北师大版九年级下册数学 3.4圆周角和圆心角之间的关系 同步练习 (word版 含解析)

3.4圆周角和圆心角之间的关系 同步练习
一．选择题
1．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝30°，则sin∠COB的等于（　　）
A． B． C． D．
2．⊙O中，∠AOB＝100°，若C是上一点，则∠ACB等于（　　）
A．80° B．100° C．120° D．130°
3．如图，＝＝，AD为⊙O的弦，∠BAD＝50°，则∠AED等于（　　）
A．50° B．60° C．70° D．75°
4．如图，圆心为C、直径为MN的半圆上有不同的两点A、B，在CN上有一点P，∠CBP＝∠CAP＝10°，若的度数是40°，则的度数是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
5．AB为半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，若CD＝3，AB＝4，则tan∠BPD等于（　　）
A． B． C． D．
6．如图所示，AB是直径，点E是弧AB中点，弦CD∥AB且平分OE，连AD，∠BAD度数为（　　）
A．45° B．30° C．15° D．10
7．如图，AB是圆O的直径，点C是半圆O上不同于A，B的一点，点D为弧AC的中点，连结OD，BD，AC，设∠CAB＝β，∠BDO＝α，则（　　）
A．α＝β B．α+2β＝90° C．2α+β＝90° D．α+β＝45°
8．如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，圆心O在AD上，∠BCD＝110°，则∠AEB的度数为（　　）
A．70° B．35° C．40° D．20°
9．如图，⊙O中，若OA⊥BC、∠AOB＝66°，则∠ADC的度数为（　　）
A．33° B．56° C．57° D．66°
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点 E．若⊙O的半径为5，AB＝8，则CE的长为（　　）
A．4 B． C． D．
二．填空题
11．如图所示，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠GEO＝46°，则∠DCF＝　 　．
12．如图，AD是⊙O的直径，若∠B＝40°，则∠DAC的度数为　 　．
13．如图，⊙O的半径为2．弦AB＝2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是　 　．
14．如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC交于点E，连接AE，若∠D＝70°，则∠BAE＝　 　°．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝8，点D是BC上一点，BC＝3CD，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点M为的中点，连接AM，则AM的最小值为　 　．
三．解答题
16．如图，以△ABC的一边为直径的半圆与其它两边AC、BC分别交于点D、E，＝．
（1）求证；AC＝AB；
（2）若BC＝8，BA＝6，求CD的长．
17．如图，在⊙O中．
（1）若＝，∠ACB＝80°，求∠BOC的度数；
（2）若⊙O的半径为13，且BC＝10，求点O到BC的距离．
18．如图，⊙O的直径AB＝12，半径OC⊥AB，D为弧BC上一动点（不包括B、C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E．F．
（1）求EF的长．
（2）若点E为OC的中点，
①求弧CD的度数．
②若点P为直径AB上一动点，直接写出PC+PD的最小值．
参考答案
一．选择题
1．解：∵OA＝OC，∠ACO＝30°，
∴∠OAC＝∠ACO＝30°，
∵∠COB是△AOC的外角，
∴∠COB＝∠ACO+∠OAC＝60°，
∴sin∠COB＝sin60°＝．
故选：C．
2．解：如图：在优弧上取点D，连接AD，BD，
∵⊙O中，∠AOB＝100°，
∴∠ADB＝∠AOB＝50°，
∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，
∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝130°．
故选：D．
3．解：连接OA，OB，OC，OD，
∵∠BAD＝50°，＝＝，
∴∠BOD＝2∠BAD＝100°，
∵＝＝，
∴AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠BOD＝50°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD＝150°，
∴∠AED＝∠AOD＝75°．
故选：D．
4．解：∵的度数是40°，
∴∠ACM＝40°
∵∠CBP＝∠CAP＝10°，
∴A、C、P、B四点共圆，
∴∠ACM＝∠ABP＝40°，
∵∠CPB＝10°，
∴∠ABC＝40°﹣10°＝30°，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，
∴∠ACB＝120°，
∴∠BCN＝180°﹣∠ACM﹣∠ACB＝20°，
∴的度数是20°．
故选：C．
5．解：连接BD．
则∠CDA＝∠ABC．（同圆中同弧AC所对的圆周角相等）
同理∠DCB＝∠DAB，
所以△PCD∽△PAB，
＝＝．
∵AB直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠PDB＝∠ADB＝90°，
在Rt△PDB中，
cos∠DPB＝＝，
∴sin∠DPB＝． （sin2∠DPB+cos2∠DPB＝1）
tan∠BPD＝＝．
故选：A．
6．解：设CD与OE交于P，则连接OC，∵CD∥AB且平分OE，∴OP＝?OC，
∴sin∠PCO＝，
∴∠PCO＝30°，
又∵CD∥AB，∴∠COA＝∠PCO＝30°，
∴∠BAD＝∠BOD＝15°．
故选：C．
7．解：如图，设AC与DO交点为E，如图，
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠BDO＝α，
∴∠DOA＝2∠OBD＝2α，
又∵D为中点，AB为⊙O直径，
∴OD⊥AC，
∴∠EAO+∠EOA＝90°，
即2α+β＝90°．
故选：C．
8．解：如图，连接DE，
∵四边形BCDE是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BED＝180°，
∵∠BCD＝110°，
∴∠BED＝70°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＝∠AED﹣∠BED＝90°﹣70°＝20°，
故选：D．
9．解：如图，连接OC，OB．
∵OA⊥BC，
∴＝，
∴∠AOC＝∠AOB＝66°，
∴∠ADC＝∠AOC＝33°，
故选：A．
10．解：∵⊙O的半径为5，
∴AC＝10，
∴AD＝CD＝5，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝8，
∴BC＝6，
∵∠BAD＝∠DCE，
∵∠ABD＝∠CDE＝45°，
∴△ABD∽△CDE，
∴，
∴，
∴CE＝，
故选：B．
二．填空题
11．解：∵CD是直径，EG＝GF，
∴CD⊥EF，
∴＝，
∴∠CDF＝∠EOD，
∵∠OGE＝90°，∠GEO＝46°，
∴∠EOD＝44°，
∴∠DCF＝22°．
故答案为：22°．
12．解：连接CD．
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠D＝∠B＝40°，
∴∠DAC＝90°﹣40°＝50°．
故答案为50°．
13．解：连结OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，
∵OA＝OB＝2，AB＝2，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠APB＝∠AOB＝30°，
∵AC⊥AP，
∴∠C＝60°，
∵AB＝2，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，
∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，
∴∠ADB＝120°，如图2，
当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，
∴△ABC的最大面积为．
故答案为：．
14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝70°，
∴∠DCB＝（180°﹣∠D）＝110°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠AEB＝∠D＝70°，∠B＝180°﹣∠BCD＝70°
∴∠BAE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
故答案为：40
15．解：如图，连接OM，CM，过点A作AT⊥CM交CM的延长线于T．
∵＝，
∴OM⊥PD，
∴∠MOD＝90°，
∴∠MCD＝∠MOD＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACT＝45°，
∵AT⊥CT，
∴∠ATC＝90°，
∵AC＝10，
∴AT＝AC?sin45°＝5，
∵AM≥AT，
∴AM≥5，
∴AM的最小值为5，
故答案为5．
三．解答题
16．（1）证明：∵＝，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠C+∠CAE＝90°，
∴∠ABC＝∠C，
∴AC＝AB；
（2）解：∵∠CAE＝∠CBD，∠ACE＝∠BCD，
∴△CAE∽△CBD，
∴＝，即＝，
∴CD＝．
17．解：（1）∵＝，
∴∠ABC＝∠ACB＝80°，
∴∠A＝180°﹣80°﹣80°＝20°，
∴∠BOC＝2∠A＝40°；
（2）作OH⊥BC于H，如图，则BH＝CH＝BC＝5，
在Rt△OBH中，OH＝＝＝12，
即点O到BC的距离为12．
18．解：（1）连接OD，
∵⊙O的直径AB＝12，
∴圆的半径为12÷2＝6，
∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，
∴四边形OFDE是矩形，
∴EF＝OD＝6；
（2）①∵点E为OC的中点，
∴OE＝OC＝OD，
∴∠EDO＝30°，
∴∠DOE＝60°，
∴弧CD的度数为60°；
②延长CO交⊙O于G，l连接DG交AB于P，
则PC+PD的最小值＝DG，
∵∠G＝∠COD＝30°，
∵EG＝9，
∴DG＝＝＝6，
∴PC+PD的最小值为6．