人教版九年级下册数学《28.1-锐角三角函数》课件(共37张PPT)

新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.2 解直角三角形（1）
解直角三角形
单元内容分析
1
课时内容分析
教学设计分析
教学设计
1
1
1
内容分析
本章主要包括锐角三角函数和解直角三角形两大块内容。这两大块内容是紧密联系的。锐角三角函数是解直角三角形的基础，解直角三角形的理论又为解决一些实际问题提供了强有力的工具。解直角三角形为锐角三角函数提供了与实际紧密联系的沃土。研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。
一、章节内容分析
内容分析

二、课时内容分析
本节的一个教学目标是使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值（即正弦值不变）这一事实. 理解正弦的概念，这个概念与学生以前所学的一次函数、反比例函数和二次函数有所不同，它反映的不是数值与数值的对应关系，而是角度与数值之间的对应关系，学生初次接触这种对应关系，理解起来有一定困难，而这种对应关系对学生深刻理解三角函数的概念又有很大帮助。

二、课时内容分析
内容分析
因此，我们在设计时加强了对锐角三角函数所反映的角度与数值之间的对应关系的刻画。首先研究了在直角三角形中，30°和45°的特殊锐角所对的边与斜边的比分别是常数，然后就一般情况进行研究，并由特殊到一般得出结论：当一个锐角的度数一定时，这个角的对边与斜边的比也是一个常数，这样就突出了锐角与比值的对应关系，即对于每一个锐角，都有一个固定不变的比值与之对应，从而给出正弦的定义。
重点：
理解认识正弦概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实。
难点：
引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值。
教学重难点
内容分析
教学目标
【知识与技能】
1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值（即正弦值不变）这一事实.
2、能根据正弦概念正确进行计算。
内容分析
【过程与方法】
1、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。
2．渗透数形结合的数学思想方法．
【情感态度与价值观】
1．感受数学来源于生活又应用于生活，体验数学的生活化经历；
2．培养主动探索，合作交流的精神．
内容分析
内容分析
设计分析
我们在设计本节课时加强了锐角三角函数与解直角三角形两大块内容与实际的联系。在引课中利用确定商场自动扶梯长度问题引出正弦。我们这样将锐角三角函数和解直角三角形的内容与实际问题紧密联系，形成“你中有我，我中有你”的格局，一方面可以让学生体会锐角三角函数和解直角三角形的理论来源于实际，是实际的需要，另一方面也让学生看到它们在解决实际问题中所起的作用，感受由实际问题抽象出数学问题，通过解决数学问题得到数学问题的答案，再回到实际问题的这种实践—理论—实践的认识过程。这个认识过程符合人的认知规律，有利于调动学生学习数学的积极性，丰富有趣的实际问题也能够激发学生的学习兴趣。
数形结合是重要的数学思想和数学方法，本节内容又是数形结合的很理想的材料。对于锐角三角函数的概念，我们是利用学生对直角三角形的认识（在直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半，45°的直角三角形是等腰直角三角形）以及相似三角形的有关知识引入的，结合几何图形来，将数形结合起来，有利于学生理解当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值（即正弦值不变）这一事实 的本质。
设计分析
A
B
C
┌
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
角：∠A+ ∠B ＝90°
边：AC2 + BC2 = AB2
在直角三角形中，边与角之间有什么关系呢？
一、复习引入
某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°，高为5m，扶梯的长度是多少?
B
A
C
┓
30°
5m
解:在Rt△ABC中，∠C=90 °，∠A=30 °，BC=5m，求AB．
∵在直角三角形中，由于∠A=30所以
可得AB=2BC=5×2＝10m
所以，扶梯的长度是10m．
二、探索新知
在上面的问题中，如果高为7m ，那么扶梯的长度是多少？

解:这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C=90 °，∠A=30 °，BC=7m，求AB．
∵在直角三角形中， 由于∠A=30 °,
所以
想一想
可得AB=2BC=7×2＝14m
所以,扶梯的长度是14m．
小结：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30 ° ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
A
B
C
┓
在上面的问题中，如果自动扶梯的倾斜角为45°高为6m ，那么扶梯的长度是多少？(高为7.4m呢？)
小结：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45 ° ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
在Rt△ABC中, ∠C＝90°．
当∠A＝30°时,
当∠A＝45°时,
固定值
固定值
归纳总结
我们得到在直角三角形中300、450的角的对边与斜边的比值是一个固定值，那么对于00到900的其他锐角是否也是这样呢？
对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边的比值也是惟一确定的 吗？
想一想
对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边的比值也是惟一确定的 吗？
想一想
所以　　　＝__________＝__________．
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3
所以，在Rt△ABC中，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何， ∠A的对边与斜边的比是一个固定值．
观察右图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，∠A的对边与斜边有什么关系？

直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别叫∠A的对边与邻边，用a、b表示．
┓
C
A
B
斜边
c
邻边
对边
a
b
C
A
B
┓
C
A
B
三、形成认知
在Rt△ABC中， ∠C=90 °，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠ A的正弦（sine），记作sinA，即
一个角的正弦表示
定值、比值、正值．
知识要点
┓
C
A
B
b
c
a
注意:
sinA不表示“sin”乘以“A”
sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”；
正弦的三种表示方式sinA、sin56 °、sin ∠DEF
sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边的比；
判断：Rt △ABC中，∠C＝90°，sinB= ，则 b = 4，c = 5 。（ ）
例如：当∠A＝30°， sinA＝ sin 30°=
当∠A＝45°， sinA＝ sin 45°=
A
B
C
┌
思考：锐角A的正弦值可以等于1吗？为什么？
可以大于1吗？
不同大小的两个锐角的正弦值可能相等吗？
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一的确定的值与它对应，所以sinA是锐角A的函数。
四、思维拓展
如图，Rt△ABC中，直角边AC、BC小于斜边AB，
所以0＜sinA ＜1, 0＜sinB ＜1,
如果∠A ＜ ∠B,则BC＜AC ,
那么0＜ sinA ＜sinB ＜1
A
B
C
＜1
＜1
思维拓展
【例1】如图，在Rt△ABC中， ∠C=90 °，
求sinA和sinB的值．
A
B
C
A
B
C
┓
┓
6
8
(1)
(2)
五、学以致用
A
B
C
┓
6
8
(1)
解:设如图所示,在Rt△ABC中,
因此
A
B
C
┓
(2)
解:设如图所示,在Rt△ABC中,
因此
1.如图，求sinA和sinB的值．
A
B
C
A
B
C
┓
┓
10
(1)
(2)
26
9
40
六、课堂练习
2、在平面直角平面坐标系中，已知点A(3，0)
和B(0，-4)，则sin∠OAB等于____.
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是BC边
上的中线，AC=2，BC=4，则sin∠DAC=___.
4、在Rt△ABC中, ∠C=90°, ,
则sin∠A=___.
5.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大
100倍，sinA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小
C.不变 D.不能确定
C
1
2
则 sinA=______ .
6.如图
A
C
B
3
7
300
求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值。
7、如图, ∠C=90°CD⊥AB.
sinB可以由哪两条线段之比?
若ＡC=5,CD=3,求sinB的值.
┌
A
C
B
D
解: ∵∠B=∠ACD
∴sinB=sin∠ACD
在Rt△ACD中，AD=
sin ∠ACD=
∴sinB=
=4
七、提高练习
8、如图，在△ABC中， AB=CB=5，sinA= ，求△ABC 的面积。
B
A
C
5
5
提高练习
在Rt△ABC中，在直角三角形中，当锐角A的
度数一定时，不管三角形的大小如何，
∠A的对边边与斜边的比
,是一个固定值．
∠A的邻边与斜边的比
∠A的对边与邻边的比
八、拓展延伸
？
本节课你有什么收获呢？
七、课堂小结
作
业
课本85业习题28.1第一题第二题
敬请提出宝贵意见！