　8　(2)70
探究一
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反思感悟 若数列{an}是公比为q的等比数列,则其有以下性质:
(1)Sn+m=Sn+qnSm.
(3)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列(其中q≠-1).
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变式训练2等比数列{an}中,a2= ,a6=4,记{an}的前n项积为Tn,则T7=(　　)
A.1 B.1或-1
C.2 D.2或-2
答案:A
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特殊数列的求和
例3已知数列{an}的通项公式an=n·2n,求该数列的前n项和Sn.
思路分析写出数列的前n项和,注意其与等比数列形式类似,考虑用推导等比数列求和公式的方法来求其前n项和.
解:∵Sn=1×21+2×22+3×23+…+n·2n,
2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,
∴-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1,
∴Sn=n·2n+1-(2+22+23+…+2n)
=n·2n+1-(2n+1-2)
=(n-1)·2n+1+2.
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反思感悟 1.分组求和法适用于某些特殊数列的求和,这些特殊数列的通项可写成几个等比数列或等差数列的和的形式.
2.错位相减法适用于求一个等差数列与一个等比数列的积组成的新数列的前n项和.
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变式训练3已知数列{an}的通项公式an=2n+n,求该数列的前n项和Sn.
解:Sn=a1+a2+a3+…+an
=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(2n+n)
=(2+22+23+…+2n)+(1+2+3+…+n)
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分类讨论思想在数列求和中的应用
典例求数列1,3a,5a2,7a3,…,(2n-1)an-1的前n项的和.
解:当a=1时,数列变为1,3,5,7,…,(2n-1),
当a≠1时,有
Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1,①
aSn=a+3a2+5a3+7a4+…+(2n-1)an,②
①-②,得Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an,
(1-a)Sn=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+…+an-1)
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方法点睛 解答本题时应对参数a进行分类讨论求解.在应用错位相减时,写出的“Sn”与“qSn”的表达式应特别注意将两式“同项对齐”,以便于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.
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1.(2020河北石家庄二中高三月考)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=3(a1+a2),则公比q的值为(　　)
答案:D
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答案:C
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3.(2020黑龙江牡丹江一中高三月考)记数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-1,则S2 020=(　　)
A.22 019-1 B.22 020-1
解析:依题意,Sn=2an-1,
当n=1时,a1=2a1-1,解得a1=1;
当n≥2时,由Sn=2an-1得Sn-1=2an-1-1,
两式相减并化简得an=2an-1.
故数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,所以an=2n-1.
故选B.
答案:B
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4.(2019甘南藏族自治州合作第一中学高二期中)设等比数列{an}的前n项和记为Sn,若S10∶S5=1∶2,则S15∶S5=(　　)
探究一
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探究三
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解析:∵数列{an}为等比数列,且其前n项和记为Sn,
∴S5,S10-S5,S15-S10成等比数列.
答案:A
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5.数列{(2n-1)·4n-1}的前n项和为　　　　　.?
解析:设前n项和为Tn,则Tn=1+3×41+5×42+…+(2n-1)·4n-1,①
4Tn=1×4+3×42+…+(2n-3)·4n-1+(2n-1)·4n.②
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6.已知{an}为等差数列,且a3=-6,a6=0.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若等比数列{bn}满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前n项和公式.
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解:(1)设等差数列{an}的公差为d.
解得a1=-10,d=2.
所以an=-10+(n-1)×2=2n-12.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,
所以-8q=-24,q=3.