第十章
静电场中的能量复习题
（含答案解析，从简入难多层次练习题）
1．(多选)关于电势的高低，下列说法正确的是（
）
A．沿电场线方向电势逐渐降低
B．电势降低的方向一定是电场线的方向
C．正电荷在只受电场力的作用下，一定向电势低的地方运动
D．负电荷在只受电场力的作用下，由静止释放时，一定向电势高的地方运动
2．(多选)在静电场中，下列说法正确的是（
）
A．电场强度处处为零的区域内，电势也一定处处为零
B．电场强度处处相同的区域内，电势也一定处处相同
C．电场线的方向总是跟等势面垂直的
D．沿着电场线的方向，电势总是不断降低的
3.（多选）关于电势差和电场力做功的说法中，正确的是（
）
A.电势差的大小由电场力在两点间移动电荷做的功和电荷的电荷量决定
B.电场力在两点间移动电荷做功的多少由两点间的电势差和该电荷的电荷量决定
C.电势差是矢量，电场力做的功是标量
D.在匀强电场中与电场线垂直方向上任意两点的电势差为零
4.(多选)如图所示，B、C、D三点都在以点电荷＋Q为圆心的某同心圆弧上，将一试探电荷从A点分别移到B、C、D各点时，静电力做功大小比较( )
A.WAB>WAC
B.WAD>WAB
C.WAC＝WAD
D.WAB＝WAC
5.两带电小球，电荷量分别为＋q和－q，固定在一长度为l的绝缘细杆的两端，置于电场强度为E的匀强电场中．杆与场强方向平行，其位置如图1－4－10所示．若此杆绕过O点垂直于杆的轴线转过180°，则在此转动过程中电场力做的功为( )
A．0
B．qEl
C．2qEl
D．πqEl
6．（多选）一个点电荷，从静电场中a点移到b点电场力做功为零，则(
)
A．a、b两点电势一定相等
B．a、b两点电场强度一定相等
C．作用于该点电荷的电场力与其移动方向一定垂直
D．a、b两点的电势差一定为零
7.在静电场中，将一正电荷从a点移到b点，静电力做了负功，则( )
A.该电荷的电势能一定减小
B.b点的电势一定比a点高
C.电场线方向一定从b指向a
D.b点的电场强度一定比a点大
8.（多选）如图所示A、B为两等量异号电荷，A带正电，B带负电，在A、B连线上有a、b、c三点，其中b为连线的中点，ab=bc，则（
）
A.a点与c点的电场强度相同
B.a点与c点的电势相同
C.a、b间电势差与b、c间电势差相等
D.点电荷q沿A、B连线的中垂线移动，电场力不做功
9．（多选）对公式U＝Ed的理解，下列说法正确的是(
)
A．在相同的距离上的两点，其电势差相等
B．此公式适用于所有的电场中的问题
C．公式中的d是通过两点的等势面的垂直距离
D．匀强电场中，沿着电场线的方向，任何相等距离上的电势降落必定相等
10.如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点。已知A点的电势为φA＝30
V，B点的电势为φB＝－20
V，则下列说法正确的是( )
A.C点的电势φC＝5
V
B.C点的电势φC>5
V
C.C点的电势φC<5
V
D.负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能
11.
(多选)下列说法中，正确的是（
）
A.当两个正点电荷互相靠近时，它们之间的库仑力增大，它们的电势能也增大?
B.当两个负点电荷互相靠近时，它们之间的库仑力增大，它们的电势能也增大?
C.一个正点电荷与一个负点电荷互相靠近时，它们之间的库仑力增大，它们的电势能也增大?
D.一个正点电荷与一个负点电荷互相靠近时，它们之间的库仑力减小，它们的电势能也减小
12．(多选)如图所示，带正电的点电荷固定于Q点，电子在库仑力作用下，做以O为焦点的椭圆运动。M、P、N为椭圆上的三点，P点是轨道上离Q最近的点。电子在从M点经过P到达N点的过程中（ ）
A．速率先增大后减小
B．速率先减小后增大
C．电势能先减小后增大
D．电势能先增大后减小
13．(多选)A、B是一条电场线上的两点，若在A点释放一初速为零的电子，电子仅受电场力作用，并沿电场线从A运动到B，其速度随时间变化的规律如图2所示．设A、B两点的电场强度分别为EA、EB，电势分别为UA、UB，则（）
A．EA
=
EB．B．EA＜EB．
C．UA
=
UB
D．UA＜UB
．
14.（多选）图中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷。一带电粒子以一定初速度射入电场，实线为粒子仅在静电力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点。则该粒子( )
A.带负电
B.在c点受力最大
C.在b点的电势能大于在c点的电势能
D.由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化
15.(多选)两个带等量正电的点电荷，固定在图中P、Q两点，MN为PQ连线的中垂线，交PQ于O点，A为MN上的一点。一带负电的试探电荷q，从A点由静止释放，只在静电力作用下运动，取无限远处的电势为零，则( )
A.q由A向O的运动是匀加速直线运动
B.q由A向O运动的过程电势能逐渐减小
C.q运动到O点时的动能最大
D.q运动到O点时电势能为零
16.在x轴上关于原点对称的a、b两点处固定两个电荷量相等的点电荷，如图所示的E－x图像描绘了x轴上部分区域的电场强度(以x轴正方向为电场强度的正方向)。对于该电场中x轴上关于原点对称的c、d两点，下列结论正确的是( )
A.两点场强相同，c点电势更高
B.两点场强相同，d点电势更高
C.两点场强不同，两点电势相等，均比O点电势高
D.两点场强不同，两点电势相等，均比O点电势低
17.关于平行板电容器的电容，下列说法正确的是( )
A.电容器不带电时，其电容为零
B.电容器带电荷量越多，其电容越大
C.电容器两极板间电压越低，其电容越小
D.电容器的电容只由它本身的性质决定
18．(多选)某电容器上标有“1.5
μF 9
V”字样，则该电容器( )
A．所带电荷量不能超过1.5×10－6
C
B．所带电荷量不能超过1.35×10－5
C
C．所加电压不应超过9
V
D．该电容器的击穿电压为9
V
19.一平行板电容器两极板之间充满云母介质，接在恒压直流电源上。若将云母介质移出，则电容器( )
A.极板上的电荷量变大，极板间电场强度变大
B.极板上的电荷量变小，极板间电场强度变大
C.极板上的电荷量变大，极板间电场强度不变
D.极板上的电荷量变小，极板间电场强度不变
20.图中A、B、C三点都在匀强电场中，已知AC⊥BC，∠ABC＝600，BC＝20cm，把一个电荷量q＝10－5C的正电荷从A移到B，电场力做功为零；从B移到C，电场力做功为-1.73×10-3J，则该匀强电场的场强大小和方向(
)
A．865
V／m，垂直AC向左
B．865／m，垂直AB斜向下
C．1000
V／m，垂直AB斜向上
D．1000
V／m，垂直AB斜向下
21.如图所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个正六边形的六个顶点，电场方向与六边形所在平面平行．已知A、B、C三点的电势分别为1V、2V、3V，边长为cm，则下列说法中正确的是（ ）
A．A、F两点间的电势差UAF=1V
B．电场强度的方向从A指向C
C．电场强度的大小为200V/m
D．若将一电子从C点移到E点，电势能减少1eV
22.如图所示，有一带电粒子贴着A板沿水平方向射入匀强电场，当偏转电压为U1时，带电粒子沿①轨迹从两板正中间飞出；当偏转电压为U2时，带电粒子沿②轨迹落到B板中间；设粒子两次射入电场的水平速度相同，则两次偏转电压之比为( )
A.U1∶U2＝1∶8
B.U1∶U2＝1∶4
C.U1∶U2＝1∶2
D.U1∶U2＝1∶1
23.(多选)两个平行的极板与水平地面成一角度，两极板与一直流电源相连。若一带电粒子恰能沿图中所示水平直线通过电容器，则在此过程中，该粒子( )
A.所受重力与静电力平衡
B.电势能逐渐增加
C.动能逐渐增加
D.做匀变速直线运动
24.如图所示，有竖直向下的匀强电场，A、B两等势面间距离为5
cm，电势差为25
V，在电场中P点固定放置电量为5×10－9
C的负点电荷，此时电场中有一点场强为零，此点在P点的( )
A.上方30
cm
B.下方30
cm
C.上方25
cm
D.下方25
cm
25.将一个电荷量2×10-8C的点电荷，从零电势点O移到M点需克服电场力做功4×10-8J，则M点电势φM=___________；若将该电荷从M点再移至N点，电场力做功1.4×10-7J，则N点电势φN=__________，M、N两点间的电势差UMN=_____________。
26.如图所示，点电荷Q形成电场，现把一个q＝－2.0×10-8C试探电荷由无穷远处分别移到电场中的A、B、C三点，电场力做正功还是负功？若移动电荷分别做功为6.0×10-7J、4.0×10-7J、1.0×10-7J，以无穷远处为零电势点，这三点的电势分别为多少？若选择B点为零电势点，这三点的电势又分别为多少？
27．如图所示，在匀强电场中，电场线与水平方向的夹角为θ，有一质量为m、带电荷量为＋q的带电小球，用长为L的细线悬挂于O点，当小球静止时，细线OA恰好呈水平状态。(重力加速度为g)
(1)求电场强度的大小；
(2)若用外力使小球绕O点做半径为L的圆周运动沿圆弧(图中虚线)从A点运动到O点正下方的B点，求此过程中电场力对小球做的功。
28.如图所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、带电荷量为－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑，已知q?Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为，求：
(1)小球由A到B的过程中静电力做的功；
(2)A、C两点间的电势差。
29．如图所示，A、B两块带异号电荷的平行金属板间形成匀强电场，一电子以v0＝4×106
m/s的速度垂直于场强方向沿中心线由O点射入电场，从电场右侧边缘C点飞出时的速度方向与v0方向成30°的夹角．已知电子电荷量e＝1.6×10－19
C，电子质量m＝0.91×10－30
kg.求：
(1)电子在C点时的动能是多少J?
(2)O、C两点间的电势差大小是多少V?
第十章
静电场中的能量复习题
（含答案解析，从简入难多层次练习题）
1．(多选)关于电势的高低，下列说法正确的是（
）
A．沿电场线方向电势逐渐降低
B．电势降低的方向一定是电场线的方向
C．正电荷在只受电场力的作用下，一定向电势低的地方运动
D．负电荷在只受电场力的作用下，由静止释放时，一定向电势高的地方运动
AD解析：在电场中沿电场线的方向电势逐渐降低，选项A正确，电势降低的方向并不一定是电场线的方向，该方向与电场线的方向可能存在一定的角度。选项B错误。正电荷在只受电场力的作用下，受力方向是指向电势降低的方向，但是运动方向不一定是电势降低的方向。选项C错误，负电荷在只受电场力的作用下，受力方向指向电势高的方向，又有静止释放，故一定向电势高的方向运动。选项D错误。
2．(多选)在静电场中，下列说法正确的是（
）
A．电场强度处处为零的区域内，电势也一定处处为零
B．电场强度处处相同的区域内，电势也一定处处相同
C．电场线的方向总是跟等势面垂直的
D．沿着电场线的方向，电势总是不断降低的
CD
解析：电势具有相对性．零电势的选择是任意的，可以选择电场强度为零的区域的电势为零，也可以选择电场强度为零的区域的电势不为零；在匀强电场中沿电场线方向取a、b两点，，但；电场线一定跟等势面相垂直，沿电场线的方向，电势越来越低．综上分析，选项C、D正确
点评：解答此题的关键是明确电场强度的绝对性与电势的相对性
3.（多选）关于电势差和电场力做功的说法中，正确的是（
）
A.电势差的大小由电场力在两点间移动电荷做的功和电荷的电荷量决定
B.电场力在两点间移动电荷做功的多少由两点间的电势差和该电荷的电荷量决定
C.电势差是矢量，电场力做的功是标量
D.在匀强电场中与电场线垂直方向上任意两点的电势差为零
BD解析：电场中两点间电势的差值叫做电势差。对固定的电场，两点之间的电势差是固定的。因此选项A错误，选项B正确。电势差是标量，电场力做的功是标量。选项C错误。在匀强电场中，垂直电场线的直线在等势面上，因此电势差为零。选项D正确。
4.(多选)如图所示，B、C、D三点都在以点电荷＋Q为圆心的某同心圆弧上，将一试探电荷从A点分别移到B、C、D各点时，静电力做功大小比较( )
A.WAB>WAC
B.WAD>WAB
C.WAC＝WAD
D.WAB＝WAC
CD解析 点电荷的等势面为同心球面，故B、C、D三点位于同一等势面上，故UAB＝UAC＝UAD，将同一试探电荷从A点分别移到B、C、D各点，由功的计算公式W＝qU可得静电力做功相同。
5.两带电小球，电荷量分别为＋q和－q，固定在一长度为l的绝缘细杆的两端，置于电场强度为E的匀强电场中．杆与场强方向平行，其位置如图1－4－10所示．若此杆绕过O点垂直于杆的轴线转过180°，则在此转动过程中电场力做的功为( )
A．0
B．qEl
C．2qEl
D．πqEl
C解析：选C.电场力对两小球均做正功，大小与路径无关，对每个小球做功为qEl，共为2qEl.故C正确．
6．（多选）一个点电荷，从静电场中a点移到b点电场力做功为零，则(
)
A．a、b两点电势一定相等
B．a、b两点电场强度一定相等
C．作用于该点电荷的电场力与其移动方向一定垂直
D．a、b两点的电势差一定为零
AD
解析：点电荷从a点移到b点电场力做功为零。这只存在两种情况。第一，a、b两点在同一等势面上。第二，a、b两点虽然不在同一等势面上但两者的电势差为零。所以，选项A、D正确。
7.在静电场中，将一正电荷从a点移到b点，静电力做了负功，则( )
A.该电荷的电势能一定减小
B.b点的电势一定比a点高
C.电场线方向一定从b指向a
D.b点的电场强度一定比a点大
B解析 静电力做负功，电势能一定增加，A项错误；由φ＝知，正电荷在电势能越大处电势越高，B项正确；b点电势高于a点，但电场线方向不一定从b指向a，C项错误；场强大小与电势高低无关，D项错误。
8.（多选）如图所示A、B为两等量异号电荷，A带正电，B带负电，在A、B连线上有a、b、c三点，其中b为连线的中点，ab=bc，则（
）
A.a点与c点的电场强度相同
B.a点与c点的电势相同
C.a、b间电势差与b、c间电势差相等
D.点电荷q沿A、B连线的中垂线移动，电场力不做功
ACD
解析：根据等量异种电荷形成电场的特点知，两电荷连线上距离两电荷相等距离的两点，电场强度相等，选项A正确。沿着电场线的方向，电势降低，选项B错误。根据等量异种电荷形成电场的特点知，由于ab=bc，因此，a、b间电势差和b、c间电势差相等，选项C正确。等量异种点电荷形成电场，两电荷连线的中垂线是一个等势面。因此，点电荷沿中垂线移动，不做功，选项D正确。
9．（多选）对公式U＝Ed的理解，下列说法正确的是(
)
A．在相同的距离上的两点，其电势差相等
B．此公式适用于所有的电场中的问题
C．公式中的d是通过两点的等势面的垂直距离
D．匀强电场中，沿着电场线的方向，任何相等距离上的电势降落必定相等
CD
解析：此公式只适用于匀强电场，因此选项AB错误，选项CD正确。
10.如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点。已知A点的电势为φA＝30
V，B点的电势为φB＝－20
V，则下列说法正确的是( )
A.C点的电势φC＝5
V
B.C点的电势φC>5
V
C.C点的电势φC<5
V
D.负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能
C
解析 从电场线的分布情况可以看出φA－φC>φC－φB，所以有φC<5
V，C正确，A、B错误；因为负电荷在电势高的地方电势能较小，所以D错误。
11.
(多选)下列说法中，正确的是（
）
A.当两个正点电荷互相靠近时，它们之间的库仑力增大，它们的电势能也增大?
B.当两个负点电荷互相靠近时，它们之间的库仑力增大，它们的电势能也增大?
C.一个正点电荷与一个负点电荷互相靠近时，它们之间的库仑力增大，它们的电势能也增大?
D.一个正点电荷与一个负点电荷互相靠近时，它们之间的库仑力减小，它们的电势能也减小
AB
解析：无论是同号点电荷还是异号点电荷，它们靠近时库仑力均增大。因此，选项D错误。同号电荷靠近时，库仑力做负功，电势能增大。异号电荷靠近时，电场力做正功，电势能减少。因此选项C错误。选项AB正确
12．(多选)如图所示，带正电的点电荷固定于Q点，电子在库仑力作用下，做以O为焦点的椭圆运动。M、P、N为椭圆上的三点，P点是轨道上离Q最近的点。电子在从M点经过P到达N点的过程中（ ）
A．速率先增大后减小
B．速率先减小后增大
C．电势能先减小后增大
D．电势能先增大后减小
AC 解析：根据轨迹可知：电子从M到P电场力做正功，动能增加，电势能减小；电子从P到N电场力做负功，动能减小，电势能增加。故应选AC。
13．(多选)A、B是一条电场线上的两点，若在A点释放一初速为零的电子，电子仅受电场力作用，并沿电场线从A运动到B，其速度随时间变化的规律如图2所示．设A、B两点的电场强度分别为EA、EB，电势分别为UA、UB，则（）
A．EA
=
EB．B．EA＜EB．
C．UA
=
UB
D．UA＜UB
．
AD
解析：由图象可知，电子做匀加速直线运动，故该电场为匀强电场，即
EA
=
EB。电子动能增加，电势能减少，电势升高，即A＜B
提示：本题考查电势、带电粒子在电场中的运动图象。通过带电粒子在电场中的运动性质的研究是研究电场性质的常用方法。
14.（多选）图中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷。一带电粒子以一定初速度射入电场，实线为粒子仅在静电力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点。则该粒子( )
A.带负电
B.在c点受力最大
C.在b点的电势能大于在c点的电势能
D.由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化
CD解析 物体做曲线运动时，合力方向指向轨迹的凹侧，说明粒子带正电，A错误；由库仑定律F＝k知离圆心越远，粒子所受的力越小，B错误；粒子从b点到c点过程中，静电力做正功，电势能减小，C正确；点电荷的等势面与虚线重合，依题意得Uab>Ubc，又静电力做功W＝qU，则Wab>Wbc，由动能定理得粒子由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化，D正确。
15.(多选)两个带等量正电的点电荷，固定在图中P、Q两点，MN为PQ连线的中垂线，交PQ于O点，A为MN上的一点。一带负电的试探电荷q，从A点由静止释放，只在静电力作用下运动，取无限远处的电势为零，则( )
A.q由A向O的运动是匀加速直线运动
B.q由A向O运动的过程电势能逐渐减小
C.q运动到O点时的动能最大
D.q运动到O点时电势能为零
BC解析 q由A向O运动的过程中，静电力的方向始终由A指向O，但力的大小变化，所以电荷q做变加速直线运动，静电力做正功，q通过O点后在静电力的作用下做变减速运动，所以q到O点时速度最大，动能最大，电势能最小，因无限远处的电势为零，则O点的电势φ>0，所以q在O点时的电势能不为零，故选项B、C正确，A、D错误。
16.在x轴上关于原点对称的a、b两点处固定两个电荷量相等的点电荷，如图所示的E－x图像描绘了x轴上部分区域的电场强度(以x轴正方向为电场强度的正方向)。对于该电场中x轴上关于原点对称的c、d两点，下列结论正确的是( )
A.两点场强相同，c点电势更高
B.两点场强相同，d点电势更高
C.两点场强不同，两点电势相等，均比O点电势高
D.两点场强不同，两点电势相等，均比O点电势低
A解析 题图中a点左侧，b点右侧的电场都沿x轴负方向，则a点处为正电荷，b点处为负电荷，又两点电荷的电荷量相等，则c、d两点的场强相同，c点电势更高，A正确，B、C、D错误。
17.关于平行板电容器的电容，下列说法正确的是( )
A.电容器不带电时，其电容为零
B.电容器带电荷量越多，其电容越大
C.电容器两极板间电压越低，其电容越小
D.电容器的电容只由它本身的性质决定
D解析 电容器的电容与电容器是否带电、带电荷量多少以及两板间有无电压均无关，只与两极板间距、正对面积以及电介质有关，也就是说电容器的电容只由它本身的性质决定，故选项A、B、C错误，D正确。
18．(多选)某电容器上标有“1.5
μF 9
V”字样，则该电容器( )
A．所带电荷量不能超过1.5×10－6
C
B．所带电荷量不能超过1.35×10－5
C
C．所加电压不应超过9
V
D．该电容器的击穿电压为9
V
BC
解析：电容器上标出的电压为额定电压，即电容器正常工作时的电压，击穿电压大于额定电压，故C对，D错；由C＝知，Q＝CU，当电容器两极板间电压为9
V时，电容器所带的电荷量达到最大值，即Q＝1.5×10－6×9
C＝1.35×10－5
C，A错，B对．
19.一平行板电容器两极板之间充满云母介质，接在恒压直流电源上。若将云母介质移出，则电容器( )
A.极板上的电荷量变大，极板间电场强度变大
B.极板上的电荷量变小，极板间电场强度变大
C.极板上的电荷量变大，极板间电场强度不变
D.极板上的电荷量变小，极板间电场强度不变
D解析 平行板电容器电容的表达式为C＝，将极板间的云母介质移出后，导致电容器的电容C变小。由于极板间电压不变，据Q＝CU知，极板上的电荷量变小。再考虑到极板间电场强度E＝，由于U、d不变，所以极板间电场强度不变，选项D正确。
20.图中A、B、C三点都在匀强电场中，已知AC⊥BC，∠ABC＝600，BC＝20cm，把一个电荷量q＝10－5C的正电荷从A移到B，电场力做功为零；从B移到C，电场力做功为-1.73×10-3J，则该匀强电场的场强大小和方向(
)
A．865
V／m，垂直AC向左
B．865／m，垂直AB斜向下
C．1000
V／m，垂直AB斜向上
D．1000
V／m，垂直AB斜向下
D
解析：把电荷q从A移到B，电场力不做功，说明A、B两点在同一等势面上，因该电场为匀强电场，等势面应为平面，故图中直线AB即为等势线，场强方向垂直于等势面，可见，选项A、B不正确．
.B点电势比C点低173
V，因电场线指向电势降低的方向，所以场强方向必垂直于AB斜向下．场强大小，因此选项D正确，选项C错误．
21.如图所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个正六边形的六个顶点，电场方向与六边形所在平面平行．已知A、B、C三点的电势分别为1V、2V、3V，边长为cm，则下列说法中正确的是（ ）
A．A、F两点间的电势差UAF=1V
B．电场强度的方向从A指向C
C．电场强度的大小为200V/m
D．若将一电子从C点移到E点，电势能减少1eV
C解析：如图，连接AC、BE。设交点为O，根据几何知识，AC⊥BE，且O为AC中点，因在匀强电场中，所以φo==2V，所以BE为等势面，又因AF∥BE∥CD，能推出φD=3V，φF=1V。UAF=0V，A错。电场强度方向为C指向A，B错。将电子从C移动到E，电势能增加1eV，D错。根据E=U/d,及几何关系，C对。
22.如图所示，有一带电粒子贴着A板沿水平方向射入匀强电场，当偏转电压为U1时，带电粒子沿①轨迹从两板正中间飞出；当偏转电压为U2时，带电粒子沿②轨迹落到B板中间；设粒子两次射入电场的水平速度相同，则两次偏转电压之比为( )
A.U1∶U2＝1∶8
B.U1∶U2＝1∶4
C.U1∶U2＝1∶2
D.U1∶U2＝1∶1
解析 带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，水平位移为x＝v0t，两次运动的水平位移之比为2∶1，两次运动的水平速度相同，故运动时间之比为t1∶t2＝2∶1，由于竖直方向上的位移为h＝at2，h1∶h2＝1∶2，故加速度之比为1∶8，又因为加速度a＝，故两次偏转电压之比为U1∶U2＝1∶8，故A正确。
23.(多选)两个平行的极板与水平地面成一角度，两极板与一直流电源相连。若一带电粒子恰能沿图中所示水平直线通过电容器，则在此过程中，该粒子( )
A.所受重力与静电力平衡
B.电势能逐渐增加
C.动能逐渐增加
D.做匀变速直线运动
解析 带电粒子在平行板之间受到两个力的作用，一是重力mg，方向竖直向下；二是静电力F＝Eq，方向垂直于极板向上。因二力均为恒力，已知带电粒子做直线运动，所以此二力的合力一定在粒子运动的直线轨迹上，根据牛顿第二定律可知，该粒子做匀减速直线运动，选项D正确，A、C错误；从粒子运动的方向和静电力的方向可判断出，静电力对粒子做负功，粒子的电势能增加，选项B正确。
24.如图所示，有竖直向下的匀强电场，A、B两等势面间距离为5
cm，电势差为25
V，在电场中P点固定放置电量为5×10－9
C的负点电荷，此时电场中有一点场强为零，此点在P点的( )
A.上方30
cm
B.下方30
cm
C.上方25
cm
D.下方25
cm
解析 匀强电场的场强E＝＝
V/m＝500
V/m，设距P点L处的合场强为零，则k＝9×109×
V/m＝500
V/m，故L＝0.3
m，负点电荷在L处的电场竖直向上，该点在电场中P点的下方，B正确。
25.将一个电荷量2×10-8C的点电荷，从零电势点O移到M点需克服电场力做功4×10-8J，则M点电势φM=___________；若将该电荷从M点再移至N点，电场力做功1.4×10-7J，则N点电势φN=__________，M、N两点间的电势差UMN=_____________。
-2V5V
-7V
解析：根据求电势公式得：题意得()=7V.
26.如图所示，点电荷Q形成电场，现把一个q＝－2.0×10-8C试探电荷由无穷远处分别移到电场中的A、B、C三点，电场力做正功还是负功？若移动电荷分别做功为6.0×10-7J、4.0×10-7J、1.0×10-7J，以无穷远处为零电势点，这三点的电势分别为多少？若选择B点为零电势点，这三点的电势又分别为多少？
⑴负电荷受到的电场力方向与位移方向一致，故电场力做正功
⑵设无穷远处与A点的电势差为，则有==30V
而==-30V由题意=0
所以=30V
同理可得=20V
=5V
⑶因为UAB=-=（30-20）V=10V
若=0，则=UAB=10V，同理=-15V
27．如图所示，在匀强电场中，电场线与水平方向的夹角为θ，有一质量为m、带电荷量为＋q的带电小球，用长为L的细线悬挂于O点，当小球静止时，细线OA恰好呈水平状态。(重力加速度为g)
(1)求电场强度的大小；
(2)若用外力使小球绕O点做半径为L的圆周运动沿圆弧(图中虚线)从A点运动到O点正下方的B点，求此过程中电场力对小球做的功。
[解析] (1)小球静止在A点时，根据平衡方程得：
qEsin
θ－mg＝0
则匀强电场的场强为：E＝。
(2)小球沿圆弧从A运动到B的过程中，沿电场线方向发生的位移为：s＝Lcos
θ＋Lsin
θ
根据功的定义式可知，该过程中电场力做的功为：
WAB＝－qE(Lcos
θ＋Lsin
θ)
则：WAB＝－mgL(cotθ+1)
28.如图所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、带电荷量为－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑，已知q?Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为，求：
(1)小球由A到B的过程中静电力做的功；
(2)A、C两点间的电势差。
解析 (1)因为杆是光滑的，所以小球从A到B的过程中只有两个力做功：静电力做的功WAB和重力做的功mgh，
由动能定理得WAB＋mgh＝mv
代入已知条件vB＝得
WAB＝m·3gh－mgh＝mgh。
(2)因为B、C在同一等势面上，所以φB＝φC，
即UAC＝UAB＝＝－。
29．如图所示，A、B两块带异号电荷的平行金属板间形成匀强电场，一电子以v0＝4×106
m/s的速度垂直于场强方向沿中心线由O点射入电场，从电场右侧边缘C点飞出时的速度方向与v0方向成30°的夹角．已知电子电荷量e＝1.6×10－19
C，电子质量m＝0.91×10－30
kg.求：
(1)电子在C点时的动能是多少J?
(2)O、C两点间的电势差大小是多少V?
(1)9.7×10－18
J (2)15.2
V解析： (1)依据几何三角形解得：电子在C点时的速度为：
vt＝①而Ek＝mv2②联立①②得：Ek＝m2＝9.7×10－18
J.
(2)对电子从O到C，由动能定理，有eU＝mvt2－mv02③
由①③得：U＝＝15.2
V第十章
静电场中的能量
知识点整合
（含例题及扩展知识点）
目
录
目
录
1
一、电势能
2
二、电势
2
三、等势面
3
四、电势差
4
五、匀强电场电势差与电场强度的关系
5
六、两个重要推论（等分法确定等势线和电场线）
6
七、非匀强电场中电势差与电场强度关系
7
八、电场线与运动轨迹
7
九、电容器的电容
8
十、带电粒子在电场中的运动
9
十一、φ－x图像和E－x图像问题
12
一、电势能
1．电势能的变化与电场力做功的关系：WAB＝EpA－EpB。
2．电场力做功与路径无关，与电荷的起始位置和终止位置有关。
3．概念：电荷在电场中具有的势能。用Ep表示。标量。单位：J。
4．大小：电荷在某点的电势能，等于静电力把它从该点移动到零势能位置时所做的功。
5.增减判断方法
（1）做功判断法：无论正、负电荷，电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大
（2）电势判断法：正电荷在电势高的地方电势能大（同变化），负电荷在电势高的地方电势能小（反变化）
（3）能量守恒法：在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化（可理解为二者能量和是定值），动能增加，电势能减小；反之，电势能增加
二、电势
1．定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值，叫作这一点的电势。φ＝。标量。单位：V。
2.大小判断方法
(1)电场线法：沿电场线方向，电势降低
(2)电势能判断法：正电荷电势能越大，所在位置的电势越高；负电荷电势能越小，所在位置的电势越高（与上述电势能增减判断法（2）互判关系）
(3)场源电荷判断法：离场源正电荷越近的点，电势越高；离场源负电荷越近的点，电势越低
电势能和电势都具有相对性（和选取的零势能面有关），二者与电场强度E无任何直接关系(诸如：电场中电势能大（小）的点，电场强度就强（弱），电势高（低）的点电场强度就强（弱）等说法，均是错的)
1．(多选)在电场中，已知A点的电势高于B点的电势，那么
(
)
A．把负电荷从A点移到B点，电场力做负功
B．把负电荷从A点移到B点，电场力做正功
C．把正电荷从B点移到A点，电场力做负功
D．把正电荷从B点移到A点，电场力做正功
AC
解析：把正电荷从高电势移到低电势处，电场力做正功，电势降低。从低电势处移到高电势处，电场力做负功，电势升高。负电荷与正电荷正好相反。因此，选项A、C正确。
2.(多选)两个相同的负电荷和一个正电荷附近的电场线分布如图所示。c是两负电荷连线的中点，d点在正电荷的正上方，c、d到正电荷的距离相等，则( )
A.a点的电场强度比b点的大
B.a点的电势比b点的高
C.c点的电场强度比d点的大
D.c点的电势比d点的低
ACD解析 根据电场线的分布图，a、b两点中，a点的电场线较密，则a点的电场强度较大，选项A正确；沿电场线的方向电势降低，a点的电势低于b点的电势，选项B错误；由于c、d关于正电荷对称，正电荷在c、d两点产生的电场强度大小相等、方向相反；两负电荷在c点产生的电场强度为0，在d点产生的电场强度方向向下，根据电场的叠加原理，c点的电场强度比d点的大，选项C正确；c、d两点中c点离负电荷的距离更小，c点电势比d点低，选项D正确。
三、等势面
1.定义：电场中电势相等的各点构成的面。
2.等势面的特点
（1）在同一等势面上移动电荷时静电力不做功。
（2）电场线跟等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面。
（3）等差等势面越密，场强越大
（4）两个不同的等势面永不相交。
四、电势差
1.定义：电场中两点间电势的差值，也叫电压。标量。单位：V。
2.公式：电场中A点的电势为φA，B点电势为φB，则
UAB＝φA－φB；UBA=φB－φA；UAB＝－UBA
UAB为正值：A点电势比B点高；UAB为负值，A点电势比B点低
电场中两点间的电势差与电势零点的选取无关
3.静电力做功与电势差的关系
WAB＝qUAB或UAB＝
4.对电势差的说明
（1）电场中两点间的电势差，由电场本身决定，与在这两点间移动的电荷的电荷量、静电力做功的大小无关。
即，UAB大小与WAB和q无关，但，WAB大小与UAB有关
（2）使用WAB＝qUAB或UAB＝
时，要带着各物理量的正负号
1.如图中虚线所示为静电场中的等势面1、2、3、4，相邻的等势面之间的电势差相等，其中等势面3的电势为0。一带正电的点电荷在静电力的作用下运动，经过a、b点时的动能分别为26
eV和5
eV。当这一点电荷运动到某一位置，其电势能变为－8
eV时，它的动能应为( )
A.10
eV
B.20
eV
C.10
eV
D.20
eV
此题考察学生对电势能、电势增减判断方法，等势面特点、能量守恒等知识点的理解掌握情况，及综合应用能力
B解析 由图可判断b点电势高于a点电势，设各等势面间电势差为U，则由能量守恒，－2Uq＋26
eV＝Uq＋5
eV，所以Uq＝7
eV，所以，点电荷在b点的能量为7
eV＋5
eV＝12
eV，所以，当电势能为－8
eV时，动能为12
eV－(－8
eV)＝20
eV，故选项B正确。
五、匀强电场电势差与电场强度的关系
1．关系式：UAB＝Ed或E＝
2．适用条件：
(1)匀强电场；
(2)d是两点沿电场方向的距离．
3．物理意义
匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积
4．电场强度的另一种表述
电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势
5．场强的另一个单位
由E＝可导出场强的另一个单位，即伏特/米，符号为1V/m＝1
N/C
6.场强的三个表达式的比较
区别
公式
物理含义
引入过程
适用范围
说明
E＝
电场强度大小的定义式
E与F、q无关，是反映某点电场的性质
一切电场
q为试探电荷的电荷量
E＝k
真空中点电荷场强的决定式
由E＝和库仑定律导出
在真空中，场源电荷Q是点电荷
Q为场源电荷的电荷量
E＝
匀强电场中场强的计算式（关系式）
由F＝qE和W＝qU＝Fd导出
匀强电场
d为沿电场方向的距离
六、两个重要推论（等分法确定等势线和电场线）
推论1：匀强电场中的任一线段AC的中点B的电势φB=，如图甲
推论2：匀强电场中，若两线段AB∥CD，且AB=CD，则UAB=UCD
即φA-φB=φC-φD，如图乙
1.如图所示，A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，电场方向与正方形平面平行。已知A、B、C三点的电势分别为φA＝15
V、φB＝3
V、φC＝－3
V。求D点电势φD为多少？
解析 直接根据推论，在匀强电场中AB＝DC，且AB∥DC，所以UAB＝UDC，即φA－φB＝φD－φC，得φD＝9
V。
上题中，如加一问：求出电场线（场强）方向。
则需用到等分法：连接电势差最大的两点，然后通过均分这两点的电势差来找到对应其余各点在此连线上的等势点即可确定等势面，进而确定场强的方向。
连接AC并在AC连线上取M、N两点使AM＝MN＝NC，尽管AC不一定是场强方向，但可以肯定AM、MN、NC在场强方向上的投影长度相等．
由U＝Ed可知，
由此可知，＝3
V，＝9
V，B、N两点在同一等势线上。根据几何知识
不难证明MD平行于BN，即MD也为等势线，所以＝＝9
V
连接BN，即为等势面，根据等势面垂直于电场线的特点，及沿电场线方向电势降低的规律，则垂直于BN，斜向下的方向即为电场线（场强）方向
七、非匀强电场中电势差与电场强度关系
1.如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa＝50
V，φc＝20
V，则a、c连线中点b的电势φb为( )
A.等于35
V
B.大于35
V
C.小于35
V
D.等于15
V
C
解析 从电场线疏密可以看出Ea＞Eb＞Ec，由公式UAB＝Ed可以判断Uab＞Ubc，所以φb＜＝35
V。
结论，E＝在非匀强电场中的应用：当电势差U一定时，电场强度E越大，沿电场强度方向的距离d越小。即电场强度越大，等差等势面越密
八、电场线与运动轨迹
1.运动电荷的正负、电场力的方向（1、偏运动轨迹凹侧；2、与电场强度方向相同或相反）、电场强度的方向（与电场线方向相切），求任何一个，需另外两个都已知。（即知二全知，知一，另外两个无法判断）
2.F=Eq=ma，∴a=Eq/m，电场线密集，E大，同时a大
3.电场力方向与电荷运动方向夹角为锐角，则电荷做加速运动，电场力做正功，电势能减小，夹角为钝角，则电荷做减速运动，电场力做负功，电势能增加
1.(多选)如图所示，实线是一簇未标明方向的电场线，虚线是某带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点，若带电粒子在运动过程中只受到电场力作用，根据此图可以作出的正确判断是(
)
A．带电粒子所带电荷的正、负
B．带电粒子在a、b两点的受力方向
C．带电粒子在a、b两点的加速度何处较大
D．电场强度方向
BC解析：根据题仅能判断出电场力方向（偏凹侧），电场强度方向未知，所以电荷的正负无法判断，A、D错。电荷受到的电场力方向与电场线方向相同或相反，同时偏运动轨迹凹侧，所以B对。根据电场线疏密，可判断加速度大小，C对。
2.某静电场中的电场线如图所示，带电粒子在电场中仅受电场力作用，其运动轨迹如图中虚线所示，由M运动到N，以下说法正确的是(
)
A．粒子必定带负电荷
B．粒子在M点的速度小于它在N点的速度
C．电场力做负功
D．粒子在M点的加速度大于它在N点的加速度
解析：电场力方向（偏凹侧），与电场强度方向（电场线方向）相同（切），所以粒子带正电，A错。电场力方向与速度方向（M指向N的切线方向）夹角为锐角，粒子做加速运动，做正功，B对，C错。N点电场线密集，D错。
九、电容器的电容
1.电容器：彼此绝缘而又相距很近的两个导体，就构成一个电容器。可理解为“装电的容器”，像水杯。
2.电容：电容器所带的电荷量Q与电容器两极板间的电势差U的比值，公式为C＝
。单位：1
F＝106
μF＝1012pF。
表示电容器容纳电荷本领（切记，不是电荷多少）的物理量。可理解为“水杯的容积”。
电容由电容器自身的构造决定的，与所带电荷量Q和所加电压U无关。
即“水杯的容积”是固定的，与装多少水无关。且容积1L未装水的水杯，比0.5升装满水的水杯，装水本领更强。
3.电容的决定式C＝
，适用范围：平行板电容器
4.两个典型问题（U不变，Q不变问题）
C＝∝
始终连接在电源两端
充电后断开电源
U不变
Q不变
Q＝UC
∝
C
∝
U＝
∝
∝
E＝
∝
E＝
∝
5.击穿电压≠额定电压，而是大于
1.(多选)如图所示，用静电计可以测量已充电的平行板电容器两极板间的电势差U，现使B板带正电，则下列判断正确的是( )
A.增大两极板之间的距离，静电计指针张角变大
B.将A板稍微上移，静电计指针张角将变大
C.若将玻璃板插入两板之间，则静电计指针张角变大
D.若将A板拿走，则静电计指针张角变为零
AB解析 电容器上所带电荷量一定，由公式C＝知，当d变大时，C变小。再由C＝得U变大，选项A正确；当A板上移时，正对面积S变小，C也变小，U变大，选项B正确；当插入玻璃板时，C变大，U变小，选项C错误；当将A板拿走时，相当于使d变得更大，C更小，故U应更大，选项D错误。
十、带电粒子在电场中的运动
1.带电粒子的加速运动
（1）分析方法：动能定理
（2）结论：初速度为零、带电荷量为q、质量为m的带电粒子，经过电势差为U的电场加速后，获得的速度v＝
2.带电粒子的偏转
（1）进入电场的方式：以初速度v0垂直于电场线方向进入匀强电场
（2）受力特点：电场力大小恒定，且方向与初速度v0的方向垂直
（3）运动特点：做匀变速曲线运动，与力学中的抛体运动类似
（4）运动规律：进行运动分析，如图所示
→
注意区分y与d，a＝＝
可单独记
（5）常用推论
tanα＝2tanβ。α为v（出电场时的和速度）与水平的夹角；β为位移（初末位置的和位移）与水平的夹角
粒子从偏转电场中射出时，其速度反向延长线与初速度方向交于沿初速度方向分位移的中点。
（6）解题思路
带电粒子在电场中运动的问题实质上是力学问题的延续，从受力角度看带电粒子与一般物体相比多受到一个静电力；从处理方法上看仍可利用力学中的规律分析：如选用平衡条件、牛顿定律，动能定理、功能关系，能量守恒等。
1.如图所示,真空中水平放置的两个相同极板Y和Y'长为L,相距d,足够大的竖直屏与两板右侧相距b。在两板间加上可调偏转电压UYY',一束质量为m、带电荷量为+q的粒子(不计重力)从两板左侧中点A以初速度v0沿水平方向射入电场且能穿出。
(1)证明粒子飞出电场后的速度方向的反向延长线交于两板间的中心O点;
(2)求两板间所加偏转电压UYY'的范围;
(3)求粒子可能到达屏上区域的长度。
答案 (1)设粒子在运动过程中的加速度大小为a,离开偏转电场时偏转距离为y,沿电场方向的速度为vy,速度偏转角为θ,其反向延长线通过O点,O点与板右端的水平距离为x
则有y=at2
L=v0t
vy=at
tan
θ==
解得x=
即粒子飞出电场后的速度方向的反向延长线交于两板间的中心O点
(2)由题知a=
E=
解得y=
当y=时,UYY'=
则两板间所加电压的范围为
-≤UYY'≤
(3)当y=时,粒子到达屏上时竖直方向偏移的距离最大,设其大小为y0
则y0=y+b
tan
θ
又tan
θ==
解得:y0=
故粒子在屏上可能到达的区域的长度为2y0=
3、带电粒子在交变电场中的运动
1.当空间存在交变电场时，粒子所受静电力方向将随着电场方向的改变而改变，粒子的运动性质也具有周期性。
2.研究带电粒子在交变电场中的运动需要分段研究，并辅以v－t图像，特别注意带电粒子进入交变电场时的时刻及交变电场的周期。
3.带电粒子在交变电场中的运动可以是单向直线运动，也可以是往复周期性运动，与运动的开始时刻有关系，一般分析一个周期内的运动，一个周期以后重复第一个周期内的运动形式。
1.在如图所示的平行板电容器的两板A、B上分别加如图甲、乙所示的两种电压，开始B板的电势比A板高。在静电力作用下原来静止在两板中间的电子开始运动。若两板间距足够大，且不计重力，试分析电子在两种交变电压作用下的运动情况，并画出相应的v－t图像。
解析 t＝0时，B板电势比A板高，在静电力作用下，电子向B板(设为正向)做初速度为零的匀加速运动。
(1)对于题图甲，在0～T电子做初速度为零的正向匀加速直线运动，T～T电子做末速度为零的正向匀减速直线运动，然后周期性地重复前面的运动，其速度图线如图(1)所示。
(2)对于题图乙，在0～做类似(1)0～T的运动，～T电子做反向先匀加速、后匀减速、末速度为零的直线运动。然后周期性地重复前面的运动，其速度图线如图(2)所示。
十一、φ－x图像和E－x图像问题
1.φ－x图像
(1)电场强度的大小等于φ－x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ－x图线存在极值，其切线的斜率为零。场强E的方向为电势降低的方向。
(2)在φ－x图像中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。
(3)在φ－x图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断。
2.E－x图像
E的正负反映E的方向，E的数值反映电场强度E的大小，E－x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差。在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。
1.(多选)空间某一静电场的电势φ在x轴上的分布如图所示，x轴上两点B、C的电场强度在x轴方向上的分量分别是EBx、ECx，下列说法中正确的有( )
A.EBx的大小大于ECx的大小
B.EBx的方向沿x轴正方向
C.电荷在O点受到的静电力在x轴方向上的分量最大
D.负电荷沿x轴从B移到C的过程中，静电力先做正功后做负功
解析 在φ－x图像中，图线的斜率大小表示场强大小，可见EBx＞ECx，选项A正确；同理可知O点场强在x轴方向上的分量最小，电荷在该点受到的静电力在x轴方向上的分量最小，选项C错误；沿电场方向电势降低，在O点左侧，Ex的方向沿x轴负方向，在O点右侧，Ex的方向沿x轴正方向，选项B错误，D正确。
2.在x轴上关于原点对称的a、b两点处固定两个电荷量相等的点电荷，如图所示的E－x图像描绘了x轴上部分区域的电场强度(以x轴正方向为电场强度的正方向)。对于该电场中x轴上关于原点对称的c、d两点，下列结论正确的是( )
A.两点场强相同，c点电势更高
B.两点场强相同，d点电势更高
C.两点场强不同，两点电势相等，均比O点电势高
D.两点场强不同，两点电势相等，均比O点电势低
解析 题图中a点左侧，b点右侧的电场都沿x轴负方向，则a点处为正电荷，b点处为负电荷，又两点电荷的电荷量相等，则c、d两点的场强相同，c点电势更高，A正确，B、C、D错误。
