高中数学人教A版必修2第三章3.2.3直线的一般式方程课件（25张PPT）

3.2.3直线的一般式方程
一、复习提问：
1、直线方程有几种形式？
点斜式：已知直线上一点P1（x1，y1）的坐标，和直线的斜率k，则直线的方程是
斜截式：已知直线的斜率k，和直线在y轴上的截距b则直线方程是
两点式：已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）则直线的方程是：
截距式：已知直线在X轴Y轴上的截距为a，b，则直线的方程是
复习引入：
点斜式方程：
y－y0＝k(x－x0) (已知定点
(x0, y0)及斜率k存在)
y＝kx＋b [已知斜率k存在
及截距 b(与y轴交点(0, b)]
[已知两定点(不适合与x轴
或y轴垂直的直线)]
3. 两点式方程：
2. 斜截式方程：
复习引入：
4. 截距式方程：
Ax＋By＋C＝0
(A、B不同时为0)
[已知截距a(与x轴交点(a,0))及截距b(与y轴
交点(0, b))不适合过原点的直线]
5. 一般式方程：
特别的，l1:y＝k1x＋b1，l2:y＝k2x＋b2，
则 l1 //l2 ? k1＝k2，且b1≠b2；
l1⊥ l2?k1·k2 ＝－1. 　　
2、上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？
? x+ ? y+ ? =0
上述四式都可以写成直线方程的一般形式：
Ax+By+C=0, A、B不同时为0。
二、讲解新课：
1、直角坐标系中，任何一条直线的方程都是关于x，y的一次方程.
⑴直线和Y轴相交时：此时倾斜角α≠π/2，直线的斜率k存在，直线可表示成y =k x+b（是否是二元一次方程？）
⑵直线和Y轴平行（包括重合）时：此时倾斜角
α=π/2，直线的斜率k不存在，不能用
y =ｋｘ＋ｂ表示，而只能表示成ｘ＝ａ
（是否是二元一次方程？）
结论：任何一条直线的方程都是关于
ｘ，ｙ的二元一次方程.
2、任何关于x，y的一次方程Ax+By+c=0
（A，B不同时为零）的图象是一条直线.
⑴B≠0时，方程化成
这是直线的斜截 式，
它表示斜率为 – A/B，纵截距为- C/B的直线.
⑵B＝0时，由于A，B不同时为零，所以A≠0，此时，Ax+By+C=0可化为x= -C / A，它表示为与Y轴平行（当C=0时）或重合（当C=0时）的直线.
思考：直线与二元一次方程具有什么样的关系？
结论:(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程；
（2）关于x,y的二元一次图象又都是一条直线.
我们把方程Ax+By+c=0（A，B不同时为零）叫做直线方程的一般式.
所以直线和二元一次方程是一一对应的.
探究：在方程
中，A，B ，C为何值时，
方程表示以下直线：
（1）平行于x轴
（2）平行于y轴
（3）与x轴重合
（4）与y轴重合
（5）直线过原点
A，B不同为0，C=0
A=0，B 0，C 0
A 0，B=0，C 0
A=0，B 0，C=0
A 0，B=0， C=0
思考1：已知直线l1、l2分别是
l1: A1x＋B1y＋C1＝0(A1、B1不同时为0)，
l2: A2x＋B2y＋C2＝0(A2、B2不同时为0)，
若l1 //l2, 则A1、B1、C1、A2、B2、C2间应
满足怎样的关系？
思考2：已知直线l1、l2分别是
l1: A1x＋B1y＋C1＝0(A1、B1不同时为0)，
l2: A2x＋B2y＋C2＝0(A2、B2不同时为0)，
若l1 l2, 则A1、B1、C1、A2、B2、C2间应
满足怎样的关系？
例1：已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 – 4/3，求直线的点斜式、一般式和截距式方程。
解：经过点A（6，- 4）并且斜率等于- 4/3 的直线方程的点斜式是
y + 4 = -4/3 （x – 6）
化成一般式，得 4x+3y – 12=0

截距式是：
例题分析:
巩固训练（一）
若直线l在x轴上的截距-4时，倾斜角的余弦值是-3/5，
则直线l的点斜式方程是___________
直线l的斜截式方程是___________

直线l的一般式方程是___________
4x+3y+16=0
例2：把直线L的方程x –2y+6= 0化成斜截式，求出直线L的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图。
解：将原方程移项，得2y = x+6，
两边除以2，得斜截式
因此，直线L的斜率k=1/2，它在y轴上的截距是3 ，
令y=0，可得 x= -6即直线L在x轴上的截距是- 6.
x
y
o
3
-6
例题分析:
巩固训练（二）
设直线l的方程为Ax+By+c=0（A，B不同时为零）
根据下列各位置特征，写出A，B，C应满足的关系：
直线l过原点:____________
直线l过点(1,1):___________
直线l平行于x 轴:___________
直线l平行于y轴:____________
C=0
A+B+C=0
例3：设直线l的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6根据下列条件确定m的值（1）l在x轴上的截距是-3；（2）斜率是-1。
解：（1）由题意得
(2)由题意得
例题分析:
巩固训练（三）
1、若直线（2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0的倾斜角为450，则m的值是 （ ）
（A）3 （B） 2 （C）-2 （D）2与3
2、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截距为3，则m的值是__________
B
-6
例4：利用直线方程的一般式，求过点（0，3）并且与坐标轴围 成三角形面积是6的直线方程。
解：设直线为Ax+By+C=0，
∵直线过点（0，3）代入直线方程得3B= -C， B= －C/3
∴A=±C/4
又直线与x，y轴的截距分别为x= -C/A
,y= -C/B
由三角形面积为6得
∴方程为
所求直线方程为3x-4y+12=0或3x+4y-12=0。
x
O
y
3
例题分析:
巩固训练（四）：
⒈根据下列条件写出直线的方程，并且化成一般式：
①斜率是 – 0.5，经过点A（8，-2）；
②经过点B（4，2），平行于X轴；
③在x轴和y轴上的截距分别是3/2，- 3；
④经过两点 ；
y+2= - 0.5（x-8），x+2y-4=0，
y=2，y-2=0
2已知直线Ax+By+C=0
①当B≠0时，斜率是多少？当B=0呢？
②系数取什么值时，方程表示通过原点的直线？
答：B≠0时，k= -A/B；B=0时，斜率不存在；
答：C=0时，表示直线过原点。
例3 已知直线l1：ax+(a+1)y-a=0和l2：(a+2)x+2(a+1)y-4=0，若l1//l2，求a的值.
例4 已知直线l1：x-ay-1=0和
l2:a2x+y+2=0，若l1⊥l2，求a的值.
⒊求下列直线的斜率和在Y轴上的截距，并画出图形：
①3x+y-5=0

②x/4 －y/5 =1

③x+2y=0

④7x－6y+4=0
⑤2y－7=0
①k= - 3，B=5；
②k=5/4，b= -5 ；
③k= -1/2，b=0；
④k=7/6，b=2/3
⑤k=0，b=7/2.
三、课堂小结：
1. 直线方程常见的几种形式.
2. 比较各种直线方程的形式特点和适
用范围.
3. 求直线方程应具有多少个条件？
4. 学习本节用到了哪些数学思想方法？
5. 二元一次方程的每一个解与坐标平
面中点的有什么关系？直线与二元
一次方程的解之间有什么关系？
1、直线方程的一般式Ax+By+c=0（A，B不同时为零）的两方面含义：
(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程；
（2）关于x,y的二元一次图象又都是一条直线.
2、掌握直线方程的一般式与特殊式的互化.
四、布置作业：P99 练习：1、2、3
P100 习题 3.2 A组 9、10、11
B组 1、2、3、4、5、6做书上
三、小结: