高中数学人教A版必修2第四章4.1.1圆的标准方程课件（34张PPT）

4.1.1 圆的标准方程
4.1圆的方程
教学目标：
掌握圆的标准方程，并能根据条件写出圆的标准方程.
上一章，我们学习了直线的方程.知道在直角坐标系中，直线可以用方程表示，通过方程，可以研究直线间的位置关系，直线与直线的交点等问题.
本章在上一章的基础上，在直角坐标系中建立圆的方程.通过圆的方程，研究直线与圆、圆与圆的位置关系.另外，我们还要学习空间直角坐标系的有关知识，它是用解析方法研究空间几何对象的基础.
在直角坐标系中，建立几何对象的方程，并通过方程研究几何对象，这是研究几何问题的重要方法.通过坐标法，把点与坐标、曲线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合.
一、复习引入:
两点间的距离公式是什么？
点B(x2，y2)到A(x1，y1)的距离为
二、求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标
（2）写出适合条件P的点M的集合
P={M | p(M)};
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程 f(x,y)=0
(4)化方程 f(x,y)=0为最简形式
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
建系、设点
条件立式
代换
化简方程
查缺补漏
建系设标、列式表标、化简证明
求曲线方程的步骤:
1、选系；
2、取动点；
3、列方程；
4、化简.
我们知道，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线.
思考？在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
三、圆的定义：
怎样求出圆心是
A(a，b)，半径是r的圆的方程?
平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆.
x
y
O
A
M
r
定点就是圆心，
定长就是半径.
已知圆心为A(a，b)，半径为r，设圆上任一点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？
A
x
y
O
M
r
建系设点
化简方程
列方程
求方程的一般步骤：
思 考：
求：圆心是C(a，b)，半径是r的圆的方程.
x
C
M
r
O
y
解：
特例：如果圆心在坐标原点，圆的方程为 x2+y2=r2.
(1)
圆的标准方程.
(x-a)2+(y-b)2=r2
三个独立条件a、b、r
确定一个圆的方程.
x
y
O
A
M
r
四、圆的标准方程：
圆心是A(a,b),
半径是r
特例：如果圆心在坐标
原点，圆的方程为
小结：
1、圆心确定圆的位置，半径确 定圆的大小；
2、只要a，b，r(r＞0）三个量确定了，方程就确定了；
3、要确定圆的方程，必须知道三个独立的条件.
点M0(x0，y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上、内、外的条件是什么？
点M0在圆上
点M0在圆内
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
(x0-a)2+(y0-b)2(x0-a)2+(y0-b)2>r2
点M0在圆外
五、点与圆的位置关系：
六、例题分析：
例1、写出圆心为A(2，-3)，半径长等于5的圆的方程，并判断M1(5，-7)，M2(4，-5)， M3(6，-8)是在圆上或圆内或圆外？
1(口答)、求圆的圆心及半径：
(1)x2+y2=4 (2)(x+1)2+y2=1
练习：
X
y
0
+2
-2
C(0、0) r=2
X
Y
0
-1
C(-1、0) r=1
(3) (x+3)2+(y-4)2=5
(5) (x+m)2+(y-n)2=5a2
(4) (x+1)2+(y-4)2=(-2)2
(1) x2+y2=9
(2) (x+3)2+(y-4)2=5
练习：
2、写出下列圆的方程：
3、圆心在（-1、2），与y轴相切的圆.
（1）圆心在原点，半径是3
（2）圆心为（-3，4），半径为
3、圆心在（-1、2），与y轴相切.
X
Y
0
c
-1
C(-1、2) r=1
(x+1)2+(y-2)2=1
4、圆心为（1，3）并与直线3x-4y-6=0相切.
六、例题分析:
例2、△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5，1)，B(7，-3)，C(2，-8)，求它的外接圆的方程.
解：设所求圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2
根据题意，可得
解此方程组，得 a=2 , b=-3 , r2=25
所以， △ABC的外接圆的方程是
(x-2)2+(y+3)2=25
待定系数法
外心是三边垂直平分线的交点
六、例题分析：
例3、已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，-2) 圆心C在直线l: x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程.
y
x
O
C
A
B
l
y
x
O
C
A
B
l
X
Y
0
C（8、3）
P（5、1）
4、已知圆经过P(5、1)，圆心为C(8、3)，
求圆方程.
练习：
(x-8)2+(y-3)2=13
5、已知两点A(4、9)、B(6、 3), 求以AB为直径的圆的方程.
A(4、9)
B(6、3)
X
0
Y
练习：
小结：
(1)牢记: 圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2 ;
(2)明确：三个条件a、b、r确定一个圆;
(3)方法：①待定系数法;
　　　　②数形结合法.
(x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4
2
0
C(2,2)
C(-2,-2)
X
Y
-2
-2
Y=X
练习:
6、圆心在直线y=x上，与两轴同时相切，
半径为2.
把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得
(-2)2+(y+10.5)2=14.52
因为y>0,所以y=
14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)
小结：
作业：
1、求以两直线
交点为圆心，且与x轴相切的直线方程。
2、一圆与两平行直线
相切，圆心在直线 上，求圆方程。
3、已知圆心坐标C(2，-1)，且被
直线截得的弦长为 ，求圆的方程。
4、求圆 关于(1)原点；
(2)直线 对称的圆的方程。
练习
3. 已知：一个圆的直径端点是A(x1, y1)、
B(x2, y2)，证明：圆的方程是
(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)=0．
1. P.120第1题、P.121第4题；
2. 求下列条件所决定的圆的方程：
(1) 圆心为 C(3, －5)，并且与直线
x－7y＋2＝0相切；
(2) 过点A(3, 2)，圆心在直线y＝2x上，
　 且与直线y＝2x＋5相切．
课堂小结:
圆的方程的推导步骤：
建系设点→写条件→列方程→化简→说明
2. 圆的方程的特点：点(a, b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；
3. 求圆的方程的两种方法：
(1)定义法；
(2)待定系数法:确定a，b，r.
课外作业：
P124 习题 A组
1、2、3、4、5、6
思考题：
圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2
展开：x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0
是关于x、y的二元二次方程。
那么是否二元二次方程均可化为圆方程？怎样的二元二次方程可化为圆的方程？