人教版九年级上册21.2.4一元二次方程的根与系数的关系课件（共19张PPT）

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
学习目标
1.探索一元二次方程的根与系数的关系.
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
1. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是什么？
【想一想】方程的两根x1和x2与系数a、b、c还有其他关系吗？
2. 如何用判别式 b2 － 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0)
b2 － 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根.
b2 －4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.
b2－ 4ac < 0 时,方程无实数根.
回顾旧知
填表，观察、猜想
方程
x1, x2
x1+ x2
x1x2
x2－2x＋1=0
x2＋3x－10=0
x2＋5x ＋4=0
【思考】你发现什么规律？
探究新知
1,1
2,－5
－1,－4
2
－3
－5
1
－10
4
规律：上述一元二次方程的二次项系数是1，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
知识点一 一元二次方程的根与系数的关系
(x－1)2=0
(x－2)(x＋5)=0
(x＋1)(x＋4)=0
从因式分解法可知，方程（x－x1)(x－x2)=0(x1,x2为已知数）的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？
(x－x1)(x－x2)=0.
x2－(x1+x2)x+x1x2=0，
x2+px+q=0，
x1+x2= －p , x1 x2=q.
【思考】
如果关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根是x1和x2，则：
如果方程二次项系数不为1呢?
x1+x2=－p，x1x2=q
【结论】
探究新知
一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，根据求根公式知，方程的两根为
_________
-2b
_________
探究新知
一元二次方程的根与系数的关系：
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 ,
那么x1+x2= , x1x2=
（韦达定理）
【提示】能用根与系数的关系的前提条件为b2－4ac≥0
常数项
一次项系数
二次项系数
注意系数符号。
【结论】
即：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比。
探究新知
知识点二 一元二次方程的根与系数的关系应用
例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根x1，x2的和与积.
（1）x2－6x－15＝0； （2）3x2＋7x－9＝0；（3）5x －1＝4x2.
∴x1+x2= ,
＝6,
＝-15.
＝-3.
解:（1）a= 1，b= －6，c= －15，
∴ x1+x2＝
∴x1+x2＝ ，
（2）a=3， b=7，c=－9，
(3)方程化为4x2－5x＋1=0，
a=4，b=－5，c=1,
素养考点 1
新知应用
x1x2 =
x1x2=
x1x2＝
练
练
一
1、不解方程，求下列方程两根x1，x2的和与积.
(1)x2－3x＝15 (2)3x2+1＝2－4x

解:(1)方程化为x2－3x－15=0
(2)方程化为3x2+4x－1=0
a = 1 , b = －3 , c = －15.
∴x1+x2=
＝3,
－15
∴x1+x2= ，
a = 3, b = 4, c = －1.
－
新知应用
x1x2= .
x1x2=
例2 若x1，x2是方程2x2+3x－1=0的两根，求下列各式的值：(1)x12＋x22;(2) .
解：根据根与系数的关系可知：
利用根与系数的关系求两根的平方和、倒数和
素养考点 2
新知应用
（1）x1+x2= , (2) x1x2= ,
(3) ,(4)(x1－3) (x2－3)＝ .
4
1
12
－2
2. 设x1, x2为方程x2－4x+1=0的两个根，则:
练
练
一
解:
a = 1 , b = －4 , c = 1.
∴x1+x2= ＝ ， x1x2= ＝ 。
4
1
(3)(x1－x2)2＝
x12－2x1x2＋x22
＝x12＋2x1x2＋x22－4x1x2
＝(x1＋x2)2－4x1x2＝
42－4×1＝
12
(4)(x1－3) (x2－3)＝
＝x1x2－3(x1＋x2)＋9
＝1－3×4＋9＝
－2
新知应用
x1x2－3x1－3x2＋9
求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
【归 纳】
要熟练掌握以下变形
4.(x1－x2)2＝
(x1＋x2)2－4x1x2
6.(x1＋a) (x2＋a)＝
x1x2＋a(x1＋x2)＋a2
7.x12x2＋x1x22＝
x1x2(x1＋x2)
例3 已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值。
∴k=
-7
利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
素养考点 3
解：设方程的另一个根是x1，那么
∴ x1=
∵x1+2=
答：方程的另一个根是 ，k=－7.
新知应用
3. 已知方程x2－(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值.
解：
设方程的另一个根为x1.
把x=2代入方程，得 4－2(k+1)+3k=0
解这方程，得 k= － 2
由根与系数关系，得2x1＝3k
即 2 x1 ＝－6
∴ x1 ＝－3
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
练
练
一
新知应用
例4 设x1，x2是方程 x2 －2(k － 1)x + k2 =0 的两个实数根，且
x12 +x22 =4，求k的值.
解：由方程有两个实数根，得Δ ≥ 0，

∴ －8k + 4 ≥ 0.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k －1) , x1 x2 =k 2.
∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k －1)2 －2k2 = 2k2－8k + 4.
由 x12 + x22 = 4，得 2k2 － 8k + 4 = 4,
解得 k1= 0 , k2 = 4 .
根与系数关系的综合题目
素养考点 4
新知应用
∴ k= 0
而Δ=b2－4ac＝ 4(k － 1)2 - 4k2＝－8k + 4
知识点二 以两数x1,x2为根的一元二次方程
如果方程x2＋px＋q＝0的两根是x1，x2，
那么x1＋x2＝ ，x1x2＝ ．
可得：p＝ ，q＝ ，
∴ 方程x2＋px＋q＝0，
即 x2－( )x＋x1x2＝0．
这就是说，以两个数x1，x2为根的一元二次
方程(二次项系数为1)是
x2－(x1＋x2)x＋x1x2=0．
－p
q
－(x1＋x2)
x1x2
x1＋x2
继续探究
练
练
一
1、以3和—2为根的一元二次方程是
________________________
2、关于x的方程x2+px+q=0的两根为
x1=2，x2=1, 则p = ______，q = ______.
x2－x－6＝0
-3
2
新知应用
1、设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的
两个根是x1、x2 ， 则
x1＋x2 =______ x1x2=_____
2、以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是___________________________.
x2－(x1＋x2)x＋x1x2=0
课堂小结

课后作业
《导学案》第16～17页