北师大版八年级下册寒假衔接专题讲义：第三章图形的平移与旋转（Word版，无答案）

第三章：图形的平移与旋转
第 1 讲：图形的平移与旋转
一．平移与旋转
平移的特征：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小 旋转的特征：旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，旋转角都相等
二．角度和线段的计算
1.角度计算：通过旋转角和旋转前后对应角相等并结合题目中给定的特殊条件进行求
解；
2.线段计算：通过旋转前后对应点与旋转中心连线相等的条件构造出等腰三角形，结合 对应边相等和题中特殊条件进行求解．
三．扫过的路径与面积问题
1.路径计算：通过计算旋转角并结合弧长公式得到某一顶点的路径长度；
2.面积计算：通过计算旋转角并结合扇形面积公式得到顶点与其对应点所构成扇形面
积．
四．最值问题
旋转最值的问题一般涉及的是线段长度问题，主要是结合三角形三边关系、两点间直线 段最短、轴对称和圆等知识将所求线段进行转化，一种是转化到一个三角形中，另一种是将 线段转化为可求的直线段或直角三角形中．
五．规律探究
此类问题重点要抓住图形旋转过程中顶点的变化规律，点坐标、线段长度、旋转角等关 键信息的循环规律，再结合平面直角坐标系、勾股定理以及全等的知识去求解．
题模一：角度和线段的计算
例 1.1.1 如图，△ODC 是由△OAB 绕点 O 顺时针旋转 31°后得到的图形，若点 D 恰好落在
A．34° B．36° C．38° D．40°
例 1.1.2 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=
x 经过点 A，作 AB⊥x 轴于点 B，将
△ABO 绕点 B 逆时针旋转 60°得到△CBD．若点 B 的坐标为（2，0），则点 C 的坐标为
（ ）
题模二：扫过的路径与面积问题
例 1.2.1 如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把 BP 绕点 B 顺时针旋转 90°到 BP′，已知
∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则 P′A：PB=（ ）
A．1：
B．1：2 C． 3 ：2 D．1： 3
例 1.2.2 如图，在矩形 ABCD 中，AB=
，BC=1．现将矩形 ABCD 绕点 C 顺时针旋转 90°
得到矩形 A?B?CD? ，则 AD 边扫过的面积(阴影部分)为（）
A． 1 p B． 1 p C． 1 p D． 1 p
题模三：最值问题
例 1.3.1 如图，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足
∠PAB=∠PBC，则线段 CP 长的最小值为（ ）
A． 3 B．2 C． 8 13
D． 12 13
2 13 13
例 1.3.2 在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，A、B、C 三点的坐标分别为 A（2，0）， B（4，0），C（0，5），点 D 在第一象限内，且∠ADB=45°．线段 CD 的长的最小值为 ．
题模四：规律探究
例 1.4.1 观察下列图形，并判断照此规律从左向右第 2007 个图形是
A．A 选项 B．B 选项 C．C 选项 D．D 选项
例 1.4.2 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4C4… 的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°．若点 A1 的坐标为（3， 0），OA1=OC2，OA2=OC3，OA3=OC4…，则依此规律，点 A2014 的纵坐标为（ ）
A．0 B．-3×（ 3 3 ）2013
2 3
C．（2 3 ）2014 D．3×（
3

）2013
随练 1.1 如图，△OAB 绕点 O 逆时针旋转 80°得到△OCD，若∠A=110°，∠D=40°，则∠α
的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
随练 1.2 如图，Rt△ABC 绕 O 点逆时针旋转 90°得 Rt△BDE，其∠ABD=∠ACB=∠BED=90°， AC=3，DE=5，则 OC 的长为（ ）
A． 5 + 2
2
B． 4 2
C．3+2
D．4+ 3
随练 1.3 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm．把△ABC 绕点 A 顺时针旋转 90°后， 得到△AB1C1，如图所示，则点 B 所走过的路径长为（ ）
A．5 2 cm B． 5 πcm C． 5 πcm D．5πcm
4 2
随练 1.4 如图，把一个斜边长为 2 且含有 30°角的直角三角板 ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转
90°到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是 ．
随练 1.5 在 Rt△POQ 中，OP=OQ=4，M 是 PQ 的中点，把一三角尺的直角顶点放在点 M 处， 以 M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ 的两直角边分别交于点 A、B．
（1）求证：MA=MB；
（2）连接 AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB 的周长是否存在最小值？若存在， 求出最小值；若不存在，请说明理由．
随练 1.6 如图 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，且 AC 在直线 l 上，将△ABC 绕 点 A 顺时针旋转到①，可得到点 P1，此时 AP1=2；将位置①的三角形绕点 P1 顺时针旋转到 位置②，可得到点 P2，此时 AP2=2+ 3 ；将位置②的三角形绕点 P2 顺时针旋转到位置③，
可得到点 P3，此时 AP3=3+
；…按此规律继续旋转，直到点 P2012 为止，则 AP2012 等于（ ）
随练 1.7 将△ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 B、C 落在格点上，点 A 在
BC 的垂直平分线上，∠ABC=30°，点 P 为平面内一点．
（1）∠ACB= 度；
（2）如图，将△APC 绕点 C 顺时针旋转 60°，画出旋转后的图形（尺规作图，保留痕迹）；
（3）AP+BP+CP 的最小值为 ．
1.（成外）已知：如图 1,Rt△ABC 中,∠ACB=90? ，D 为 AB 中点，DE、DF 分别交 AC 于 E， 交 BC 于 F，且 DE⊥DF.
(1)如果 CA=CB,求证：AE2+BF2=EF2；
(2)如图 2,如果 CA2.（实外）变长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45°后得到正方形 AB1C1D1,边 B1C1
与 CD 交与点 D,则四边形 AB1D1D 的面积是 ．
3.（成外）P 为等边△ABC 内任意一点，且 PA=3，PB=4，PC=5,求∠APB 的度数 ．
4.（自编）如图，AB 两村之间有两条平行的河，一河宽 a；另一个宽为 b 现欲在两条河上各 造一座桥(桥必须与河岸垂直)，使得 A、B 之间的路程最短，试找出造桥位置.
5.（培优）如图,把矩形纸片 OABC 放入平面直角坐标系中,使 OA、OC 分别落在 x 轴、y 轴 上,连接 AC,将矩形纸片 OABC 沿 AC 折叠,使点 B 落在点 D 的位置,若 B(1,2),则点 D 的横坐标 是 ．
6. （培优）如图,在平面直角坐标系中,已知直线 y = - 3 x + 3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B
4
两点,点 C(0,n)是 y 轴上一点,把坐标平面沿直线 AC 折叠,使点 B 刚好落在 x 轴上 B'处,则点 C
7. （培优） 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=5cm，BC=10cm，CD 上有一点 E，ED=2cm， AD 上有一点 P，PD=3cm，过 P 作 PF⊥AD 交 BC 于 F，将纸片折叠，使 P 点与 E 点重合， 折痕与 PF 交于 Q 点，则 PQ 的长是 cm.
8.(培优)在三角形纸片 ABC 中，已知∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．过点 A 作直线 l 平行于 BC，折叠三角形纸片 ABC，使直角顶点 B 落在直线 l 上的 T 处，折痕为 MN．当点 T 在直 线 l 上移动时，折痕的端点 M、N 也随之移动．若限定端点 M、N 分别在 AB、BC 边上移动， 则线段 AT 长度的最大值与最小值之和为 （计算结果不取近似值）
作业 1 如图，在△ABC 中，∠CAB=70°，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转到△AB′C′的位置，使 得 CC′∥AB，则∠BAB′的度数是（ ）
A．70° B．35° C．40° D．50°
作业 2 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=
，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转
60°到△AB′C′的位置，连接 C′B，则 C′B= ．
作业 3 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC 绕直角顶点 C 逆时 针旋转 60°得△A′B′C，则点 B 转过的路径长为（ ）

作业 4 如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4，将矩形 ABCD 绕点 D 顺时针旋转 90°得到矩 形 A′B′C′D′，则点 B 经过的路径与 BA，AC′，C′B′所围成封闭图形的面积是 （结 果保留π）．
作业 5 如图，在直角坐标系中，已知点 A（-3，0）、B（0，4），对△OAB 连续作旋转变换， 依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013 的直角顶点的坐标为 ．
DE 与线段 AB 相交于点 E，DF 与线段 AC（或 AC 的延长线）相交于点 F.
（1）如图 1，若 DF⊥AC，垂足为 F，AB=4，求 BE 的长；
（2）如图 2，将（1）中的∠EDF 绕点 D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段 AC 相交于
点 F.求证：BE+CF= 1 AB
2
（3）如图 3，将（2）中的∠EDF 继续绕点 D 顺时针旋转一定的角度，使 DF 与线段 AC 的 延长线交与点 F，作 DN⊥AC 于点 N，若 DN=FN，求证：BE+CF= 3 （BE-CF）