高中数学人教A版必修5第三章3.4基本不等式课件(共16张PPT)

§3.4基本不等式

2002年国际数学家大会会标
创设情境、体会感知：
三国时期吴国的数学家赵爽
思考：这会标中含有怎样的几何图形？
思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？
一 、探究
问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,
则AB=　　　则正方形的面积为S=　　　。
问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它们的面积总和是 =———
问3：观察图形S与 有什么样的大小关系？
易得，s > ,即
A
D
C
B
H
G
F
E
问4：那么它们有相等的情况吗？
何时相等？
A
D
B
C
E
F
G
H
b
a
A
B
C
D
E(FGH)
a
b

当 时
结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有
当且仅当a=b时，等号成立
问5：当a,b为任意实数时，
还成立吗？
形
数
此不等式称为重要不等式
2.代数意义：两个正数的几何平均数小于等于算术平均数
（当且仅当a=b时，等号成立）
二、新课讲解
1.思考:如果用 去替换 中的 ,
能得到什么结论?
算术平均数
几何平均数
基本不等式
3. 代数方法如何证明？
4.从几何上如何解释？
证明:要证
只要证

( )
①
②
要证②，只要证

( )
③
要证③，只要证（ － )
④
显然: 是成立的,当且仅当 时
④
④
中的等号成立.
证明:当 时, .
分析法
代数方法：
o
a
b
A
B
P
Q
如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,
则半弦PQ=____,半径AO=_____
几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
几何方法：
2.基本不等式：
当且仅当a =b时，等号成立.
当且仅当a=b时，等号成立.
1.重要不等式：
（1）不同点：两个不等式的适用条件不同。
（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。
知识要点：
（3）不等式的简单应用：主要在于求最值
把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等”
三、应用
当两正数积为定值时，求其和的最小值
练习2:若 求 的最小值.
例1、（1）若 求 的最小值.
( 2 ) 若 求 的最大值.
练习1:若 求 的最小值.
练习3：设a>0，b>0，证明下列不等式
例2:若 ,求 的最小值.
构造条件
1、本节课主要内容？
你会了吗？
谢 谢！
1.设 >0， >0，若 是 与 的等比中项，则
得最小值为（ ）
A. 8 B. 4 C. 1 D.
B
x＞0, 当x取何值时， 的值最小？最小值是多少？
已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时,两条直角边的和最小，最小值是多少？
用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应怎样折？
作业
(课本100页)