人教A版数学必修1第三章3.1.1 方程的根与函数的零点（15张PPT）

3.1.1方程的根与函数的零点
一元二次方程
的根与二次函数
的图像有什么关系？
思考：
判别式?
?>0
??0
?<0
y=ax2+bx+c
的图象
ax2+bx+c=0
的根
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根与二次函数
y= ax2+bx+c(a>0)的图象有如下关系：
x
y
x1
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
函数的图象与
x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
没有交点
有两个相等的实数根x1 = x2
没有实数根
两个不相等的实数根x1 、x2
(x1,0)即
,把使
的实数
对于函数
叫做函数
的零点.
一、函数零点的定义：
思考:零点是不是点？
零点指的是一个实数.
练习1
求下列函数的零点:
思考
函数f(x)=Lnx+2x-6在［2，6]上是否有零点？
1. f(-2)= ，f(1) =
f(-2) f(1) 0 (填“>”或“<”)
发现在区间(-2，1)上有零点
2. f(2)= ，f(4) =
f(2) f(4) 0 (填“>”或“<”)
发现在区间(2，4)上有零点
观察二次函数f(x)=x2-2x-3图象
<
5
-4
-1
<
3
-3
5
－2
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
4
探究活动
1. 在区间(a,b)上____(有/无)零点；
f(a)·f(b) ____ 0（填＜或＞）．
2 .在区间(b,c)上____(有/无)零点；
f(b)· f(c)____ 0（填＜或＞）．
思考：函数在区间端点上的函数值的符号情况，与
函数零点是否存在某种关系？
猜想：
若函数在区间[a,b]上图象是连续的，如果有
成立，那么函数在区间(a,b)上有零点。
观察函数f(x)的图像
0
y
x
有
<
有
<
f(a)·f(b)< 0
二、函数零点存在性定理：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点。
即存在 c∈(a,b) ，使得 f(c) =0， 这个c也就是方程 f(x)=0 的根。
（1） f(a)·f(b)<0则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。
（2） 函数y=f(x)在区间(a,b)内零点，则f(a)·f(b)<0。
（3） f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。
函数零点存在定理的三个注意点：
1 函数是连续的。
2 定理不可逆。
3 至少存在一个零点。
定理理解：判断正误
a
b
0
0
0
y
x
x
y
y
x
错
错
错
函数 在下列哪个区间上有零点( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
C
解析:
思考
函数 有多少个零点？
练习2
例1：求函数 的零点个数？
例1:求函数 的零点个数.
解法2：
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
三、求函数零点或零点个数的方法：
(1)定义法：解方程 f(x)=0，
得出函数的零点。
(2)图象法：画出y= f(x)的图象，其图象与x轴交点的横坐标。
(3)定理法：函数零点存在性定理。
练习3:下列函数在区间（1，2）上有零点的是( )
(A) f(x)=3x2-4x+5 (B) f(x)=x?-5x-5
(C) f(x)=lnx-3x+6 (D) f(x)=ex+3x-6
练习4:f(x)=x3+x-1在下列哪个区间上有
零点( )
A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
D
B
【总一总★成竹在胸】
一元二次方程的根及其相应
二次函数的图象与x轴交点的关系;
函数零点的概念;
函数零点与方程的根的关系.
函数零点存在性定理