第二章
机械振动
知识点整合
（含对应的典型例题及扩展知识点）
目
录
一、弹簧振子
2
二、简谐运动
3
1.简谐运动的位移
3
2.简谐运动的回复力
3
3.简谐运动的速度
5
4.简谐运动的加速度
5
5.简谐运动的全振动
6
6.简谐运动的振幅
6
7.简谐运动周期和频率
6
8.简谐运动的能量
8
9.简谐运动的四个特征
8
10.简谐运动的表达式
10
三、单摆
11
1.单摆的回复力
11
2.摆球的受力
11
3.单摆的周期
12
四、受迫振动
共振
14
1.固有振动
14
2.阻尼振动
14
3.受迫振动
14
4.共振
14
一、弹簧振子
1.振子模型：
如图所示，如果球与杆之间的摩擦可以忽略，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，则该装置为弹簧振子。
2.平衡位置：振子原来静止时的位置。
3.机械振动：振子在平衡位置附近所做的往复运动，简称振动。
简谐运动是最简单、最基本的机械振动
匀速直线运动是最简单、最基本的机械运动
4.振动特点：振动是一种往复运动，具有周期性和往复性。
1.下列运动中属于机械振动的是（
）
A.小鸟飞走后树枝的运动
B.爆炸声引起窗子上玻璃的运动
C.匀速圆周运动
D.竖直向上抛出的物体的运动
E.人说话时声带的振动
答案：ABE
2.如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定组成一个振动系统，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，下列说法正确的是( )
A．钢球运动的最高处为平衡位置
B．钢球运动的最低处为平衡位置
C．钢球速度为零处为平衡位置
D．钢球原来静止时的位置为平衡位置
D
解析：钢球以平衡位置为中心做往复运动，在平衡位置处速度最大，故A、B、C不正确，D选项正确。
二、简谐运动
如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x－t图象)是一条正弦(或余弦)曲线，这样的振动叫作简谐运动。
1.简谐运动的位移
振动位移是从平衡位置指向振子某时刻所在位置的有向线段，方向为平衡位置指向振子所在位置，大小为平衡位置到该位置的距离。最大值等于振幅。
无论振子从什么位置开始振动,其位移总是以平衡位置为初位置。将位移方向与速度方向区分开。
如图所示，在t1时刻振子的位移为x1，2时刻的位移为x2，t4时刻为x4
2.简谐运动的回复力：振动质点受到的总能使其回到平衡位置的力。
方向：指向平衡位置
表达式：F＝-kx
式中的k不一定是弹簧的劲度系数，如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力是静摩擦力。乙、丙的k不是弹簧的劲度系数。
因此，做简谐运动的物体，其回复力特点为F＝－kx，这是判断物体是否做简谐运动的依据。
1.如图所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，当振子离开O点，再从A点运动到C点时，下列说法正确的是（
）
A.
位移大小为OC
B.
位移方向向右
C.
位移大小为AC
D.
位移方向向左
答案
AB
2.（多选）弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中( )
A．振子所受的回复力逐渐增大
B．振子的位移逐渐减小
C．振子所受的回复力逐渐减小
D．弹簧的形变量逐渐减小
BCD解析
该题考查的是回复力、加速度随位移的变化关系，应根据牛顿第二定律进行分析．当振子向平衡位置运动时，位移逐渐减小，而回复力与位移成正比，故回复力也减小．故正确答案为B、D、E.
3.简谐运动的速度
速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量。在所建立的坐标轴(也称为“一维坐标系”)上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。
4.简谐运动的加速度
根据牛二定律及简谐运动回复力特点：a＝＝－x，式中m表示振子的质量，表明振子的加速度大小与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反，只在平衡位置发生改变。
1.一水平弹簧振子做简谐运动，则下列说法中正确的是( )
A．若位移为负值，则速度一定为正值
B．振子通过平衡位置时，速度为零
C．振子每次通过平衡位置时，速度一定相同
D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同
D解析： 振子做简谐运动时，某时刻位移的方向与速度的方向可能相同，也可能相反，A、C不正确．当通过同一位置时，速度的方向不一定相同，D正确．经过平衡位置速度最大，B错．
3．如图所示，水平方向上有一弹簧振子，O点是其平衡位置，振子在a和b之间做简谐运动，关于振子下列说法正确的是( )
A．在a点时加速度最大，速度最大
B．在O点时速度最大，位移最大
C．在b点时位移最大，速度最小
D．在b点时加速度最大，速度最大
C解析：O为弹簧振子振动的平衡位置，其加速度为零，位移为零，速度最大，B错误；振子在a、b两位置，振动的位移最大，加速度最大，速度为零，故A、D错误，C正确。
5.简谐运动的全振动
振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次全振动。
正确理解全振动的概念，还应注意把握全振动的四个特征：
①物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同
②时间特征：历时一个周期
③路程特征：振幅的4倍
④相位特征：增加2π
6.简谐运动的振幅
所以不是最大位移
振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅。标量。用A表示，单位为米(m)。
振幅物理意义：描述振动范围的物理量；振幅的大小反映振动的强弱和振动系统能量的大小。
7.简谐运动周期和频率
内容
周 期
频 率
定义
做简谐运动的物体完成一次全振动所用的时间
单位时间内完成全振动的次数
单位
秒
S
赫兹
Hz
物理含义
都是表示振动快慢的物理量
联系
T＝
1．（多选）如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B，C间振动，则( )
A．从B→O→C→O→B为一次全振动
B．从O→B→O→C→B为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振动
D．OB不一定等于OC
E．B、C两点是关O点对称的
解析 O点为平衡位置，B，C为两侧最远点，则从B起经O，C，O，B的路程为振幅的4倍，即A正确；若从O起经B，O，C，B的路程为振幅的5倍，超过一次全振动，即B错误；若从C起经O，B，O，C的路程为振幅的4倍，即C正确；因弹簧振子的系统摩擦不考虑，所以它的振幅一定，即D错误，E正确．
2．（多选）关于振幅的各种说法中，正确的是( )
A．振幅是振子离开平衡位置的最大距离
B．位移是矢量，振幅是标量，位移的大小等于振幅
C．振幅等于振子运动轨迹的长度
D．振幅越大，表示振动越强
E．振幅的大小与周期无关
ADE解析 振幅是振子离开平衡位置的最大距离，是标量，在简谐运动中大小不变，而位移是变化的，故A对，B、C错；振幅越大，振动越强，但与周期无关，D、E对．
3．弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，BC相距20
cm，某时刻振子处于B点，经过0.5
s，振子首次到达C点．求：
(1)振子的振幅；
(2)振子的周期和频率；
解析 (1)设振幅为A，则有2A＝BC＝20
cm，所以A＝10
cm.
(2)从B首次到C的时间为周期的一半，因此T＝2t＝
1
s；再根据周期和频率的关系可得f＝＝1
Hz.
8.简谐运动的能量
（1）弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程
（2）在最大位移处，势能最大，动能为零
（3）在平衡位置处，动能最大，势能最小
（4）简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型
9.简谐运动的四个特征
9.1.动力学特征：F回=-kx,“-”表示回复力的方向与位移方向相反,k是比例系数,不一定是弹簧的劲度系数。F=-kx是判定一个物体是否做简谐运动的依据。
9.2.运动学特征：在简谐运动中，位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小，与速度和动能的变化步调相反。
平衡位置是位移、加速度和回复力方向变化的转折点。
9.3.运动的周期性特征：相隔nT(n为正整数)的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。
9.4.对称性特征
(1)相隔T/2或(2n+1)T/2(n为正整数)的两个时刻,振子位置关于平衡位置对称。位移、速度、加速度大小相等,方向相反。
(2)质点在距平衡位置相等距离的两个点上具有相等大小的速度、加速度,
在关于平衡位置对称相等距离上的运动时间也是相同的。
(3)经过1个周期,质点走过的路程一定为4倍振幅；经过半个周期,质点走过的路程一定为2倍振幅；但经过四分之一个周期,质点走过的路程不一定为1
倍振幅。
1.如图所示为一弹簧振子的振动图象，在A，B，C，D，E，F各时
刻中：(1)哪些时刻振子有最大动能？
(2)哪些时刻振子有相同速度？
(3)哪些时刻振子有最大势能？
(4)哪些时刻振子有相同的最大加速度？
解析 由题图知，B，D，F时刻振子在平衡位置，具有最大动能，此时振子的速率最大；A，C，E时刻振子在最大位移处，具有最大势能，此时振子的速度为0.B，F时刻振子向负方向运动，D时刻振子向正方向运动，可知D时刻与B，F时刻虽然速率相同，但方向相反．A，E两时刻振子的位移相同，C时刻振子的位移虽然大小与A，E两时刻相同，但方向相反．由回复力知识可知C时刻与A，E时刻振子受力大小相等，但方向相反，故加速度大小相等，方向相反．
答案 (1)B，D，F时刻振子有最大动能． (2)A，C，E时刻振子速度相同，B，F时刻振子速度相同．(3)A，C，E时刻振子有最大势能． (4)A，E时刻振子有相同的最大加速度．
2．（多选）关于做简谐运动物体的平衡位置，下列叙述正确的是( )
A．是回复力为零的位置
B．是回复力产生的加速度改变方向的位置
C．是速度为零的位置
D．是回复力产生的加速度为零的位置
E．是势能最大的位置
ABD
解析 平衡位置处，x＝0，则回复力F＝0，回复力产生的加速度为零，且此处速度最大势能最小，A，D正确，C、E错误．在平衡位置两边位移方向相反，回复力方向相反，对应加速度方向相反，B正确．
10.简谐运动的表达式
表达式可以写成：x＝Asin或x＝Asin(t＋φ)
表达式中各量的意义
(1)“A”表示简谐运动的振幅
(2)ω是一个与频率成正比的物理量叫简谐运动的圆频率
(3)“T”表示简谐运动的周期，“f”表示简谐运动的频率，它们之间的关系为T＝1/f
(4)“t＋φ”或“2πft＋φ”表示简谐运动的相位
(5)“φ”表示简谐运动的初相位，简称初相
用简谐运动表达式解答振动问题的方法
1．明确表达式中各物理量的意义，可直接读出振幅、圆频率、初相
2．ω＝＝2πf是解题时常涉及到的表达式
3．解题时画出其振动图象，会使解答过程简捷、明了
1.一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动．可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20
cm，周期为3.0
s．当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐．地面与甲板的高度差不超过10
cm时，游客能舒服地登船．在一个周期内，游客能舒服登船的时间是________．
解析 列出振动方程为x＝Asin
ωt(平衡位置计时，ω＝)，由于振幅为20，高度差不超过10
cm，游客能舒服地登船，代入数,20-10=20sint，解出t=0.25s，根据对称性，舒服登船时间为1.5-2
0.25=1s
三、单摆
单摆模型
如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置叫做单摆。单摆是实际摆的理想化的物理模型
1.单摆的回复力
1.1回复力的提供：摆球的重力沿切线方向的分力
回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin
θ提供的，不可误认为回复力是重力G与摆线拉力T的合力
1.2回复力的特点：
（1）摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v≠0，半径方向都受向心力
（2）摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都受回复力
（3）在偏角很小时，做简谐运动，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置
2.摆球的受力
(1)任意位置
如图所示，G2＝Gcos
θ，F－G2的作用就是提供摆球绕O′做变速圆周运动的向心力，摆球运动至最高点时，速度为0，不受向心力；G1＝Gsin
θ的作用提供摆球以O为中心做往复运动的回复力
(2)平衡位置
摆球经过平衡位置时，G2＝G，G1＝0，此时F应大于G，F－G提供向心力，因此，在平衡位置，回复力F回＝0，与G1＝0相符
3.单摆的周期
3.1公式：T＝___________.
3.2影响单摆周期的因素
（1）单摆的周期与摆长有关，摆长越长，周期越大
单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即l＝l0＋，l0为摆线长，D为摆球直径
（2）单摆的等时性：单摆的周期与振幅无关的性质
（3）重力加速度g的变化：离地面越高g越小；两极大，赤道小；受运动状态影响，如超、失重等
1．振动的单摆小球通过平衡位置时，关于小球受到的回复力、合力及加速度的说法中正确的是( )
A．回复力为零
B．合力不为零，方向指向悬点
C．合力不为零，方向沿轨迹的切线
D．回复力为零，合力也为零
E．加速度不为零，方向指向悬点
ABE解析 单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力和向心加速度，方向指向悬点(即指向圆心)．
2．关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是( )
A．摆球受重力、摆线的张力作用
B．摆球的回复力最大时，向心力为零
C．摆球的回复力为零时，向心力最大
D．摆球的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大
E．摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向
ABC解析 单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力，故A对；重力垂直于摆线的分力提供回复力．当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，则拉力小于重力，在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线指向悬点，故D、E错，B、C对．
3．如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，已知OC线长是l，下端C点系着一个小球(可视为质点且做小角度摆动)．让小球在纸面内振动，周期T＝________.让小球在垂直纸面内振动，周期T＝________.
解析 让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l，周期T＝2π；让小球在垂直纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为(l＋l)，周期T＝2π.
4.如图所示，将摆长为L的单摆放在一升降机中，若升降机以加速度a向上匀加速运动，求单摆的摆动周期
解析 单摆的平衡位置在竖直位置，若摆球相对升降机静止，则摆球受重力mg和绳拉力F，根据牛顿第二定律：F－mg＝ma，此时摆球的视重mg′＝F＝m(g＋a)，所以单摆的等效重力加速度g′＝＝g＋a，因而单摆的周期为T＝2π＝2π.
四、受迫振动
共振
1.固有振动：振动系统不受外力的作用，此时的振动叫作固有振动，其振动频率称为固有频率。
2.阻尼振动
(1)阻力作用下的振动
当振动系统受到阻力的作用时，振动受到了阻尼，系统克服阻尼的作用要做功，消耗机械能，因而振幅减小，最后停下来。
(2)阻尼振动
振幅逐渐减小的振动，振动系统受到的阻尼越大，振幅减小得越快，阻尼振动的图象如图所示，振幅越来越小，最后停止振动。
3.受迫振动
(1)驱动力：作用于振动系统的周期性的外力
(2)受迫振动：振动系统在驱动力作用下的振动
(3)受迫振动的频率：做受迫振动的系统振动稳定后，其振动频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率没有关系
4.共振
(1)定义：驱动力的频率等于振动物体的固有频率时，受迫振动的振幅最大
的现象
(2)共振曲线：如图所示，表示受迫振动的振幅A与驱动力频率f的关系图象，图中f0为振动物体的固有频率。
结论：驱动力的频率f越接近振动系统的固有频率f0，受迫振动的振幅越大，反之振幅越小
1．如图所示为受迫振动的演示装置，当单摆A振动起来后，通过水平悬绳迫使单摆B、C振动，则下列说法正确的是( )
A．只有A、C摆振动周期相等
B．A摆的振幅比B摆的小
C．B摆的振幅比C摆的小
D．A、B、C三摆的振动周期相等
E．B、C两摆振动时的振幅与其摆长有关，而周期与摆长无关．
CDE解析：当单摆A振动起来后，单摆B，C做受迫振动，做受迫振动的物体的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，选项A错误，D正确；A与C的摆动周期相同，因此频率相等，发生共振现象，C球振幅达到最大。选项B错误，选项C、E正确
2.如图,两个弹簧振子悬挂在同一支架上,已知甲弹簧振子的固有频率为8
Hz,乙弹簧振子的固有频率为72
Hz,当支架在受到竖直方向且频率为9
Hz的驱动力作用做受迫振动时,则两个弹簧振子的振动情况是( )
A.甲的振幅较大,且振动频率为8
Hz
B.甲的振幅较大,且振动频率为9
Hz
C.乙的振幅较大,且振动频率为9
Hz
D.乙的振幅较大,且振动频率为72
Hz
B解析:因为甲的固有频率接近驱动力的频率,可知甲的振幅较大。做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率,无论其固有频率是多少,此时做受迫振动的频率都等于驱动力频率9
Hz,所以B选项正确。第二章
机械振动
复习题
（含解析答案，由简入难多层次复习题）
1.光滑的水平面上放有质量分别为m和m的两木块,下方木块与一劲度系数为k的弹簧相连,弹簧的另一端固定在墙上,如图所示,已知两木块之间的最大静摩擦力为f,为使这两个木块组成的系统能像一个整体一样地振动,系统的最大振幅为( )
A.
B.
C.
D.
2.(多选)一弹簧振子做简谐运动,它所受的回复力F随时间t变化的图线为正弦曲线,如图所示,下列说法错误的是( )
A.在0~2
s时间内,弹簧振子做加速运动
B.在t1=3
s和t2=5
s时刻,弹簧振子的速度大小相等,方向相反
C.在t2=5
s和t3=7
s时刻,弹簧振子的位移大小相等,方向相同
D.在0~4
s时间内,t=2
s时刻弹簧振子所受回复力做功功率最大
3.有一弹簧振子,振幅为0.8
cm,周期为0.5
s,初始时具有负方向的最大加速度,则它的振动方程是( )
A.x=8×10-3
sin
m
B.x=8×10-3
sin
m
C.x=8×10-1
sin
m
D.x=8×10-1
sin
m
4.（多选）如图所示，弹簧上面固定一质量为m的小球，小球在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，则小球在振动过程中( )
A．小球最大动能应小于mgA
B．弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变
C．弹簧最大弹性势能等于2mgA
D．小球在最低点时的弹力大于2mg
E．小球在最低点时的弹力等于2mg
5.一个单摆，在第一个行星上的周期为T1，在第二个行星上的周期为T2，若这两个行星的质量之比为M1∶M2＝4∶1，半径之比为R1∶R2＝2∶1，则( )
A．T1∶T2＝1∶1
B．T1∶T2＝4∶1
C．T1∶T2＝2∶1
D．T1∶T2＝1∶2
6.(多选)把一个筛子用四根弹簧支起来,筛子上装一个电动偏心轮,它每转一周,给筛子一个驱动力,这就做成了一个共振筛(如图所示)。不开电动机让这个筛子自由振动时,完成20次全振动用15
s;在某电压下,电动偏心轮的转速是
88
r/min。已知增大电动偏心轮的电压可以使其转速提高,而增加筛子的总质量可以增大筛子的固有周期。为使共振筛的振幅增大,以下做法可行的是( )
A.降低输入电压
B.提高输入电压
C.增加筛子质量
D.减小筛子质量
7.(多选)一振子沿x轴做简谐运动,平衡位置在坐标原点。t=0时振子的位移为-0.1
m,t=1
s时位移为0.1
m,则( )
A.若振幅为0.1
m,振子的周期可能为
s
B.若振幅为0.1
m,振子的周期可能为
s
C.若振幅为0.2
m,振子的周期可能为4
s
D.若振幅为0.2
m,振子的周期可能为6
s
8.将秒摆的周期变为4
s,下面哪些措施是正确的
( )
A.只将摆球质量变为原来的
B.只将振幅变为原来的2倍
C.只将摆长变为原来的4倍
D.只将摆长变为原来的16倍
9.(多选)铺设铁轨时,每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙,快速运行的列车经过轨端接缝处时,车轮就会受到一次冲撞,由于每一根钢轨长度相等,所以这个冲击力是周期性的,列车受到周期性的冲击做受迫振动,普通钢轨长为12.6
m,列车固有振动周期为0.315
s,下列说法正确的是
( )
A.列车的危险速率为40
m/s
B.列车过桥需要减速,是为了防止列车发生共振现象
C.列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的
D.增加钢轨的长度有利于列车高速运行
10.如图所示,物体静止于水平面上的O点,这时弹簧恰为原长l0,物体的质量为m,与水平面间的动摩擦因数为μ,现将物体向右拉一段距离后自由释放,使之沿水平面振动,下列结论正确的是( )
A.物体通过O点时所受的合外力为零
B.物体将做阻尼振动
C.物体最终只能停止在O点
D.物体停止运动后所受的摩擦力为μmg
11．（多选）一个物体做简谐运动时，周期是T，振幅是A，那么物体( )
A．在任意内通过的路程一定等于A
B．在任意内通过的路程一定等于2A
C．在任意内通过的路程一定等于3A
D．在任意T内通过的路程一定等于4A
E．在任意T内通过的位移一定为零
12.（多选）公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板．一段时间内货物在竖直方向振动可视为简谐运动，周期为T.竖直向上为正方向，以某时刻为计时起点，其振动图象如图所示，则( )
A．t＝T时，货物对车厢底板的压力最小
B．t＝T时，货物对车厢底板的压力最小
C．t＝T时，货物对车厢底板的压力最大
D．t＝T时，货物对车厢底板的压力最小
E．t＝T时，货物所受合力为零
13.图甲为某个质点做简谐运动的x-t图象,对图乙的下列判断正确的是( )
A.图(1)可作为v-t图象
B.图(2)可作为F-t图象
C.图(3)可作为F-t图象
D.图(4)可作为a-t图象
14.用空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是( )
A．不变
B．变大
C．先变大后变小再回到原值
D．先变小后变大再回到原值
15.如图所示，在两根等长的细线下悬挂一个小球(体积可忽略)组成了所谓的双线摆，若摆线长为l，两线与天花板的左右两侧夹角均为α，当小球垂直纸面做简谐运动时，周期为( )
A．2π
B．2π
C．2π
D．2π
4．
16．一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，设振子第一次从平衡位置运动到x＝处所经历的时间为t1，第一次从最大位移处运动到x＝所经历的时间为t2，t1与t2的大小关系是________．
17.如图所示，一个质量为m的木块放在质量为M的平板小车上，它们之间的最大静摩擦力是fm，在劲度系数为k的轻质弹簧作用下，沿光滑水平面做简谐运动．为使小车能和木块一起振动，不发生相对滑动，简谐运动的振幅不能大于________.
18.如图所示，光滑的半球壳半径为R，O点在球心的正下方，一小球在距O点很近的A点由静止放开，同时在O点正上方有一小球自由落下，若运动中阻力不计，为使两球在O点相碰，求小球应从多高处自由落下(O?R)
19.一水平弹簧振子做简谐运动，则下列说法中正确的是( )
A．若位移为负值，则速度一定为正值
B．振子通过平衡位置时，速度为零
C．振子每次通过平衡位置时，速度一定相同
D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同
20.下列说法正确的是( )
A．弹簧振子的运动是简谐运动
B．简谐运动是机械运动中最基本、最简单的一种
C．简谐运动中位移的方向总是指向平衡位置
D．简谐运动中位移方向总与速度方向相反
21．如图所示，一弹簧振子在AB间做简谐运动，O为平衡位置。图(b)是该振子做简谐运动时的x－t图象。则关于振子的加速度随时间的变化规律，下列四个图象中正确的是( )
22.一简谐运动的图象如图所示，在0.1～0.15
s这段时间内
A．加速度增大，速度变小，加速度和速度的方向相同
B．加速度增大，速度变小，加速度和速度方向相反
C．加速度减小，速度变大，加速度和速度方向相同
D．加速度减小，速度变大，加速度和速度方向相反
23．（多选）振动周期指振动物体( )
A．从任何一个位置出发又回到这个位置所用的时间
B．从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用时间
C．从某一位置出发又沿同一运动方向回到这个位置所用时间
D．经历了四个振幅的时间
E．完成一次全振动的时间
24．（多选）关于振幅的各种说法中，正确的是( )
A．振幅是振子离开平衡位置的最大距离
B．位移是矢量，振幅是标量，位移的大小等于振幅
C．振幅等于振子运动轨迹的长度
D．振幅越大，表示振动越强
E．振幅的大小与周期无关
25.（多选）如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5
cm，若振子从B到C的运动时间是1
s，则下列说法正确的是( )
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是2
s
C．振幅是5
cm
D．经过两次全振动，振子通过的路程是20
cm
E．从B开始经过3
s，振子通过的路程是30
cm
26．两个简谐运动的表达式分别为x1＝4sin
4πt(cm)和x2＝2sin
2πt(cm)，它们的振幅之比、各自的频率之比是( )
A．2∶1,2∶1
B．1∶2,1∶2
C．2∶1,1∶2
D．1∶2,2∶1
27．某个质点的简谐运动图象如图所示，求振动的振幅和周期
28．（多选）简谐运动的特点是( )
A．回复力跟位移成正比且反向
B．速度跟位移成反比且反向
C．加速度跟位移成正比且反向
D．振幅跟位移成正比
E．振幅跟位移无关
29．（多选）关于简谐运动，以下说法正确的是( )
A．回复力可能是物体受到的合外力
B．回复力是根据力的作用效果命名的
C．振动中位移的方向是不变的
D．物体振动到平衡位置时所受合外力一定等于零
E．振动中振幅是不变的
30．（多选）如图所示是某一质点做简谐运动的图象，下列说法正确的是
( )
A．在第1
s内，质点速度逐渐增大
B．在第2
s内，质点速度逐渐增大
C．在第3
s内，动能转化为势能
D．在第4
s内，动能转化为势能
E．在第4
s内，加速度逐渐减小
31.如图所示,一水平弹簧振子在光滑水平面上的B、C两点间做简谐运动,O为平衡位置。已知振子由完全相同的P、Q两部分组成,彼此拴接在一起。当振子运动到B点的瞬间,将P拿走,则以后Q的运动和拿走P之前比较有( )
A.Q的振幅增大,通过O点时的速率增大
B.Q的振幅减小,通过O点时的速率减小
C.Q的振幅不变,通过O点时的速率增大
D.Q的振幅不变,通过O点时的速率减小
32.(多选)一个弹簧振子,做简谐运动的周期为T,设t1时刻振子不在平衡位置,经过一段时间到t2时刻,振子的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同,若t2-t1<,如图所示,则( )
A.t2时刻振子的加速度一定跟t1时刻大小相等、方向相反
B.在t1~t2的中间时刻,振子处在平衡位置
C.从t1到t2时间内,振子的运动方向不变
D.从t1到t2时间内,振子所受回复力的方向不变
33．（多选）下列关于单摆的说法，正确的是( )
A．单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处的位移为A(A为振幅)，从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为零
B．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合力
C．单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力
D．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零
E．摆球在最高点时的回复力等于小球受的合力
34．对于单摆的振动，以下说法中正确的是( )
A．单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等
B．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力
C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零
D．摆球经过平衡位置时所受合外力为零
35.(多选)单摆是为了研究振动而抽象出的理想化模型,其理想化条件是( )
A.摆线质量不计
B.摆线长度不伸缩
C.摆球的直径比摆线长度小得多
D.实际生活中的“秋千”就是单摆
36.下列有关单摆运动过程中的受力说法,正确的是
( )
A.单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力
B.单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力
C.单摆经过平衡位置时合力为零
D.单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力
37.(多选)下列说法正确的是( )
A.单摆的等时性是由惠更斯首先发现的
B.单摆的等时性是由伽利略首先发现的
C.惠更斯首先将单摆的等时性用于计时
D.伽利略首先发现了单摆的等时性,并把它用于计时
38.(多选)下列情况下会使单摆的周期变大的是( )
A.将摆的振幅减为原来的一半
B.将摆从高山上移到平地上
C.将摆从北极移到赤道
D.用一个装满沙子的漏斗(漏斗质量很小)和一根较长的细线做成一个单摆,摆动中沙慢慢从漏斗中漏出
39.如果存在摩擦和空气阻力,那么任何物体的机械振动严格地讲都不是简谐运动,在振动过程中振幅、周期和机械能将( )
A.振幅减小,周期减小,机械能减少
B.振幅减小,周期不变,机械能减少
C.振幅不变,周期减小,机械能减少
D.振幅不变,周期不变,机械能减少
40.(多选)关于阻尼振动,以下说法中正确的是( )
A.机械能不断减小 B.动能不断减小
C.振幅不断减小
D.一定不是简谐运动
41.如图所示,曲轴上悬挂一弹簧振子,转动摇把,曲轴可以带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把,让振子上下自由振动,测得振动频率为2
Hz,然后匀速转动摇把,转速为240
r/min,当振子振动稳定后,它的振动周期为( )
A.
1/2s B.
1/4s C.2
s D.4
s
42.(多选)下列说法中正确的是( )
A.阻尼振动一定是减幅振动
B.物体做阻尼振动时,随振幅的减小频率不断减小
C.受迫振动稳定时的频率等于驱动力的频率,与物体的固有频率无关
D.受迫振动的频率由驱动力和物体的结构特点共同决定
43．如图所示是一个单摆做受迫振动时的共振曲线，表示振幅A与驱动力的频率f的关系，下列说法不正确的是( )
A．摆长约为10
cm
B．摆长约为1
m
C．若增大摆长，共振曲线的“峰”将向右移动
D．若增大摆长，共振曲线的“峰”将向左移动
E．若减小摆长，共振曲线的“峰”将向左移动
44．某简谐振子，自由振动时的振动图象如图甲中的曲线Ⅰ所示，而在某驱动力作用下做受迫振动时，稳定后的振动图象如图甲中的曲线Ⅱ所示，那么，关于此受迫振动对应的状态下列说法正确的是( )
甲 乙
A．可能是图乙中的a点
B．可能是图乙中的b点
C．可能是图乙中的c点
D．一定不是图乙中的c点
E．一定不是图乙中的b点
解析答案
1
C
解析 质量分别为m和m的两木块作为一个整体同步振动，两者具有共同的加速度，对于m物体，当两木块之间静摩擦力达最大值时其加速度达最大值，此时两木块组成的系统其加速度也达最大值，弹簧弹力达最大值Fmax＝amax＝3f，此时系统的位移最大值为xmax＝＝
2
ABD
解析：0-2S时，回复力增大，说明振子远离平衡位置，做减速运动，A错。t1=3
s到t2=5
s过程，回复力先减小到0又增大，说明振子先衡位置，又远离，速度方向是相同的。B错。同理C对。t=2
s时刻，振子速度=0，功率P=Fv=0，D错。
3
A
初始时具有负方向的最大加速度，根据a=-kx/m，振子初始位移为正向最大，初相应为π/2
4
ACE解析
小球平衡位置时kx0＝KA=mg，x0＝A＝，平衡位置速度、动能最大。从最高点到平衡位置根据动能定理，有mgA-kA（弹力不是恒力，取平均值为K/2）＝mv2=Ekmax，A对；机械能守恒，是动能、重力势能和弹性势能之和保持不变，B错；从最高点到最低点，重力势能全部转化为弹性势能，Ep＝2mgA，最低点加速度等于最高点加速度g，据牛顿第二定律F－mg＝mg，F＝2mg，A、C、E正确．
5
A 由T＝2π
及GM＝gR2，得T＝2π
∝
，所以＝，代入数据得T1∶T2＝1∶1，选A正确
6
AD解析:筛子的固有频率为f固=
Hz=
Hz,而当时的驱动力频率为f驱=
Hz=
Hz,即f固7
AD
解析，若振幅为0.1m，t=1s=nT+T/2，T=2/2n+1,把n=1和2带入，A对，B错。写出振动表达式x=0.2sin（t+φ），带入题中第一组数据，φ=-π/6，将φ和第二组数据带入表达式。解除2π/T-π/6=π/6（或5π/6或7π/6），解得D对，C错。
8
C解析:秒摆周期为2s。单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关,A、B均错;对周期为4
s的单摆,T=2π=4
s,故l=4l0,故C对,D错。
9
AD解析:当列车受到冲击力的周期T等于列车固有的周期0.315
s时,列车车厢将会发生共振,而列车所受冲击力的周期T=?v=
m/s=40
m/s,即火车的危险速率为40
m/s,选项A正确。列车过桥时减速的目的是防止桥梁发生共振(使冲击力的频率远离桥梁振动的固有频率),而不是防止列车发生共振,选项B错。列车运行的振动频率由钢轨长度l和车速v决定,f=,而列车的固有频率是由车厢质量和车厢下面板簧的劲度系数决定的,选项C错。直接增加火车的速度,会使车速接近危险速度;若提高钢轨长度,则危险速度增大,从而使车速远离危险速度。选项D正确。
10
B解析:物体通过O点时弹簧的弹力为零,但摩擦力不一定为零,选项A错。物体振动时要克服摩擦力做功,机械能减少,振幅减小,做阻尼振动,选项B正确。物体最终停止的位置可能在O点,也可能不在O点,若停在O点,摩擦力为零,若不在O点,摩擦力和弹簧的弹力平衡,停止运动时物体所受的摩擦力不一定为μmg。选项C、D错误。
11
BDE
解析 物体做简谐运动，是变加速直线运动，在任意内通过的路程不一定等于A，故A错误；物体做简谐运动，在任意内通过的路程一定等于2A，故B正确；物体做简谐运动，在任意内通过的路程不一定等于3A，故C错误；物体做简谐运动，在一个周期内完成一次全振动，位移为零，路程为4A，故D、E正确．
12
ACE解析 要使货物对车厢底板的压力最大，则车厢底板对货物的支持力最大，则要求货物向上的加速度最大，由振动图象可知在T时，货物向上的加速度最大，则C选项正确；若货物对车厢底板的压力最小，则车厢底板对货物的支持力最小，则要求货物向下的加速度最大，由振动图象可知在时，货物向下的加速度最大，所以选项A正确，B、D错误．T时刻物体所受压力与重力等大反向，选项E正确．
13
C解析:t=0时刻,振子在平衡位置,速度最大且沿x轴的正方向,故A错。根据回复力F=-kx和牛顿第二定律,加速度和回复力总与位移方向相反,且与位移大小成正比,所以C正确。
14
C解析：单摆的周期与摆球的质量无关，但当水从球中向外流出时，等效摆长是先变长后变短，因而周期先变大后变小再回到原值，故选项C正确。
15
D 这是一个变形的单摆，可以用单摆的周期公式T＝2π
计算，但注意此处的l与题中的绳长不同，公式中的l是指质点到悬点(等效悬点)的距离，即做圆周运动的半径．此题中单摆的等效摆长为lsin
α，代入周期公式，可得T＝2π
，故选D.
16
t1＜t2解析 画出x?t图象，从图象上，我们可以很直观地看出：t1＜t2.
17
解析小车做简谐运动的回复力是木块对它的静摩擦力．当它们的位移最大时，加速度最大，受到的静摩擦力最大．为了不发生相对滑动，达到最大位移时，小车的最大加速度a＝，即系统振动的最大加速度．对整体：达到最大位移时的加速度最大，回复力k·A＝(M＋m)a，则振幅A≤.
18
(n＝1,2,3…)解析：小球由A点开始沿球内表面运动时，只受重力和支持力作用，等效为单摆的运动。因为O?R，所以小球自A点释放后做简谐运动，要使两球在O点相碰，两者到O点的运动时间相等。
小球由A点由静止释放运动到O点的时间为
(2n－1)(n＝1,2,3…)，
由于从O点正上方自由落下的小球到O的时间也为
(2n－1)时两球才能在O点相碰，所以
h＝gt2＝g(2n－1)2
＝(n＝1,2,3…)。
19
D
解析： 该题考查简谐运动中位移和速度的变化规律．振子做简谐运动时，某时刻位移的方向与速度的方向可能相同，也可能相反，A、C不正确．当通过同一位置时，速度的方向不一定相同，D正确．经过平衡位置速度最大，B错．
20
A
解析： 弹簧振子的运动就是简谐运动，它是机械振动中最基本、最简单的一种，而机械运动中最基本、最简单的一种是匀速直线运动，因此A正确，B错误．振动中位移总是相对于平衡位置而言的，而它总是从平衡位置开始，总是背离平衡位置的，所以C错误．虽然位移方向总背离平衡位置，但速度具有“双向性”，当质点远离平衡位置运动时，它与位移方向同向；质点向平衡位置运动时，它与位移方向相反，所以D错误．
21
C
解析：设弹簧劲度系数为k，位移与加速度方向相反，由牛顿第二定律得a＝－，故C正确。
22
B解析：由图象可知，在0.1～0.15
s这段时间内，位移为负且增大，表明物体远离平衡位置运动，则加速度增大，速度减小，二者方向相反。
23
CDE
解析 振动周期是振子完成一次全振动所用的时间，C、D、E正确．
24
ADE
解析 振幅是振子离开平衡位置的最大距离，是标量，在简谐运动中大小不变，而位移是变化的，故A对，B、C错；振幅越大，振动越强，但与周期无关，D、E对．
25
BCE解析 振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1
s＝2
s，振幅A＝BO＝5
cm.弹簧振子在一次全振动过程中通过的路程为4A＝20
cm，所以两次全振动中通过路程为40
cm,3
s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30
cm.故B、C、E正确，A、D错误．
26
A解析 由题意知A1＝4
cm，A2＝2
cm，ω1＝4π
rad/s，ω2＝2π
rad/s，则A1∶A2＝2∶1，f1∶f2＝ω1∶ω2＝2∶1，故A正确，B、C、D错误．
27
10
cm 8
s
解析
由题图读出振幅A＝10
cm
简谐运动方程x＝Asin(t)
代入数据－10＝10sin(×7)
得T＝8
s.
28
ACE
解析 由F＝－kx，a＝＝－，可知A，C选项正确．当位移增大时，速度减小，但位移的方向与速度方向可能相同，也可能相反，故B选项不正确．振幅与位移无关，D不正确，E选项正确．
29
ABE
解析 回复力可以是某个力，可以是某个力的分力，也可以是几个力的合力，A正确；回复力可以由重力、弹力、摩擦力等各种不同性质的力提供，其效果是使物体回到平衡位置，B正确；位移是从平衡位置指向物体所在位置，其方向是不同的，做简谐运动的物体振幅是不变的．C错误，E正确；物体振动到平衡位置时，所受回复力为零，但合外力不一定为零，D错误．
30
BCE
解析 质点在第1
s内，由平衡位置向正向最大位移处运动，做减速运动，所以选项A错误；在第2
s内，质点由正向最大位移处向平衡位置运动，做加速运动，所以选项B正确；在第3
s内，质点由平衡位置向负向最大位移处运动，动能转化为势能，所以选项C正确；在第4
s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动加速度减小，速度增大，势能转化为动能，所以选项D错误，E正确．
31
C
解析:当振子运动到B点的瞬间,振子的速度为零,此时P、Q的速度均为零,振子的动能全部转化为系统中弹簧的弹性势能,将P拿走并不影响系统的能量,故能量并不改变,因此Q的振幅不变,当振子通过O点时系统的弹性势能又全部转化为动能,拿走P之前,弹性势能转化为P、Q两个物体的动能,拿走P之后,弹性势能转化为Q一个物体的动能,故拿走P之后Q的动能比拿走P之前Q的动能大,速率也要增大。所以选C。
32
ABC
解析:由题图可知t1、t2时刻的加速度大小相等、方向相反,A正确;且在t1~t2的中间时刻,振子处于平衡位置,B正确;在t1~t2时间内,振子的运动方向都沿y轴的正方向,故运动方向不变化,C正确;从t1到t2时间内,位移方向发生了变化,振子所受回复力的方向发生了变化,D错。
33
ACE
解析 简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点，摆球在正向最大位移处时位移为A，在平衡位置时位移应为零，A正确．摆球的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，合力在摆线方向的分力提供向心力，B错误、C正确．摆球经过最低点(摆动的平衡位置)时回复力为零，但向心力不为零，所以合力不为零，加速度也不为零，D错误．在最高点时、向心力为零，合力等于回复力，E正确．
34
C
解析：单摆振动过程中受到重力和绳子拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向分力提供回复力，绳子拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为m，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，而回复力在最大偏角处最大，平衡位置处为零，故应选C。
35
ABC
解析:一根不可伸长的且没有质量的细线悬挂一大小不计的小球组成的装置,我们称作单摆,它是一个理想化模型,所谓理想化是指细线不伸缩且无质量,小球的大小不计可视为质点,故选项A、B、C正确,D错误。
36
B解析:单摆运动是在一段圆弧上运动,因此单摆运动过程不仅有回复力,而且有向心力,即单摆运动的合外力不仅要提供回复力,而且要提供向心力,故选项A错误;单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力,而不是摆线拉力的分力,故选项B正确,D错误;单摆经过平衡位置时,回复力为零,向心力最大,故其合外力不为零,所以选项C错误。
37
BC解析:首先发现单摆等时性的是伽利略,首先将单摆的等时性用于计时的是惠更斯。
38
CD
解析:将摆从北极移到赤道,g变小,由T=2π知T变大;漏斗漏沙后摆长变长,故T变大。
39
B
解析:在振动过程中,由于摩擦和空气阻力要损失机械能,所以机械能减少,振幅减小,但其周期为固有周期,只与其本身有关,与振幅无关,即周期不变,所以选项B正确。40
ACD
解析:阻尼振动是振幅不断减小的振动,故阻尼振动一定不是简谐运动,而振幅是振动能量的标志,故阻尼振动中机械能也不断减小,但动能在振动过程中是不断变化的,无法比较其大小,故正确选项为A、C、D。
40
ACD
解析:阻尼振动是振幅不断减小的振动,故阻尼振动一定不是简谐运动,而振幅是振动能量的标志,故阻尼振动中机械能也不断减小,但动能在振动过程中是不断变化的,无法比较其大小,故正确选项为A、C、D。
41
B
解析:弹簧振子做受迫振动时,其振动周期等于驱动力的周期,就等于曲轴转动的周期,故b
42
AC解析:物体做阻尼振动时,因克服阻尼做功机械能逐渐减少,振幅随之减小,选项A正确;物体做阻尼振动时,频率并不会随振幅的减小而变化,如用力敲锣,由于锣振动中受到空气的阻尼作用,振幅越来越小,锣声逐渐减弱,但音调不变,选项B错误;受迫振动稳定时的频率,只取决于驱动力的频率,与物体自身的结构特点无关,即与物体的固有频率无关,选项C正确,D错误。答案:AC
43
ACE
解析 当驱动力的频率f等于单摆的固有频率f固时，发生共振，由图可知f固＝0.5
Hz，则有2π＝＝2
s，摆长l＝1
m，选项A错误，B正确；若增大摆长，固有频率f固减小，共振曲线的“峰”将向左移动，选项C错误，D正确．同理知E错误．
44
ADE
解析 振子的固有周期与驱动力周期的关系是T驱＝T固，所以受迫振动的状态一定不是图乙中的b点和c点，可能是a点，故A、D、E正确．
