人教版八年级数学上册第十二章12.3角平分线性质与判定综合练习(word版，解析版）

角平分线性质与判定练习
一、选择题
1.
如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB.垂足分别为C，D，则下列结论中错误的是??(????)
?
A.
PC=PD?????????????B.
OD=OC?????????????C.
∠DPO=∠CPO?????????????D.
PC=OC?????????????
2.
如图，若OP平分∠AOB，PM⊥OA于M点，PM=3，N是OB上一个动点，则线段PN的最小值是??(????)
?
A.
2?????????????B.
3?????????????C.
4?????????????D.
5?????????????
3.
如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F.若，DE=2，AB=4，则AC=(????)
?
A.
4?????????????B.
3?????????????C.
6?????????????D.
5?????????????
4.
如图，AD是△ABC中的角平分线，于点E，，DE=2，AB=4，则AC长是(????)
?
A.
3?????????????B.
4?????????????C.
6?????????????D.
5?????????????
5.
如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6?cm，则△DEB的周长为??(????)
?
A.
4?cm?????????????B.
6?cm?????????????C.
10?cm?????????????D.
不能确定?????????????
6.
如图，△ABC中，?，点O为△ABC的三条角平分线的交点，，，，点D，E，F分别是垂足，且AB=10?cm，BC=8?cm，CA=6?cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别为(????)
?
A.
2?cm，2?cm，2?cm?????????????B.
3?cm，3?cm，3?cm?????????????
?C.
4?cm，4?cm，4?cm?????????????D.
2?cm，3?cm，5?cm?????????????
7.
如图，OP平分，于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=4，则PQ的最小值为(????)
?
A.
1?????????????B.
2?????????????C.
3?????????????D.
4?????????????
8.
如图，，，于D，，则的长度为(????)
?
A.
4?????????????B.
3?????????????C.
2?????????????D.
1?????????????
9.如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直,若AD=8,则点P到BC的距离是　　(　　)
?
A.
8?????????????B.
6?????????????C.
4?????????????D.
2?????????????
10.
如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是??(????)
?
A.
①?????????????B.
②?????????????C.
①②?????????????D.
①②③?????????????
11.
如图所示，若AB∥CD，AP，CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=3?cm，则AB与CD之间的距离为??(????)
?
A.
3?cm?????????????B.
6?cm?????????????C.
9?cm?????????????D.
无法确定?????????????
12.
如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=64，且BD:DC=9:7，则点D到AB边的距离为(????)
?
A.
18?????????????B.
32?????????????C.
28?????????????D.
24?????????????
13.
如图，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若AQ=PQ，PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR，②QP∥AR，③△BRP≌△CSP，其中正确的是??(????)
?
A.
①③?????????????B.
②③?????????????C.
①②?????????????D.
①②③?????????????
14.
如图所示，点,分别是,平分线上的点，于点，于点，于点，下列结论错误的是(????)
?
A.
?????????????
??
B.
与互余的角有两个?????????????
?C.
????????????
?D.
点是的中点?????????????
15.
如图，直线a，b，c表示三条相互交叉而建的公路，现在要建立一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(????)
?
A.
1个?????????????B.
2个?????????????C.
3个?????????????D.
4个?????????????
二、填空题
16.
如图，，于C，于D，若QC=QD，则______°.
?
17.
如图，在△ABC中，，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线，若CD=3，则△ABD的面积为______.
?
18.
如图，，AD垂直平分线段BC于点D，的平分线BE交AD于点E，连接EC，则的度数是______.
?
19.
如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.下列结论：①DA平分∠EDF；②AE=AF，DE=DF；③AD上的点到B，C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，其中正确的有____.
?
20.
如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=30°，E为AC上一点，且AE=AD，则∠EDC的度数为____.
?
21.
如图所示，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是____.
?
22.
如图，在△ABC中，BC=5?cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是____cm.
?
23.
如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若QC=QD，则_______°.
?
24.
如图所示，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，则__________.
?
三、解答题
25.
证明：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
26.
如图所示，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF.
?求证：
?
(1)PE=PF；
(2)点P在∠BAC的平分线上.
27.
如图，在△ABC中，CA=CB，，AD平分，于点E，AB=10?cm.求△BED的周长.
?
28.
如图所示，，平分，.求的度数.
?
30.
如图所示，,分别是△ABC?的两条角平分线，且相交于点，求证点在的平分线上.
?
31.
如图，已知F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG=MN，△PFG和△PMN的面积相等.试判断点P是否在∠AOB的平分线上，并说明理由.
?
32.
已知：如图所示，，于，于点，交于点.求证：平分.
?
33.
如图，,分别是△ABC的外角和的平分线，它们交于点，于，于，求证：为的平分线.
?
34.
如图所示，在中，分别延长的边，到，，与的平分线相交点，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律：
?
?①若，则；
?②若，则；
?③若，则.
(1)上述规律，若，则????????；
(2)请你用数学表达式归纳出与的关系；
(3)请说明第2题中结论的正确性.
35.
在△ABC中，AD是的平分线.
?
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，若BD=CD，求证：AB=AC；
(3)如图③，若AB=5，AC=4，BC=6，求BD的长.
36.
工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是任意一个角，在边，上分别截取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线.请结合图形说明理由.
?
37.
如图，李明计划在张村、李村之间建一家超市.张、李两村坐落在两相交公路内.超市的位置应满足下列条件：
?(1)使其到两公路的距离相等；
?(2)为了方便群众，超市到两村的距离之和最短，请你通过作图确定要建超市的位置.
?
四、证明题
38.
已知：如图，在中，，，是的平分线，求证：.
?
39.
如图，，M是BC的中点，DM平分，求证：AM平分.
?
40.
如图，，点是的中点，则平分，为什么？
?
41.
如图所示，射线OM，ON是两条公路，点A，B，C，D是四个小商店，其中A，B在公路OM上，C，D在公路ON上，且AB=CD，点P是一座购物商场，若，则商场P的位置恰好在的平分线上，为什么？
?
角平分线性质与判定练习
参考答案
一、选择题
1.
如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB.垂足分别为C，D，则下列结论中错误的是??(????)
?
A.
PC=PD?????????????B.
OD=OC?????????????C.
∠DPO=∠CPO?????????????D.
PC=OC?????????????
【答案】D
【解析】根据角平分线的性质知PC=PD，由PD=PC，OP=OP知Rt△POD≌Rt△POC，所以∠DPO=∠CPO，OD=OC.
2.
如图，若OP平分∠AOB，PM⊥OA于M点，PM=3，N是OB上一个动点，则线段PN的最小值是??(????)
?
A.
2?????????????B.
3?????????????C.
4?????????????D.
5?????????????
【答案】B
【解析】过点P作PQ⊥OB，垂足为Q，当N与Q重合时PN的值最小，由角平分线的性质知PQ=PM=3.故PN的最小值为3,故选B.
3.
如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F.若，DE=2，AB=4，则AC=(????)
?
A.
4?????????????B.
3?????????????C.
6?????????????D.
5?????????????
【答案】B
【解析】∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE=2.∵AB=4，∴.∵，∴，∴.故选B.
4.
如图，AD是△ABC中的角平分线，于点E，，DE=2，AB=4，则AC长是(????)
?
A.
3?????????????B.
4?????????????C.
6?????????????D.
5?????????????
【答案】A
【解析】如图，过点D作于F，∵AD是△ABC中的角平分线，
?，∴DE=DF，由图可知，.
?∴，解得AC=3.故选A.
?
5.
如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6?cm，则△DEB的周长为??(????)
?
A.
4?cm?????????????B.
6?cm?????????????C.
10?cm?????????????D.
不能确定?????????????
【答案】B
【解析】由题意知∠C=∠AED=90°，又因为AD平分∠CAB，所以DE=DC.易证△ADE≌△ADC，
?所以AE=AC.△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=6?cm,故选B.
6.
如图，△ABC中，?，点O为△ABC的三条角平分线的交点，，，，点D，E，F分别是垂足，且AB=10?cm，BC=8?cm，CA=6?cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别为(????)
?
A.
2?cm，2?cm，2?cm?????????????B.
3?cm，3?cm，3?cm?????????????
?C.
4?cm，4?cm，4?cm?????????????D.
2?cm，3?cm，5?cm?????????????
【答案】A
【解析】点O为△ABC的三条角平分线的交点，，，，所以OF=OD=OE，根据，得AB·OF+BC·OD+AC·OE=48，所以OF=?OD=OF=2?cm.
7.
如图，OP平分，于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=4，则PQ的最小值为(????)
?
A.
1?????????????B.
2?????????????C.
3?????????????D.
4?????????????
【答案】D
【解析】根据垂线段最短，得当时，PQ的值最小.又OP是的平分线，，所以PA=PQ=4.故选D.
8.
如图，，，于D，，则的长度为(????)
?
A.
4?????????????B.
3?????????????C.
2?????????????D.
1?????????????
【答案】D
【解析】作于，根据角平分线的性质可行，根据平行线的性质可得，由直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，可求得，即可求得，故选D.
9.如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直,若AD=8,则点P到BC的距离是　　(　　)
?
A.
8?????????????B.
6?????????????C.
4?????????????D.
2?????????????
【答案】C
【解析】本题考查角平分线的性质.
?过点P作PE⊥BC于E,?则点P到BC的距离是PE.
?
?∵AB∥CD,PA⊥AB,∴PD⊥CD.
?∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,∴PA=PE,PD=PE,∴PE=PA=PD.
?∵PA+PD=AD=8,∴PA=PD=4,∴PE=4.故选C.
10.
如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是??(????)
?
A.
①?????????????B.
②?????????????C.
①②?????????????D.
①②③?????????????
【答案】D
【解析】根据三角形全等的判定方法，由SAS可判定△ABE≌△ACF；由AAS可判定△BDF≌△CDE；连接AD，由SAS可判定△ACD≌△ABD，所以∠CAD=∠BAD，D在∠BAC的平分线上.故①②③均正确.
11.
如图所示，若AB∥CD，AP，CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=3?cm，则AB与CD之间的距离为??(????)
?
A.
3?cm?????????????B.
6?cm?????????????C.
9?cm?????????????D.
无法确定?????????????
【答案】B
【解析】如图,过点P作PM⊥AB于M，并反向延长交CD于点N，则PN⊥CD，且MN的长为AB与CD之间的距离.由角平分线的性质得PM=PE，PN=PE，∴MN=PM+PN=2PE=6?cm.
?
12.
如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=64，且BD:DC=9:7，则点D到AB边的距离为(????)
?
A.
18?????????????B.
32?????????????C.
28?????????????D.
24?????????????
【答案】C
【解析】由BC=64，且BD:DC=9:7，可求得DC=28.
?过点D作DE⊥AB，垂足为E，因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，所以DE=DC=28,故选C.
13.
如图，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若AQ=PQ，PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR，②QP∥AR，③△BRP≌△CSP，其中正确的是??(????)
?
A.
①③?????????????B.
②③?????????????C.
①②?????????????D.
①②③?????????????
【答案】C
【解析】连接AP，由PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，知AP平分∠BAC，所以∠RAP=∠QAP.因为AQ=PQ，所以∠QAP=∠QPA，所以∠RAP=∠QPA，所以QP∥AR.易证Rt△APR≌Rt△APS.所以AR=AS.由已知条件不能得到△BRP≌△CSP，故选C.
14.
如图所示，点,分别是,平分线上的点，于点，于点，于点，下列结论错误的是(????)
?
A.
?????????????
??
B.
与互余的角有两个?????????????
?C.
????????????
?D.
点是的中点?????????????
【答案】B
【解析】∵平分，∴，又，，∴△BCO≌△BEO?，同理，△AOD≌△AOE?，∴，，∴.故A正确.
?∵，，∴，即，故C正确.∵△BCO≌△BEO?，△AOD≌△AOE?，∴，，∴，即点是的中点.故D正确.
15.
如图，直线a，b，c表示三条相互交叉而建的公路，现在要建立一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(????)
?
A.
1个?????????????B.
2个?????????????C.
3个?????????????D.
4个?????????????
【答案】D
【解析】∵三角形内角平分线的变点到三角形三边的距离相等，∴三角形内角平分线的交点满足条件；如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，过点P作，，，∴PE=PF，PF=PD，∴PE=PF=PD，∴点P到△ABC的三边的距离相等，∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足此条件的点有3个，综上，到三条公路的距离相等的点有4个，∴可供选择的地址有4个.故选D.
?
二、填空题
16.
如图，，于C，于D，若QC=QD，则______°.
?
【答案】35
【解析】∵，，QC=QD，∴点Q在的平分线上，∴，∵，∴.
17.
如图，在△ABC中，，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线，若CD=3，则△ABD的面积为______.
?
【答案】15
【解析】作于E.∵AD平分，，，∴DE=CD=3.
?∴△ABD的面积为.故答案是15.
?
18.
如图，，AD垂直平分线段BC于点D，的平分线BE交AD于点E，连接EC，则的度数是______.
?
【答案】115°
【解析】因为BE是的平分线，，所以.因为AD是BC的垂直平分线，所以，，
?所以.
19.
如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.下列结论：①DA平分∠EDF；②AE=AF，DE=DF；③AD上的点到B，C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，其中正确的有____.
?
【答案】①②③④
【解析】在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，AD为公共边，∴△ADE≌△ADF，∴∠EDA=∠FDA，AE=AF，DE=DF，故①②正确.∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分BC，∴AD上的点到B，C两点的距离相等，③正确.根据图形的对称性可知，图中共有3对全等三角形，④正确.故填①②③④.
20.
如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=30°，E为AC上一点，且AE=AD，则∠EDC的度数为____.
?
【答案】15°
【解析】在△ABC中，D为BC的中点，AB=AC，∴AD为∠BAC的平分线，AD⊥BC.∵∠BAD=30°，∴∠DAE=30°，
?又∵AD=AE，∴∠ADE=75°，
?∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.
21.
如图所示，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是____.
?
【答案】31.5
【解析】作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E，F，连接OA，
?∵BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
?∴OD=OE=OF.
?
22.
如图，在△ABC中，BC=5?cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是____cm.
?
【答案】5
【解析】∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠DBP，
?∵AB∥PD，∴∠ABP=∠BPD，∴∠DBP=∠BPD，∴PD=BD，同理可得PE=EC，∴△PDE的周长=PD+PE+DE=BD+EC+DE=BC=5?cm.
23.
如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若QC=QD，则_______°.
?
【答案】35
【解析】∵QC⊥OA，QD⊥OB，QC=QD，∴点Q在∠AOB的平分线上，∴，∵∠AOB=70°，∴35°.
24.
如图所示，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，则__________.
?
【答案】
【解析】∵的平分线与的平分线交于点，∴，，
?又∵，∴.∵在四边形中，，∴.
?∴.
三、解答题
25.
证明：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
【答案】解：如图，，点在上，，垂足分别为,，求证.
?证明：∵，，∴.
?在△PDO?和△PEO中，∴△PDO≌△PEO?(AAS).∴，即角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
?
26.
如图所示，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF.
?求证：
?
(1)PE=PF；
【答案】连接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，
?∴∠AEP=∠AFP=90°.?∵AE=AF，AP=AP，
?∴Rt△AEP≌Rt△AFP(HL)，∴PE=PF.
(2)点P在∠BAC的平分线上.
【答案】由第1问知Rt△AEP≌Rt△AFP，
?∴∠EAP=∠FAP，
?∴点P在∠BAC的平分线上.
27.
如图，在△ABC中，CA=CB，，AD平分，于点E，AB=10?cm.求△BED的周长.
?
【答案】∵，，
?∴CD=DE.又∵AD=AD，∴，∴，AC=AE，∴BD+DE=BD+DC=BC.
?∵AC=CB，∴BD+DE=BC=CA=AE，∴BD+DE+BE=AE+BE=AB=10?cm，∴△BED的周长为10?cm.
28.
如图所示，，平分，.求的度数.
?
【答案】50°
【解析】∵，∴.∵平分，∴，∵，∴.
29.
如图，在△ABC中，，，CE平分，于D，于F，求的度数.?
?
【答案】∵，，，∴.
?∵CE平分，∴.
?又∵，∴，
?∴，
?∵，∴.
30.
如图所示，,分别是△ABC?的两条角平分线，且相交于点，求证点在的平分线上.
?
【答案】证明：如图，过点作，，分别垂直于，，，垂足分别为,,.∴.同理，?.∴.∴点在的平分线上.
?
31.
如图，已知F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG=MN，△PFG和△PMN的面积相等.试判断点P是否在∠AOB的平分线上，并说明理由.
?
【答案】点P在∠AOB的平分线上.
?理由：如图所示，作PD⊥OA于D，PE⊥OB于E.
?
?∵,，
?，
?∴=.
?又∵FG=MN，∴PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上.
32.
已知：如图所示，，于，于点，交于点.求证：平分.
?
【答案】证明：∵，，∴.
?在△BDE?和△CDF中，∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴，
?又∵，，∴平分.
33.
如图，,分别是△ABC的外角和的平分线，它们交于点，于，于，求证：为的平分线.
?
【答案】证明：如图，过点作于.∵，，,分别是和的平分线，∴，，∴.
?又∵，，∴点在的平分线上，∴为的平分线.
34.
如图所示，在中，分别延长的边，到，，与的平分线相交点，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律：
?
?①若，则；
?②若，则；
?③若，则.
(1)上述规律，若，则????????；
【答案】15°
(2)请你用数学表达式归纳出与的关系；
【答案】.
(3)请说明第2题中结论的正确性.
【答案】证明：因为是的一个外角，
?所以.
?因为是的平分线，
?所以.
?同理，可得.
?因为，
?所以
?
?
?.
35.
在△ABC中，AD是的平分线.
?
(1)如图①，求证：；
【答案】证明：如图，作于E，于F.
?
?∵AD是的平分线，∴DE=DF.
?∴.
(2)如图②，若BD=CD，求证：AB=AC；
【答案】证明：∵BD=CD，∴.
?由第1问知，
?∴，∴AB=AC.
(3)如图③，若AB=5，AC=4，BC=6，求BD的长.
【答案】如图，过A作，垂足为M.
?∵，，∴，
?由第1问知，∴.又BC=6，∴.
?
36.
工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是任意一个角，在边，上分别截取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线.请结合图形说明理由.
?
【答案】在和中，，，，∴，∴，即平分.
37.
如图，李明计划在张村、李村之间建一家超市.张、李两村坐落在两相交公路内.超市的位置应满足下列条件：
?(1)使其到两公路的距离相等；
?(2)为了方便群众，超市到两村的距离之和最短，请你通过作图确定要建超市的位置.
?
【答案】解:如图，连接，作的平分线交于点，则点就是所要建超市的位置.
?
四、证明题
38.
已知：如图，在中，，，是的平分线，求证：.
?
【答案】证明?:∵，
?∴，
?∵，
?∴，
?∴，，
?∵是的平分线，
?∴，
?∴，∴，
?在中，∵，
?∴，
?.
39.
如图，，M是BC的中点，DM平分，求证：AM平分.
?
【答案】过点M作于N.
?∵DM平分，?，
?∴CM=MM.又M是BC的中点，
?∴CM=BM，∴MN=MB.
?又∵，∴，∴AM平分.
40.
如图，，点是的中点，则平分，为什么？
?
【答案】如图，
?
?连接.点是的中点，∴.
?在和中，∵，
?∴.
?在和中，∴，
?∴，∴，∴平分.
41.
如图所示，射线OM，ON是两条公路，点A，B，C，D是四个小商店，其中A，B在公路OM上，C，D在公路ON上，且AB=CD，点P是一座购物商场，若，则商场P的位置恰好在的平分线上，为什么？
?
【答案】过点P作于点E，于点F，如图所示.
?
?∵，，，
?∴AB·PE=CD·PF.∵AB=CD，∴PE=PF.∴点P在的平分线上.