人教版八年级数学下册课件：18.2.2菱形的性质（共30张PPT）

§18.2 .2 菱形的性质
菱形

菱形的性质2：
菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四
边形的所有性质.
菱形的性质：
B
D
A
C
菱形的性质1：
菱形的四条边都相等。
菱形的 两条对角线互相平分
菱形的两组对边平行且相等
边
对角线
角
数学语言
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角。
∵四边形ABCD是菱形
∥
=
∴ AD BC
AB CD
∥
=
∴ AB=BC=CD=DA
A
D
C
B
O
∴ ∠DAC=∠BAC
∠DCA=∠BCA
∠ADB=∠CDB
∠ABD=∠CBD
AC⊥BD
∴ OA=OC;OB=OD
∴ ∠DAB=∠DCB
∠ADC=∠ABC
∴ ∠DAB+∠ABC= 180°
例1.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD的长。
C
B
D
A


O
解：∵四边形ABCD是菱形
∴OA=OC，OB=OD
AC⊥BD
∵Rt△AOB中OB2+OA2=AB2
AB=5cm，AO=4cm
∴OB=3cm
∴BD=2OB=6cm
AC=2OA=8cm
【菱形的面积公式】
　菱形是特殊的平行四边形,
那么能否利用平行四边形
面积公式计算菱形的面积吗?
菱形
A
B
C
D
O
E
S菱形=BC●AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能 计算菱形的面积公式吗?

ABCD=S△ABD+S△BCD= AC×BD
S菱形
面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
为什么?

A
B
C
D
例2 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60度，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m ）
O
例2变形
D
O
A
C
B
菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数比为1：2．
⑴求菱形ABCD的对角线的长；
⑵求菱形ABCD的面积．
补充例题：已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=1。
求（1）∠ABC的度数；
（2）对角线AC、BD的长；
（3）菱形ABCD的面积。
A
B
C
D
E
O
1.菱形的定义: 是菱形
2.菱形的性质:①菱形的四条边 ，
②菱形的对角线 ，并且每一条对角线一组 对角.
3.下列说法不正确的有 (填番号)
①菱形的对边平行且相等.②菱形的对角线互相平分
③菱形的对角线相等.④菱形的对角线互相垂直.
⑤菱形的一条对角线平分一组对角.⑥菱形的对角相等.
4.菱形的面积公式:① ② .
5.菱形既是 图形，又是 图形.
活动五：
C
B
D
A


O
6.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
7.如下图：菱形ABCD中∠BAD＝60度，则∠ABD＝_______.
8、菱形的两条对角线长分别为3cm和4cm，则菱形的边长是（ ）
A. 5cm B.3cm C. 2.5cm D.4cm
9、菱形的两邻角之比为1：2，如果它的较短对角线为3cm，则它的周长为（ ）．
A．8cm B．9cm C．12cm D．15cm
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
2.菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______.
3cm
60度
3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（ ）
C
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
A
B
C
D
O
3
4
4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是（ ）
A.75°B.60°C.45°D.30°
B
5、四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的
交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求对角
线BD的长。
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
∴
∴OB=3
∴ BD=2OB=6 cm
5
4
3
有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决
　　　　　　　　　　　　　　
1.你的收获是什么？你的困惑是什么？
2.你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识吗？
课堂反思
四边形
平行四边形
菱形
矩形
四、课堂小结：矩形和菱形的性质
矩形
菱形
定义
有一个角是直角的平行四边形
有一组邻边相等的平行四边形
性
质
1、具有平行四边形的一切性质
2、四个角都是直角
3、矩形的对角线相等
1、具有平行四边形的一切性质
2、菱形的四条边都相等
3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60度，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE+CF=a。
证明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正三角形。
A
B
C
D
E
F
例1、已知：AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形。
A
B
C
D
E
F
1
2
3
变式训练：把本例中的“DE//AC交AB于E， DF ∥AB交AC于F”改成“EF垂直平分AD”，其他条件不变，你能否证明四边形AEDF是菱形？
菱形性质的应用
已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.
求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形的面积
解:(1)
∵四边形ABCD是菱形,
=2×△ABD的面积
∴∠AED=900,
(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
D
B
C
A
E
三、课堂练习（复习巩固）
1、菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形 的周长 ，面积 。
2、菱形的面积为24cm2,一条对角线的长为6cm，则另一条对角线长为 ；边长为 。
3、已知菱形的两个邻角的比是1：5，高是 8cm，则菱形的周长为 。
4、已知菱形的周长为40cm，两对角线的比为3：4，则两对角线的长分别是 。
由此可进一步推导得出：对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的一半。
例1：如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠BAD＝2 ∠ABC。对角线AC、BD相交于点O，求这个菱形的对角线长和面积。
变式题（1）：菱形两条对角线长为6和8，菱形
的边长为 ，面积为 。
（2）：菱形ABCD的面积为96，对角线
AC长为16 ，此菱形的边长为 。
（3）:菱形对角线的平方和等于一边平方
的 （ ）
A. 2倍 B. 3倍 C.4倍 D. 5倍
5
4
10
C
例2：菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AB、AD的中点，求证：OE＝OF。
A
B
C
D
E
F
变式题（1）：菱形ABCD ,E、F分别ABCD的中点，求证：CE=CF.

（2）如果上题中还有CE⊥AB,
CF⊥AD,求各内角的度数
例3：如果菱形的一个角是1200，那么这个角的顶点向两条对边所引的两条垂线分别平分两边。
A
B
C
D
E
F
已知如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD
上的点，且∠B= ∠ EAF=60 , ∠ BAE=18,
求∠ CEF的度数.
思考：已知：菱形中ABCD，∠A=72°,请设计三种不同的分法，将菱形ABCD分成四个三角形，使得每一个三角形都是等腰三角形。
成功就是99%的血汗，加上1%的灵感。
——爱迪生