人教版 九年级数学 第27章 相似 综合训练（word含答案）

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九年级数学
第27章
相似
综合训练
一、选择题
1.
（2020·永州）如图，在中，，四边形的面积为21，则的面积是（
）
A.
B.
25
C.
35
D.
63
2.
(2019?巴中)如图ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连接EF交DC于点G，则=
A．2∶3
B．3∶2
C．9∶4
D．4∶9
3.
（2020·重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1,2）,B（1,1），C（3,1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF的长度为（
）
A．
B．
C．
D．
4.
（2020·绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2︰5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（　　）
A．20cm
B．10cm
C．8cm
D．3.2cm
5.
（2020·河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在轴上，顶点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为(
)
A.
(，2)
B.
(2，2)
C.
(，2)
D.
(4，2)
6.
(2019?重庆)下列命题是真命题的是
A．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3
B．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9
C．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3
D．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶9
7.
(2019?贵港)如图，在中，点，分别在，边上，，，若，，则线段的长为
A．
B．
C．
D．5
8.
（2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有（
）
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
9.
（2020·新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为
（　　）
A．
B．5
C．
D．10
10.
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E.若BC＝3，则DE的长为(　　)
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
　　　　　　
二、填空题
11.
（2020·吉林）如图，．若，，则______．
12.
(2019?郴州)若，则__________．
13.
(2019?烟台)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，与是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P的坐标为__________．
14.
（2020·东营）如图，P为平行四边形ABCD边BC边上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且PA=3PE，PD=3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为、、，若=2，则+=
．
15.
(2019?永州)如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S1，S2，则S1：S2=__________．
16.
（2020·临沂）如图，在中，，为边的三等分点，，为与的交点.若，则_________.
17.
(2019?台州)如图，直线，，，分别为直线，，上的动点，连接，，，线段交直线于点．设直线，之间的距离为，直线，之间的距离为，若，，且，则的最大值为__________．
18.
（2020·苏州）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、.已知，则_________.
三、解答题
19.
在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ(0°<θ<180°)，得到△A′B′C.
(1)如图①，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D.证明：△A′CD是等边三角形；
(2)如图②，连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求证：S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3；
(3)如图③，设AC中点为E，A′B′中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝________°时，EP长度最大，最大值为________．
　　　　
图①　　　　　图②　　　　　　图③
20.
（2020·凉山州）（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120
mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
21.
如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若AD＝3，AB＝5，求的值．
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九年级数学
第27章
相似
综合训练-答案
一、选择题
1.
【答案】B
【详解】解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故选：B．
2.
【答案】D
【解析】设，∵，∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，
∵点F是BC的中点，∴，
∵，∴，
∴，故选D．
3.
【答案】D
【解析】∵A（1,2）,B（1,1），C（3,1），∴AB=1，BC=2,AC=.∵△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2，∴DF=2AB=2．
4.
【答案】A
【解析】本题考查了相似三角形的性质．相似三角形的对应边之比等于相似比，所以8︰（投影三角形的对应边长）=2︰5，则投影三角形的对应边长是20
cm．因此本题选A．
5.
【答案】B
【解析】∵点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7，
∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE沿轴向右平移，当点E落在AB边上时，设正方形与轴的两个交点分别为G、F，∵EF⊥轴，EF=GF=DG=2，∴EF∥AC，D，E两点的纵坐标均为2，
∴，即，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴
D点的横坐标为2，∴点D的坐标为
(2，2)．
6.
【答案】B
【解析】A、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是假命题；
B、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是真命题；
C、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题；
D、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题，
故选B．
7.
【答案】C
【解析】设，，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，，
∵，，∴，
∵，∴，
∴，
设，，∴，
∴，∴，∴，
故选C．
8.
【答案】A
【解析】本题考查了相似三角形的判定.符合条件的三角形有四个，如图所示：
因此本题选A．
9.
【答案】A
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理．如答图，过点E作EG⊥BC于G，过点A作AH⊥BC于H．
又因为DF⊥BC，所以DF∥AH∥EG，四边形DEGF是矩形．所以△BDF∽△BAH，DF＝EG，所以＝，因为D为AB中点，所以＝，所以＝．设DF＝EG＝x，则AH＝2x．因为∠BAC＝90°，所以∠B＋∠C＝90°，因为EG⊥BC，所以∠C＋∠CEG＝90°，所以∠B＝∠CEG，又因为∠BHA＝∠CGE＝90°，AB＝CE，所以△ABH≌△CEG，所以CG＝AH＝2x．同理可证△BDF∽△ECG，所以＝，因为BD＝AB＝CE，所以＝EG＝x．在Rt△BDF中，由勾股定理得BD＝＝＝x，所以AD＝x，所以CE＝AB＝2AD＝x．因为DE∥BC，所以＝＝，所以AE＝AC＝CE＝x．
在Rt△ADE中，由勾股定理得DE＝＝＝x．因△DEF的面积为1，所以DE·DF＝1，即×x·x＝1，解得x＝，所以DE＝×＝，因为AD＝BD，AE＝CE，所以BC＝2DE＝，因此本题选D．
10.
【答案】A　【解析】∵AD是∠BAC的平分线，AC⊥BC，AE⊥DE,
∴DC＝DE，AE＝AC.又∵DE是AB的垂直平分线，∴BE＝AE，即AB＝2AE＝2AC,
∴∠B＝30°.设DE＝x，则BD＝3－x.在Rt△BDE中，＝，解得x＝1，∴DE的长为1.
二、填空题
11.
【答案】10
【解析】∵，∴，
又∵，，∴，∴，故答案为：10．
12.
【答案】
【解析】∵，∴，
故2y=x，则，故答案为：．
13.
【答案】
【解析】如图，连接并延长，并延长，与的交点即为位似中心P点，
由图可知、B、P在一条直线上，则P点横坐标为–3，
由图可得和的位似比为，，
所以，解得PB=2，
所以P点纵坐标为2，即P点坐标为．故答案为：．
14.
【答案】18
【解析】本题考查了相似三角形的判定、性质，三角形的面积，解题的关键是根据已知条件推出相似三角形，并由相似比得到面积比．
∵PA=3PE，PD=3PF，∠APD
=∠EPF，∴△PEF∽△PAD，相似比为1︰3，
∵△PEF的面积为=2，∴=9S=9×2=18，
∴+==18．
15.
【答案】
【解析】∵点F是△ABC的重心，∴BF=2EF，∴BE=3EF，
∵FG∥BC，∴△EFG∽△EBC，
∴，()2，
∴S1∶S2，故答案为：．
16.
【答案】1【解析】
∵D、E为边AB的三等分点，
∴BE=ED=AD=AB.
∵，∴∴.
17.
【答案】
【解析】如图，过作于，延长交于，过作于，过作于，
设，，，，
∵，∴，，
∵，
∴，
∴，∴，
∴，即，∴，
∵，∴，
∴，即，
∴，
∵，∴，
∴，
∴当最大时，，
∵，
∴当时，，
∴，
∴的最大值为．故答案为：．
18.
【答案】或2.8
【解析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，过点C作CD⊥y轴于点D，设AC交y轴于点E，∴CD∥x轴，∴∠CAO=∠ACD,
△DEC∽△OEA，∵，∴∠BCD=∠ACD,
∴BD=DE,设BD=DE=x，则OE=4-2x,∴=,即=,解得x=1.2．∴OE=4-2x=1.6，∴n=OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8.
三、解答题
19.
【答案】
(1)证：∵AB∥CB′，∴∠BCB′＝∠ABC＝30°，
∴∠ACA′＝30°；又∵∠ACB＝90°，
∴A′CD＝60°，又∠CA′B′＝∠CAB＝60°.
∴△A′CD是等边三角形．
(2)证：∵AC＝A′C，BC＝B′C，∴＝
.
又∠ACA′＝∠BCB′，∴△ACA′∽△BCB′.
∵＝tan30°＝，∴S△ACA′∶S△BCB′＝AC2∶BC2＝1∶3.
(3)120，.
20.
【答案】
解：设这个正方形零件的边长为x
mm，则△AEF的边EF上的高AK＝(80－x)mm．
∵四边形EFHG是正方形，∴EF∥GH，即EF∥BC．∴△AEF∽△ABC．
∴，即．∴x＝48．∴这个正方形零件的边长是48
mm．
21.
【答案】
【思维教练】(1)要证△ADE∽△ABC，现已知∠EAD＝∠CAB，故只需找另一组对角相等或夹角的两边对应成比例．由题干条件易知∠EAF＝∠GAC，∠AFE＝∠AGC，故△AEF∽△ACG，∠AEF＝∠C，由两角对应相等即可得证；(2)由(1)中的结论，利用相似三角形的性质求解即可．
(1)证明：在△ABC中，∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，
∴∠AFE＝∠AGC＝90°，
在△AEF和△ACG中，
∵∠AFE＝∠AGC，∠EAF＝∠GAC，
∴△AEF∽△ACG，∴∠AEF＝∠C.(2分)
在△ADE和△ABC中，
∵∠AED＝∠C，∠EAD＝∠CAB，
∴△ADE∽△ABC；(4分)
(2)解：由(1)知△ADE∽△ABC，
∴＝＝，(6分)
又∵△AEF∽△ACG，∴＝＝.(8分)