苏科版八年级数学上册期末复习第3章勾股定理 题型专项训练-（word版含答案）

苏科版八年级上册期末复习训练3：勾股定理
知识导图
专题一：勾股定理及其证明
1.如图，以直角三角形为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足图形个数有（
）
2.如图（1），这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.此图案的示意图如图（2），其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形.若EF=2，DE=8，则AB的长为
.
专题二：勾股定理的逆定理
3.一个零件的形状如图（1）所示，按规定这个零件中，∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边长如图（2）所示.
你认为这个零件符号要求吗？为什么？
求这个零件的面积.
4.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D.如果AD=6，BD=9，CD=4，那么∠BAC是直角吗？证明你的结论.
专题三：勾股定理及逆定理的简单运用
5.如图，一个上方无盖的正方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由盒外AE的中点处出发，沿着盒子表面爬行到盒内的点C处，一只正方体的棱长为4，则这只蚂蚁爬行的最短距离是
.
6.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=10，BD⊥AC于点D，且BD=8，求△ABC的面积.
随堂小练习
7.下列各组数中，是勾股数的（
）
A.
12、15、18
B.11、60、61
C.15、16、17
D.12、35、36
8.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于点M，若CM=3，则的值为（
）
36
B.
9
C.
6
D.18
9.直角三角形的两边为3和4，则该三角形的第三边为
.
10.定义：如图，点M、N把线段AB分割成三条线段AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点.若AM=1，MN=2，则BN的长为
.
11.如图，AB=13cm，AD=4cm，CD=3cm，BC=12cm，∠D=90°.求四边形ABCD的面积.
12.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上.
（1）计算的值等于
；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的长方形，使该长方形的面积等于，并简要说明画图方法.（不要求证明）
13.如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC，BD⊥AC于点D.
（1）若∠A=48°，求∠CBD的度数；
（2）若BC=15，BD=2，求AB的长.
14.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图（1）所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：.
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，
则DF=EC=，
∵
又
∴
∴
请参照上述证法，利用图（2）完成下面的证明.
将两个全等的直角三角形按图（2）所示摆放，其中∠DAB=90°.求证.
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A-C-B-A运动，设时间为t秒（t>0）.
（1）若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，当△BCP为等腰三角形时，请直接写出t的值.
专项提优特训：
类型一：利用勾股定理解决平面图形的折叠问题
1.如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好在AB边的中点C′上，若AB=6，BC=9，则BF的长为（
）.
4
B.
C.4.5
D.
5
2.如图，在长方形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为（
）.
A.
3
B.
C.
5
D.
3.为了向建国七十一周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级（1）班里开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品.陈莉同学在制作的第一、二个步骤是：
①先裁下了一张长BC=20cm，宽AB=16cm的长方形纸片ABCD；
②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处.
请你根据①②步骤解答下列问题：计算EC、FC的长.
类型二：利用勾股定理解决立体图形的展开问题
4.如图，圆柱的底面周长为24cm，高AB为5cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是（
）.
6cm
B.
12cm
C.
13cm
D.
16cm
5.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm，底边周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为
cm.
6.一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒.长方体高6cm，底面是边长为4cm的正方形，从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？
7.如图，一个长方体形状的木柜在墙角处（与墙面和底面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜脚A处沿着木柜表面爬到柜脚处.
（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
（2）当AB=4，BC=4,=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长.
参考答案
D
10
（1）∵AD=4，AB=3，BD=5，DC=13，BC=12，
∴AB?+AD?=BD?，BD?+BC?=DC?，
∴△ABD、△BDC都是直角三角形.
∴∠A=90°，∠DBC=90°.
故这个零件符合要求.
（2）这个零件的面积为
故这个零件的面积是36.
4.∠BAC是直角，证明如下：
∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°
∴AD?+BD?=AB?，AD?+CD?=AC?
∵AD=6，BD=9，CD=4，
∴AB?=117，AC?=52.
∵BC=BD+CD=13，
∴AB?+AC?=BC?
∴∠BAC=90°.
5.10
6.∵BD⊥AC
在Rt△ABD中，BD=8，BC=10，
∴CD=6.
设
则
在Rt△ABD中，AD?+BD?=AB?，
∴，解
∴.
随堂练习
B
A
5或
或
如图，连接AC，
∵AD=4cm，CD=3cm，∠ACD=90°，
∴AC=5cm，
∴cm.
在△ABC中，∵5?+12?=13?，即AC?+BC?=AB?，
∴△ABC为直角三角形，即∠ACB=90°，
∴cm?
∴cm?
故四边形ABCD的面积为24cm?.
12.（1）11
（2）如图，分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED、正方形BCNM、正方形ABHF；
延长DE交MN于点Q，连接QC至AG、BP位置，直线GP分别交AF、BH于点T、S，则四边形ABST即为所求.
13.（1）∵等腰三角形ABC中，AB=AC，BD⊥AC，
∴∠ABC=∠C，∠ADB=90°
∵∠A=48°
∴∠ABC=∠C=66°，∠ABD=42°
∴∠CBD=24°
（2）∵BD⊥AC
∴∠BDC=90°
∵BC=15，BD=12
∴CD=9
设AB=，则AD=
∵∠ADB=90°，BD=12
∴，解，即AB=
14.如图，连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=
∵
又
∴
∴
15.（1）如图（1），连接PB
∵∠ACB=90°，BC=6，AB=10
∴AC=8
∵AP=4t
∴CP=8-4t
∵PA=PB=4t
∴（4t）?=6?+（8-4t）?
∴t=.
（2）如图（2）所示，作PH⊥AB于点H，
∵点P在∠BAC的角平分线上，
∴PC=PH=4t-8，PB=14-4t，
可证△ACP≌△AHP
∴AH=AC=8
∴BH=2
∴2?+（4t-8）?=（14-4t）?∴t=
（3）t的值为.
专项提优训练：
A
B
3.因为△ADE与△AFE关于AE对称，
所以DE=FE，AD=AF.
因为BC=20cm，AB=16cm，
∴CD=16cm，AD=AF=20cm.
在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF=12cm，
所以CF=20-12=8cm
设CE=x，则DE=EF=16-x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：（16-x）?=64+x?
解得x=6.
所以EC=6cm.
故EC=6cm，CF=8cm.
4.
C
5.
15
6.如图，把长方体的面DCC′D沿棱CD展开至面ABCD上，构成矩形ABC′D′，则点A到C′的最短距离为AC′的长度.
由勾股定理得：AF′?=AD′?+D′C′?=8?+6?=100
∴AC′=10cm
即最短长度为10cm
7.（1）如图，木柜的表面展开图是两个矩形，和.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的和两种.
（2）；；，最短路径长是.