5.7三角函数的应用-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册课件（19张PPT）

5.7 三角函数应用
现实生活中存在大量具有循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述。本节通过几个具体实例，说明三角函数模型的简单应用。

T
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
y
－20.0
－17.8
－10.1
0.1
10.3
17.7
20.0
17.7
10.3
0.1
－10.1
－17.8
－20.0
问题1　某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t（单位s）与位移y（单位mm）之间的对应数据如表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．
振子的震动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用y＝Asin（ωx＋φ)这个函数模型进行刻画．
根据已知数据作出散点图（如图），
问题　由数据表和散点图，你能说出振子振动时位移的最大值A，周期T，初始状态（t＝0）时的位移吗？根据这些值，你能求出函数的解析式吗？
A＝20，T＝60 s，初始状态的位移为－20 mm．
函数的解析式为
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin（ωx+φ ）,x∈［０，＋∞）
表示，其中A＞０， ω ＞０．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：
例1 如图,某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b
(1)求这一天的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
6
10
14
y T/℃
x
t/h
10
20
30
O
解:(1)最大温差是20℃
(2)从6～14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b
的半个周期的图象
6
10
14
y T/℃
x
t/h
10
20
30
O
将x=6,y=10代入上式,解得
所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段温度变化,因此应当特别注意自变量的变化范围
所以
如果这艘豪华油轮就是你的,你就是船长,当你的船只要到某个港口去，你作为船长，为了保证船的安全你希望知道关于该港口的哪些什么情况？
情景设置
法国圣米切尔山【Mount Archangel Michae】
海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。
涨潮
落潮
某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：
时刻
水深（米）
时刻
水深（米）
时刻
水深（米）
0:00
5.0
9:00
2.5
18:00
5.0
3:00
7.5
12:00
5.0
21:00
2.5
6:00
5.0
15:00
7.5
24:00
5.0
选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值.（精确到0.001）
问题探究1
x
y
O
3
6
9
12
15
18
21
24
2
4
6
（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确到0.001）。
时刻
0:00
3:00
6:00
9:00
12:00
15:00
18:00
21:00
24:00
水深（米）
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
从数据和图象可以得出：

A=2.5，h=5，T=12，
解：以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在直角坐标系中描出各点，并用平滑的曲线连接。根据图象，可以考虑用函数 刻画水深与时间的关系。
（1）观察收集到的数据，寻找规律，发现数据 间的数量关系；
（2）根据已知数据绘制散点图；
（3）用光滑的曲线连接散点图；
（4）选择恰当的函数模型拟合数据；
（5）求函数模型的解析式.
回顾刚才建立数学模型的过程，有哪些步骤:
小结
时刻
0.00
1:00
2:00
3:00
4:00
5:00
水深
时刻
6:00
7:00
8：00
9.00
10:00
11:00
水深
时刻
12:00
13:00
14:00
15:00
16:00
17:00
水深
时刻
18:00
19:00
20:00
21:00
22:00
23:00
水深
时刻
0.00
1:00
2:00
3:00
4:00
5:00
水深
5.000
6.250
7.165
7.500
7.165
6.250
时刻
6:00
7:00
8：00
9.00
10:00
11:00
水深
5.000
3.754
2.835
2.500
2.835
3.754
时刻
12:00
13:00
14:00
15:00
16:00
17:00
水深
5.000
6.250
7.165
7.500
7.165
6.250
时刻
18:00
19:00
20:00
21:00
22:00
23:00
水深
5.000
3.754
2.835
2.500
2.835
3.754
问题探究2
一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
（1）货船能够进入港口所需要满足的条件是什么？
（2）怎样用数学语言描述这一条件？
思考：
实际水深≥吃水深度+安全间隙
怎么求解
x
y
O
3
6
9
12
15
18
21
24
2
4
6
怎么求解
A
B
C
D
若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5
米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每
小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时
间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
问题探究3
“货船安全” 满足的条件是
用数学语言表示为
实际水深﹥安全水深
（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域。
x
y
O
3
6
9
12
15
2
4
6
2