北师大版九年级下册数学《第3章 圆》单元测试题（Word版 含解析）

2020-2021学年北师大新版九年级下册数学《第3章 圆》单元测试题
一．选择题
1．在一扇形统计图中，有一扇形的圆心角为60°，则此扇形占整个圆的（　　）
A． B． C． D．
2．⊙O的半径为15，在⊙O内有一点P到圆心O的距离为9，则通过P点且长度是整数值的弦的条数是（　　）
A．5 B．7 C．10 D．12
3．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为6dm，如果再注入一些油后，油面AB上升1dm，油面宽为8dm，圆柱形油槽直径MN为（　　）
A．6dm B．8dm C．10dm D．12dm
4．如图，∠B＝58°，则∠OCA＝（　　）
A．25° B．30° C．32° D．20°
5．下列说法正确的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．圆心角的度数等于圆周角的两倍
C．与半径垂直的直线是圆的切线
D．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦、弧分别相等
6．圆的半径为5cm，圆心到一条直线的距离是7cm，则直线与圆的公共点个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
7．边长为2的等边三角形的外接圆的半径是（　　）
A． B． C． D．
8．若一个扇形的面积是相应圆的，则它的圆心角为（　　）
A．150° B．120° C．90° D．60°
9．下列说法中，正确的是（　　）
A．经过三个点一定可以作一个圆
B．经过四个点一定可以作一个圆
C．经过圆心且平分弦的直线一定垂直于这条弦
D．三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等
10．下面图形中，一定有内切圆的是（　　）
A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形
二．填空题
11．若一扇形面积为100πcm2，此扇形所在圆半径为50cm，则扇形的圆心角度数为　 　°．
12．△ABC中，AB＝13cm，BC＝12cm，AC＝5cm，以C为圆心，若要使AB与⊙C相切，则⊙C的半径应为　 　．
13．已知直线l：y＝x﹣4，点A（0，2），点B（2，0），设点P为直线l上一动点，当P的坐标为　 　时，过P，A，B三点不能作出一个圆．
14．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的　 　相等，所对的　 　相等，所对的弦的　 　相等．
15．弧长的计算：如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那么，弧长l＝　 　．
16．直角三角形的两条直角边长为3和4，则它的外接圆的半径R＝　 　，内切圆半径r＝　 　．
17．已知⊙O的面积为25πcm2，⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝6.5cm，则点P在　 　；若OP＝4cm，则点P在　 　；若OP＝　 　cm，则点P在⊙O上．
18．若直角三角形ABC的两条直角边AC、BC的长分别是5cm和12cm，则此直角三角形外接圆半径为　 　cm，内切圆半径为　 　cm．
19．如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1，⊙O的弦AD交⊙O1于C，则：
（1）OC与AD的位置关系是　 　；
（2）OC与BD的位置关系是　 　；
（3）若OC＝2cm，则BD＝　 　cm．
20．如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．不难发现，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化．如图2，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点．若公共点的个数为4，则相对应的AP的取值范围为　 　．
三．解答题
21．小明投铅球，铅球着地后落在图中点A处，试估计小明投铅球的成绩．
22．如图（1）和（2），MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM＝∠CPM．
（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由；
（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
23．如图所示，点C在⊙O上，将圆心角∠AOB绕点O按逆时针方向旋转到∠A′OB′，已知∠AOB＝30°，∠BCA′＝40°，求∠BOB′的度数．
24．已知：如图，P为∠ABC的角平分线上一点，⊙P与BC相切，求证：⊙P与AB也相切．
25．已知：如图，半圆O的直径AB＝12cm，点C，D是这个半圆的三等分点．求∠CAD的度数及弦AC，AD和围成的图形（图中阴影部分）的面积S．
26．如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠CAB＝∠CBA，∠COB与∠COA相等吗？为什么？
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：．
故选：C．
2．解：如图，CD为过P点的直径，AB为过P点与CD垂直的弦，连OA，则AP＝BP，
∵⊙O的半径为15，OP＝9，
∴过P点的最长的弦是直径CD＝30，
最短的弦长AB＝2AP＝，
∴⊙O中，过P点的弦长L的取值范围是24≤L≤30，
若L为整数，所以L的值可取24，25，26，27，28，29，30，
又根据圆的对称性知：长度为25，26，27，28，29的弦各有2条，
∴通过P点且长度是整数值的弦的条数是12．
故选：D．
3．解：根据题意画出图形，如图所示，EF＝1dm，AB＝6dm，CD＝8dm，设圆的半径为r，
∵OE⊥CD，OF⊥AB，
∴CE＝DE＝4dm，AF＝BF＝3dm，
在Rt△OCE和△OAF中，
根据勾股定理得：OE＝＝，OF＝＝，
∴OE﹣OF＝1，即﹣＝1，
＝+1，
两边平方得，r2﹣9＝r2﹣16+2+1，
＝3，
两边平方得，r2﹣16＝9，
r2＝25，
解得：r＝5，
则圆柱形油槽直径MN为10dm．
故选：C．
4．解：连接OA，
∵∠B＝58°，
∴∠AOC＝2∠B＝116°．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝＝32°．故选C．
5．解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆；故A错误．
B、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角的度数等于圆周角的两倍；故B错误．
C、经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；故C错误．
D、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦、弧分别相等；故D正确．
故选：D．
6．解：∵圆的半径为5cm，圆心到一条直线的距离是7cm，
5＜7，
即半径小于圆心到直线的距离，
∴直线与圆的位置关系是相离，
即直线与圆有0个交点．
故选：A．
7．解：连接中心和顶点，作出边心距．
那么得到直角三角形在中心的度数为：360÷3÷2＝60°，
那么外接圆半径是2÷2÷sin60°＝；
故选：D．
8．解：设圆的面积＝πr2，则扇形面积＝＝；
解得n＝90°．
故选：C．
9．解：A选项错，正确的是不在同一直线上的三个点确定一个圆；
B选项错，经过不在一直线上的四个点不一定能做圆，除非这四点共圆；
C选项错，过圆心的直径所在的直线都平分直径（平分弦），却不一定垂直这条直径；
只有D选项正确，外心是三边垂直平分线的交点，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以，三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等．
故选：D．
10．解：角平分线上的点到两边的距离相等，菱形的对角线同时也是菱形内角的平分线，所以菱形两对角线的交点到菱形各边的距离相等．以交点为圆心，距离为半径的圆就是菱形的内切圆．
故选：C．
二．填空题
11．解：∵扇形面积公式为：S＝LR
∴L＝
∴L＝4π
∵弧长公式为：L＝θR
∴θ＝
∴θ＝π＝14.4°
故此题应该填14.4°．
12．解：设AB与⊙C相切的切点为D，即CD⊥AB（CD为△ABC斜边AB边上的高，也等于圆C的半径），
∵132＝52+122，即AB2＝AC2+BC2（勾股定理），
∴△ABC为直角三角形，
∵S△ABC＝＝，
∴，
CD＝，
∴⊙C的半径应为．
故答案为：．
13．解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（0，2），点B（2，0），
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2．
解方程组，得，
∴当P的坐标为（3，﹣1）时，过P，A，B三点不能作出一个圆．
故答案为（3，﹣1）．
14．解：根据定理可知，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
故应填弧、弦、弦心距．
15．解：弧长的公式为：l＝．
故答案为：l＝．
16．解：直角三角形的两条直角边长为3和4，则其斜边为5，
所以它的外接圆半径R＝×5＝2.5，内切圆半径r＝＝1．
17．解：因为圆的面积为25πcm2，所以圆的半径为5cm．
若OP＝6.5cm，因为6.5cm＞5cm，则点P在⊙O外；
若OP＝4cm，因为4cm＜5cm，则点P在⊙O内；
若OP＝5cm，则点P在⊙O上．
故答案为：⊙O外；⊙O内；5．
18．解：（1）在Rt△ABC内，AB＝＝＝13（cm）
∵AB是Rt△ABC外接圆的直径
∴Rt△ABC外接圆的半径为6.5（cm）
（2）设Rt△ABC内切圆P的半径为r．
AE＝AM＝AC﹣r＝5﹣r，BE＝BN＝BC﹣r＝12﹣r
AB＝AE+BE＝（5﹣r）+（12﹣r）＝17﹣2r
∴13＝17﹣2r，即r＝2
故答案为6.5，2．
19．解：（1）∵以⊙O的半径OA为直径作⊙O1，⊙O的弦AD交⊙O1于C，
∴∠ACO＝∠ADB＝90°，
∴OC⊥AC，
即OC⊥AD；
∴OC与AD的位置关系是：垂直；
（2）∵∠ACO＝∠ADB＝90°，
∴OC∥BD；
∴OC与BD的位置关系是：平行；
（3）∵OA＝OB，OC∥BD，
∴AC＝CD，
∴BD＝2OC＝2×2＝4（cm）．
故答案为：（1）垂直，（2）平行，（3）4．
20．解：∵平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，
∴BC＝AD＝10，
∵AB⊥AC，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝8，
如图2所示，连接PF，
设AP＝x，则DP＝10﹣x，PF＝x，
∵⊙P与边CD相切于点F，
∴PF⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∴AC∥PF，
∴△DPF∽△DAC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
即AP＝；
当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，
S?ABCD＝×6×8×2＝10PG，
∴PG＝，
①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时，＜AP＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4；
②⊙P过点A、C、D三点，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP＝5，
综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP＝5，
故答案为：＜AP＜或AP＝5．
三．解答题
21．解：在8m和9m之间．
22．（1）解：AB＝CD，
理由是：过O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OB、OD，
∵∠APM＝∠CPM，∠APM＝∠BPN，∠CPM＝∠DPN，
∴∠BPN＝∠DPN，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE＝OF，
在Rt△BEO和Rt△DOF中，OF＝OE，OD＝OB，由勾股定理得：BE＝DF，
∵OF⊥CD，OE⊥AB，
OF、OE过O，
∴由垂径定理得：CD＝2DF，AB＝2BE，
∴AB＝CD．
（2）AB＝CD成立，
证明：过O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OB、OD，
∵∠APM＝∠CPM，
∴OE＝OF，
在Rt△BEO和Rt△DOF中，OF＝OE，OD＝OB，由勾股定理得：BE＝DF，
∵OF⊥CD，OE⊥AB，
OF、OE过O，
∴由垂径定理得：CD＝2DF，AB＝2BE，
∴AB＝CD．
23．解：∵∠BCA′＝40°，
∴∠BOA′＝2∠BCA′＝80°，
∵点C在⊙O上，将圆心角∠AOB绕点O按逆时针方向旋转到∠A′OB′，
∴∠A′OB′＝∠AOB＝30°，
∴∠BOB′＝∠BOA′+∠A′OB′＝110°．
24．证明：过P点分别作AB、BC的垂线PE、PD，
∵P为∠ABC的角平分线上一点，
∴PE＝PD，
∵⊙P与BC相切，
∴PD为⊙P的半径，
∴PE也是⊙P的半径，
∵PE⊥AB，
∴⊙P与AB也相切．
25．解：连接CO、OD，CD，
∵C、D是这个半圆的三等分点，
∴CD∥AB，∠COD＝60°，
∴∠CAD的度数为：30°，
∵OC＝OD，∴△OCD是等边三角形，CD＝OC＝AB＝6，
∴△OCD与△CDA是等底等高的三角形，
∴S阴影＝S扇形OCD＝π×62＝6πcm2．
答：阴影部分的面积S是6πcm2．
26．解：∠COB＝∠COA，
理由是：∵∠CAB＝∠CBA，∴AC＝BC，
∴弧AC＝弧BC，∴∠COB＝∠COA．