人教版七年级数学下册第9章 9.2 一元一次不等式 第1课时 一元一次不等式的解法 (共23张PPT)

第九章 不等式与不等式组
9.2 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式的解法
1.理解和掌握一元一次不等式的概念；
2.会用不等式的性质熟练地解一元一次不等式.(重点、
难点）
学习目标
复习巩固：
1.不等式的基本性质是什么？
2.解一元一次方程的一般步骤是什么？
性质1: 不等式的两边都加上（或减去）
同一个数（或式），不等号的方向不变。
性质2: 不等式的两边都乘（或除以）
同一个正数，不等号的方向不变。
性质3:不等式的两边都乘（或除以）
同一个负数，不等号的方向改变。
有一次，鲁班的手不慎被一片小草叶子割破了，他发现小草叶子的边缘布满了密集的小齿，于是便产生联想，根据小草的结构发明了锯子.
鲁班在这里就运用了“类比”的思想方法，“类比”也是数学学习中常用的一种重要方法.
新课导入
.创设情境：
问题：某公司的统计资料表明，科研经费每增加1万元，
年利润就增加1.8万元。如果该公司原来的年利润为200
万元，要使年利润等于245万元，那么增加的科研经费
应当为多少万元？
某公司的统计资料表明，科研经费每增加1万元，
年利润就增加1.8万元。如果该公司原来的年利润为200
万元，要使年利润超过245万元，那么增加的科研经费
应当高于多少万元？
问1：你能解决这一问题吗？你利用的是什么方法？
问2：若把题中的“等于”改为“超过”，“为”改为“高于”，
你还会吗？
解：设该公司增加科研经费x万元，那么年利润就增加1.8X万元。
根据题意得：
200+1.8x=245
200+1.8x>245
一元一次不等式的意义:
问3：你所列的式子具有什么特征?能否类比方程的特征得到不等式的特征？
类比:
方程的特征:
不等式的特征:
(1).只含有一个未知数
(2).未知数的次数是1
(3).等号两边都是整式
(1).只含有一个未知数
(2).未知数的次数是1
(3).不等号两边都是整式
200+1.8x=245
200+1.8x>245
只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，称为一元一次不等式.
像75 + 25x ≤1200 这样，
它与一元一次方程的定义有什么共同点吗？
一、一元一次不等式的概念
下列不等式中，哪些是一元一次不等式?
(1) 3x+2>x–1； (2)5x+3<0；
(3) ； (4)x(x–1)<2x.
?
?
?
?
左边不是整式
化简后是
x2-x<2x
练一练
例1 已知 是关于x的一元一次不等式，
则a的值是________．
典例精析
解析：由 是关于x的一元一次不等式得2a－1＝1，计算即可求出a的值等于1.
1
解不等式：
4x-1<5x+15.
解方程：
4x-1=5x+15.
解：移项，得
4x-5x=15+1,
合并同类项，得
-x=16,
系数化为1，得
x=-16.
解：移项，得
4x-5x<15+1,
合并同类项，得
-x<16,
系数化为1，得
x>-16.
解一元一次不等式
解一元一次不等式与解一元一次方程的依据和步骤有什么异同点？
它们的依据不相同.解一元一次方程的依据是等式的性质，解一元一次不等式的依据是不等式的性质.
它们的步骤基本相同，都是去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1.
这些步骤中，要特别注意的是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向.这是与解一元一次方程不同的地方.
议一议
例2 解下列一元一次不等式 ：
（1） 2-5x < 8-6x ；
（2）
解：
（1） 原不等式为2-5x < 8-6x，
将同类项放在一起
即 x < 6.
移项，得 -5x+6x < 8-2，
计算结果
典例精析
解：
首先将分母去掉
去括号，得 2x-10+6≤9x ,
去分母，得 2(x-5)+1×6≤9x ,
移项，得 2x-9x≤10-6 ,
去括号
将同类项放在一起
（2） 原不等式为 ,
合并同类项，得 -7x ≤4 ,
两边都除以-7，得
x≥ .
计算结果
根据不等式性质3
例3 解不等式12-6x≥2(1-2x)，并把它的解集在数轴
上表示出来.
解：
首先将括号去掉
去括号，得 12-6x ≥2-4x ,
移项，得 -6x+4x ≥ 2-12 ,
将同类项放在一起
合并同类项，得 -2x ≥-10 ,
两边都除以-2，得 x ≤ 5 .
根据不等式基本性质3
原不等式的解集在数轴上表示如图所示.
-1
0
1
2
3
4
5
6
注：解集x≤5中包含5，所以在数轴上将表示5的点画成实心圆点.
解：由方程的解的定义，把x=3代入ax+12=0中，
得 a=－4.
把a=－4代入（a+2）x＞－6中，
得－2x＞－6，
解得x＜3.
在数轴上表示如图：
其中正整数解有1和2.
例4：已知方程ax+12=0的解是x=3，求关于x不等式
（a+2）x＞－6的解集，并在数轴上表示出来，其
中正整数解有哪些？
-1
0
1
2
3
4
5
6
求不等式的特殊解，先要准确求出不等式的解集，然后确定特殊解．在确定特殊解时，一定要注意是否包括端点的值，一般可以结合数轴，形象直观，一目了然．
方法总结
解不等式
解：
③
①
②
④
请指出上面的解题过程中，有什么地方产生了错误。
答：在第①步中_________________________,在第②步中________________,在第③步中 _____________，在第④步中_________。
两边同乘-6，不等号没有变号
去分母时，应加括号
移项没有变号
正确
变式： 已知不等式 x＋8＞4x＋m (m是常数)的解集是
x＜3，求 m.
方法总结：已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集的唯一性列方程求字母的值．解题过程体现了方程思想．
解：因为 x＋8＞4x＋m，
所以 x－4x＞m－8， 即－3x＞m－8，
因为其解集为x＜3，
所以 .
解得 m=－1.
当堂跟踪练习
1. 解下列不等式：
（1） -5x ≤10 ；
（2）4x-3 < 10x+7 .
2. 解下列不等式：
（1） 3x -1 > 2(2-5x) ；
（2） .
x ≥ -2
x >
x >
x≤
3. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1） 4x-3 < 2x+7 ；
（2） .
解：(1)原不等式的解集为x<5，在数轴上表示为：
(2)原不等式的解集为x≤-11，在数轴上表示为：
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
-11
4. a≥1的最小正整数解是m,b≤8的最大正整数解是n,求关于x的不等式(m+n)x＞18的解集．
所以m+n=9.
解：因为a≥1的最小正整数解是m,所以m=1.
因为b≤8的最大正整数解是n,所以n=8.
把m+n=9代入不等式(m+n)x＞18中，
得 9x＞18，
解得x＞2.
解
解得 x ≤ 6.
x≤6在数轴上表示如图所示.
-1
0
1
2
3
4
5
6
根据题意，得 x +2≥ 0,
所以，当x≤6时，代数式 x+2的值大于或等于0.
由图可知，满足条件的正整数有 1,2,3,4,5,6.
5. 当x取什么值时，代数式 x +2的值大于或等于0？并求出所有满足条件的正整数.
课堂小结
一元一次不等式的解法
一元一次不等式的解集
步骤
解一元一次不等式
→
特殊解
→