2020-2021学年江苏省镇江市八校高三上学期期中数学试卷 （Word解析版）

2020-2021学年江苏省镇江市八校高三（上）期中数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．已知A＝{y|y＝log2x，x＞1}，，则A∩B＝（　　）
A．[，+∞） B．（0，）
C．（0，+∞） D．（﹣∞，0）∪[，+∞）
2．已知＝i（i为虚数单位，a∈R），则a＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
3．甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3：1的比分获胜的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．“sin2α＝”是“tanα＝2”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知二面角α﹣l﹣β，其中平面的一个法向量＝（1，0，﹣1），平面β的一个法向量＝（0，﹣1，1），则二面角α﹣l﹣β的大小可能为（　　）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°
6．曲线y＝x﹣x2在点（1，0）处的切线方程是（　　）
A．x﹣2y﹣1＝0 B．x+2y﹣1＝0 C．x﹣y﹣1＝0 D．x+y﹣1＝0
7．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即F（1）＝F（2）＝1，F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2）（n≥3，n∈N*），此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列的每一项被2除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2020项的和为（　　）
A．1348 B．1358 C．1347 D．1357
8．等差数列{an}的前n项的和为Sn，公差d＞0，a6和a8是函数f（x）＝﹣8x的极值点，则S8＝（　　）
A．﹣38 B．38 C．﹣17 D．17
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是（　　）
A．PC⊥BC B．AC⊥平面PBC
C．平面PAB⊥平面PBC D．平面PAC⊥平面PBC
10．已知函数，x∈R，则（　　）
A．﹣2≤f（x）≤2
B．f（x） 在区间（0，π）上只有1个零点
C．f（x） 的最小正周期为π
D．x＝为f（x）图象的一条对称轴
11．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论，其中正确的是（　　）
A．
B．∠BAC＝60°
C．三棱锥D﹣ABC是正三棱锥
D．平面ADC的法向量和平面ABD的法向量互相垂直
12．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2＝72，若直线x+y﹣m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．10
三、填空题（共4小题）.
13．不等式的解集是　 　．
14．已知随机变量X的概率分布如表所示，其中a，b，c成等比数列，当b取最大值时，E（X）＝　 　．
X ﹣1 0 1
P a b c
15．在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形（如图1中阴影部分），折叠成底面边长为的正四棱锥S﹣EFGH（如图2），则正四棱锥S﹣EFGH的体积为　 　．
16．数列{an}的前n项和为Sn，定义{an}的“优值”为Hn＝，现已知{an}的“优值”Hn＝2n，则an＝　 　，Sn＝　 　．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）设函数，正项数列{an}满足a1＝1，，n∈N*，且n≥2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：．
18．（12分）在①；②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并进行作答．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，______．
（1）求角A，B，C的大小；
（2）求△ABC的周长和面积．
19．（12分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：相切．
（1）求圆O的方程；
（2）若圆O上有两点M、N关于直线x+2y＝0对称，且，求直线MN的方程．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，点E，F分别为AB和PD中点．
（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．
21．（12分）偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差x（单位：分）与物理偏差y（单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下：
学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8
数学偏差x 20 15 13 3 2 ﹣5 ﹣10 ﹣18
物理偏差y 6.5 3.5 3.5 1.5 0.5 ﹣0.5 ﹣2.5 ﹣3.5
（1）若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）若该次考试该班数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由（1）的结论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩．
参考公式：．
22．（12分）已知函数f（x）＝（2x2﹣4ax）lnx+x2．
（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）在[1，+∞）上的最小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，+∞）上的最小值为1，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a＞，讨论函数f（x）在[1，+∞）上的零点个数．
参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知A＝{y|y＝log2x，x＞1}，，则A∩B＝（　　）
A．[，+∞） B．（0，）
C．（0，+∞） D．（﹣∞，0）∪[，+∞）
解：∵，
∴．
故选：B．
2．已知＝i（i为虚数单位，a∈R），则a＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
解：∵＝i，
∴a+i＝i（1﹣2i）＝2+i，
故a＝2，
故选：D．
3．甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3：1的比分获胜的概率为（　　）
A． B． C． D．
解：甲以3：1的比分获胜，甲只能在1、2、3次中失败1次，第4次胜，
因此所求概率为：P＝＝．
故选：A．
4．“sin2α＝”是“tanα＝2”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：或，
即由sin2α＝不一定得到tanα＝2，反之，由tanα＝2一定得到sin2．
∴“sin2α＝”是“tanα＝2”的必要不充分条件．
故选：B．
5．已知二面角α﹣l﹣β，其中平面的一个法向量＝（1，0，﹣1），平面β的一个法向量＝（0，﹣1，1），则二面角α﹣l﹣β的大小可能为（　　）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°
解：cos＜＞＝＝＝﹣，
∴＜＞＝120°，
∴二面角α﹣l﹣β的大小为60°或120°．
故选：C．
6．曲线y＝x﹣x2在点（1，0）处的切线方程是（　　）
A．x﹣2y﹣1＝0 B．x+2y﹣1＝0 C．x﹣y﹣1＝0 D．x+y﹣1＝0
解：由y＝x﹣x2，得y′＝1﹣2x，当x＝1时，y′＝1﹣2＝﹣1，
∴曲线y＝x﹣x2在点（1，0）处的切线方程是y＝﹣1×（x﹣1），
即x+y﹣1＝0．
故选：D．
7．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即F（1）＝F（2）＝1，F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2）（n≥3，n∈N*），此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列的每一项被2除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2020项的和为（　　）
A．1348 B．1358 C．1347 D．1357
解：由“兔子数列”的各项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，
可得此数列被2除后的余数依次为：1，1，0，1，1，0，1，1，0，……，
即a1＝1，a2＝1，a3＝0，a4＝1，a5＝1，a6＝0，……，
所以数列{an}是以3为周期的周期数列，
可得a2020＝a1＝1，
则数列{an}的前2020项的和为：a1+a2+a3+……+a2020＝673（a1+a2+a3）+1＝673×2+1＝1347，
故选：C．
8．等差数列{an}的前n项的和为Sn，公差d＞0，a6和a8是函数f（x）＝﹣8x的极值点，则S8＝（　　）
A．﹣38 B．38 C．﹣17 D．17
解：f'（x）＝（x＞0），
令f'（x）＝0，则x＝或x＝，
∵a6和a8是函数的极值点，且d＞0，
∴，
∴a8﹣a6＝2d＝7，∴
∴由，得a1＝﹣17，
∴，
故选：A．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是（　　）
A．PC⊥BC B．AC⊥平面PBC
C．平面PAB⊥平面PBC D．平面PAC⊥平面PBC
解：由PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆上异于A，B的任一点，知；
在A中，BC⊥AC，BC⊥PA，PC∩PA＝P，∴BC⊥平面PAC，∴PC⊥BC，故A正确；
在B中，∵PA⊥AC，AC∩PC＝C，∠PCA＜，∴AC与PC不垂直，
∴AC与平面PBC不垂直，故B错误；
在C中，∵PAB是固定的平面，PBC是移动的平面，
∴平面PAB和平面PBC不垂直，故C错误；
在D中，∵BC⊥平面PAC，BC?平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC，故D正确．
故选：AD．
10．已知函数，x∈R，则（　　）
A．﹣2≤f（x）≤2
B．f（x） 在区间（0，π）上只有1个零点
C．f（x） 的最小正周期为π
D．x＝为f（x）图象的一条对称轴
解：已知函数＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），x∈R，
则A、﹣2≤f（x）≤2正确，
B、当2x﹣＝kπ，k∈Z，即x＝+，k∈Z，f（x） 在区间（0，π）上只有2个零点，则f（x） 在区间（0，π）上只有1个零点错误，
C、f（x） 的最小正周期为π，正确
D、当x＝时，函数＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣）＝2，x∈R，所以x＝为为f（x）图象的一条对称轴，正确．
故选：ACD．
11．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论，其中正确的是（　　）
A．
B．∠BAC＝60°
C．三棱锥D﹣ABC是正三棱锥
D．平面ADC的法向量和平面ABD的法向量互相垂直
解：对于A，因为BD⊥AD，BD⊥DC，且AD∩DC＝D，
所以BD⊥平面ADC，所以BD⊥AC，所以?＝0，选项A错误；
对于B，由AB＝AC＝BC，所以△ABC是等边三角形，所以∠BAC＝60°，选项B正确；
对于C，由DA＝DB＝DC，且△ABC是等边三角形，所以三棱锥D﹣ABC是正三棱锥，选项C正确．
对于D，由BD⊥平面ADC，BD?平面ABD，所以平面ABD⊥平面ADC，所以平面ABD和平面ADC的法向量互相垂直，选项D正确．
故选：BCD．
12．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2＝72，若直线x+y﹣m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．10
解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2＝72，圆心C（3，3），半径r＝6，
若直线x+y﹣m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，
则圆心到直线的距离为2，
∴d＝，即|6﹣m|＝4，
解得m＝2或10，
故选：AD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．不等式的解集是　（﹣∞，﹣3）∪（ 2，+∞）　．
解：分式不等式 ?（x﹣2）（x+3）＞0，
所以x＜﹣3 或x＞2．
故不等式的解集是（﹣∞，﹣3）∪（ 2，+∞）
故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（ 2，+∞）．
14．已知随机变量X的概率分布如表所示，其中a，b，c成等比数列，当b取最大值时，E（X）＝　0　．
X ﹣1 0 1
P a b c
解：随机变量X的概率分布如表所示，其中a，b，c成等比数列，
可得a+b+c＝1，b2＝ac≤＝，当且仅当a＝c时取等号，b2≤，解得0≤b，b的最大值为：，此时a＝c＝，
E（X）＝＝0．
故答案为：0．
15．在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形（如图1中阴影部分），折叠成底面边长为的正四棱锥S﹣EFGH（如图2），则正四棱锥S﹣EFGH的体积为　　．
解：连结EG、FH，交于点O，连结SO，
由题意EHGF是边长为的正方形，SE＝SF＝SG＝SH＝＝，
EO＝＝1，
∴SO＝＝＝2，
∴正四棱锥S﹣EFGH的体积：
V＝＝＝．
故答案为：．
16．数列{an}的前n项和为Sn，定义{an}的“优值”为Hn＝，现已知{an}的“优值”Hn＝2n，则an＝　n+1　，Sn＝　　．
解：由Hn＝＝2n，
得a1+2a2+…+2n﹣1an＝n?2n，①
n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2an﹣1＝（n﹣1）?2n﹣1，②
①﹣②得2n﹣1an＝n?2n﹣（n﹣1）?2n﹣1＝（n+1）?2n﹣1，即an＝n+1，
对n＝1时，a1＝2也成立，则Sn＝，
故答案为：n+1；．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）设函数，正项数列{an}满足a1＝1，，n∈N*，且n≥2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：．
解：（1）由，，n∈N得：，
故数列{an}是以1为首项，公差为的等差数列．
所以．
（2）由（1）可知，
故Sn＝
＝
＝
＝＜2．证毕．
18．（12分）在①；②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并进行作答．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，______．
（1）求角A，B，C的大小；
（2）求△ABC的周长和面积．
解：（1）若选择①：
因为，，所以（2分）
所以，
因为B+C∈（0，π），所以，（4分）
又因为cos（B﹣C）＝cosBcosC+sinBsinC＝1，
所以B﹣C＝0，（6分）
若选择②：
（法一）由题意知，tanB＞0，tanC＞0，
所以（2分）
因为当且仅当时，上式的等号成立，且B，C∈（0，π）（3分）
所以
所以（6分）
（法二）设tanB，tanC为方程，的两根（2分）
解得，且B，C∈（0，π）（4分）
所以
所以（6分）
（2）由正弦定理知：（7分）
因为，，
所以b＝c＝2（9分）
所以△ABC的周长为（10分）
所以△ABC的面积（12分）
19．（12分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：相切．
（1）求圆O的方程；
（2）若圆O上有两点M、N关于直线x+2y＝0对称，且，求直线MN的方程．
【解答】（本题满分14分）
（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，
即．…（3分）
得圆O的方程为x2+y2＝4． …（6分）
（2）由题意，可设直线MN的方程为2x﹣y+m＝0．…（8分）
则圆心O到直线MN的距离． …（10分）
由垂径分弦定理得：，即．…（12分）
所以直线MN的方程为：或．…（14分）
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，点E，F分别为AB和PD中点．
（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．
解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M．
∵点F为PD中点，
∴．
∵点E为AB的中点．
∴，
又AE∥FM，
∴四边形AEMF为平行四边形，
∴AF∥EM，
∵AF?平面PEC，EM?平面PEC，
∴直线AF∥平面PEC．
（Ⅱ）已知∠DAB＝60°，
进一步求得：DE⊥DC，
则：建立空间直角坐标系，
则 P（0，0，1），C（0，1，0），E（，0，0），
A（，﹣，0），B（，，0）．
所以：，．
设平面PAB的一个法向量为：，．
∵，
则：，
解得：，
所以平面PAB的法向量为：
∵，
∴设向量和的夹角为θ，
∴cosθ＝，
∴PC平面PAB所成角的正弦值为．
21．（12分）偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差x（单位：分）与物理偏差y（单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下：
学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8
数学偏差x 20 15 13 3 2 ﹣5 ﹣10 ﹣18
物理偏差y 6.5 3.5 3.5 1.5 0.5 ﹣0.5 ﹣2.5 ﹣3.5
（1）若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）若该次考试该班数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由（1）的结论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩．
参考公式：．
解：（1）由题意，﹣，＝
＝20×6.5+15×3.5+13×3.5+3×1.5+2×0.5+（﹣5）×（﹣0.5）+（﹣10）×（﹣2.5）+（﹣18）×（﹣3.5）＝324
＝202+152+132+32+22+（﹣5）2+（﹣10）2+（﹣18）2＝1256． …（4分）
所以b＝＝，…（6分）
a＝﹣＝，…（7分）
故y关于x的线性回归方程：y＝x+． …（9分）
（2）由题意，设该同学的物理成绩为w，则物理偏差为：w﹣91.5
而数学偏差为128﹣120＝8，所以w﹣91.5＝×8+，解得w＝94，
所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分． …（12分）
22．（12分）已知函数f（x）＝（2x2﹣4ax）lnx+x2．
（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）在[1，+∞）上的最小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，+∞）上的最小值为1，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a＞，讨论函数f（x）在[1，+∞）上的零点个数．
解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝（2x2﹣4x）lnx+x2，f′（x）＝（4x﹣4）lnx+2x﹣4+2x＝4（x﹣1）（lnx+1），
因为x∈[1，+∞），所以f′（x）≥0，所以f（x）为单调递增函数，
所以f（x）min＝f（1）＝1．
（Ⅱ）f′（x）＝（4x﹣4a）lnx+2x﹣4a+2x＝4（x﹣a）（lnx+1），x∈[1，+∞），
当a≤1时，f′（x）≥0，所以f（x）为单调递增函数，f（x）min＝f（1）＝1，符合题意；
当a＞1时，在[1，a）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）min＝f（a）＝（2a2﹣4a2）lna+a2＝﹣2a2lna+a2＝1，解得a＝1，与a＞1矛盾，舍去，
故实数a的取值范围为（﹣∞，1]．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当＜a≤1时，在[1，+∞）上，f（x）为单调递增函数，f（x）min＝1，
此时函数f（x）的零点个数为0；
当a＞1时，f（x）min＝f（a）＝﹣2a2lna+a2，令g（x）＝﹣2x2lnx+x2，x∈（1，+∞），
则g′（x）＝﹣4xlnx﹣2x+2x＝﹣4axlnx＜0，函数g（x）单调递减，
令g（x）＝﹣2x2lnx+x2＝0，解得x＝，
所以当x∈（1，），g（x）＞0，x＝e，g（x）＝0，x∈（，+∞），g（x）＜0，
所以当a∈（1，）时，f（x）min＞0，此时函数f（x）在[1，+∞）上的零点个数为0；
当a＝时，f（x）min＝0，此时函数f（x）在[1，+∞）上的零点个数为1；
a∈（，+∞），f（x）min＜0，此时函数f（x）在[1，+∞）上的零点个数为2．
综上，可得a∈（，）时，函数f（x）在[1，+∞）上的零点个数为0；
a＝时，函数f（x）在[1，+∞）上的零点个数为1；
a∈（，+∞），函数f（x）在[1，+∞）上的零点个数为2．