7.1 平面直角坐标系
第七章 平面直角坐标系
7.1.2 平面直角坐标系
1.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐
标等概念,认识并能画出平面直角坐标系;
2. 理解各象限内及坐标轴上点的坐标特征;(重点)
3.会用象限或坐标轴说明直角坐标系内点的位置,
能根据横、纵坐标的符号确定点的位置.(难点)
学习目标
导入新课
文字密码游戏:如图“家”字的位置记作(1,9),请你破解密码:(3,3),(5,5),(2,7),(2,2),(1,8)
(8,7),(8,8).
9
家
个
和
怎
他
是
的
去
常
8
聪
到
饿
日
一
有
啊
!
哦
7
的
我
是
发
搞
可
了
明
在
6
确
小
大
北
京
你
才
批
不
5
年
没
定
妈
,
爸
事
达
方
4
营
业
女
天
员
各
合
乎
经
3
由
于
嘿
毫
力
量
靠
孩
济
2
仍
真
击
歼
安
机
麻
生
世
1
然
往
亲
赌
东
门
密
棒
暗
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
密码是:“嘿,我真聪明!”
思考1 如图,数轴上的点A、B表示的数是什么?
表示数字4的点是哪个点?
0
1
2
3
4
-3
-2
-1
A
B
C
思考2 由思考1你发现数轴上的点与实数是什么关系?
一一对应
①数轴上的每个点都对应一个实数(这个实数叫作这个
点在数轴上的坐标);
②反过来,知道一个数,这个数在数轴上的位置就确定了.
A: -3; B:2.
点C
讲授新课
平面直角坐标系
一
思考:小丽能根据小明的提示从左图中找出图书馆的位置吗?
周末小明和小丽约好一起去图书馆学习.小明告诉小丽,图书馆在中山北路西边50米,人民西路北边30米的位置.
中山南路
人民东路
中山北路
人民西路
北
西
找一找
中山南路
人民东路
中山北路
人民西路
北
西
想一想
4.如果小明只说在“中山北路西边50米”,或只说在“人民西路北边30米”,你能找到吗?
1.小明是怎样描述图书馆的位置的?
2.小明可以省去“西边”和“北边”这几个字吗?
3.如果小明说图书馆在“中山北路西边、人民西路北边”,你能找到吗?
若将中山路与人民路看成两条互相垂直的数轴,十字路口为它们的公共原点,这样就形成了一个平面直角坐标系.
x
y
o
30
20
10
20
10
-10
-20
-30
-40
-20
-50
-10
-70
-60
-50
-40
-30
-80
(-50,
北
西
30)
人民路
中山路
3
1
4
2
5
-2
-4
-1
-3
O
y
在平面内画两条互相垂直的数轴,构成平面直角坐标系.
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
x
竖直的叫y轴或纵轴;
y轴取向上为正方向
水平的叫x轴或横轴;
x轴取向右为正方向
x轴与y轴的交点叫平面直角坐标系的原点.
平面直角坐标系中两条数轴特征:
(1)互相垂直
(2)原点重合
(3)通常取向上、向右为正方向
(4)单位长度取相同的
O
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
有了平面直角坐标系,
平面内的点就可以用一个有序数对来表示了。
x
O
练一练:下面四个图形中,是平面直角坐标系的是( )
-3 -2 -1 1 2 3
3
2
1
-1
-2
-3
y
x
x
y
(A)
3 2 1 -1 -2 -3
x
y
(B)
2
1
-1
-2
O
-3 -2 -1 1 2 3
3
2
1
-1
-2
-3
(C)
O
-3 -2 -1 1 2 3
3
2
1
-1
-2
-3
y
(D)
O
D
平面上点的表示
.
P
平面内任意一点P,
过P点分别向x、y轴作垂线,
垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做
点p的横坐标、纵坐标,
则有序数对(a,b)叫做点P的坐标。
a
b
记为P(a,b)
O
X
Y
注意:横坐标写在前,纵坐标写在后,
中间用逗号隔开.
(a,b)
坐标平面内,有序实数对与平面内的点一一对应。
(3,2)
p
y
3叫做点P的横坐标,
2叫做点P的纵坐标,
X
记作:P(3,2)
·
3
1
4
2
5
-2
-4
-1
-3
0
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
.Q
(2,3)
注意:
(a,b)是一对有序数对,横坐标在前,纵
坐标在后,中间用逗号隔开,不能颠倒。
1
1
-1
-2
-3
-4
2
3
2
3
4
5
4
-1
-2
-3
-4
-5
o
A
(4,3)
x
y
1. 找出点A的坐标.
(1)过点A作x轴的垂线,垂足在x轴上对应的数是4;
(2)过点A作y轴的垂线,垂足在y轴上对应的数是3;
点A的坐标为(4,3)
试一试
x
O
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
-1
-2
-3
y
2. 在平面直角坐标系中
找点A(3,-2)
由坐标找点的方法:
(1)先在坐标轴上找到表示横坐标与纵坐标的点;
(2)然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线;
(3)垂线的交点就是该坐标对应的点.
A
典例精析
A
B
C
E
F
D
例1:写出下图中的多边形ABCDEF各个顶点的坐标.
1
2
3
4
-1
-2
1
2
3
-1
-2
-3
【答案】
A(-2,0)
B(0,-3)
C(3,-3)
D(4,0)
E(3,3)
F(0,3)
y
O
x
在直角坐标系中描下列各点:
A(4,3),
B(-2,3),
C(-4,-1),
D(2,-2).
3
1
4
2
5
-2
-1
-3
0
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
x
y
·
B
·
A
·
D
·
C
练一练
思考:
点A(5,2)到Ax轴的距离是多少?到y轴距离是多少?
点B(-3,-4)到Ax轴距离是多少?到y轴距离是多少?
你发现了什么?
A
·
B
·
0
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
3
1
4
2
5
-2
-4
-1
-3
y
纵轴
x
横轴
(5,2)
(-2,-3)
小结:
点P(x,y)到x轴的距离为 ,
到y轴的距离为 。
因为距离是非负数,所以要加绝对值符号。
练习:
点 M(- 8,12)到x轴的距离是_______,
到y轴的距离是______ .
思考:
原点0的坐标是什么?
坐标轴上的点有什么特征?
0
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
3
1
4
2
5
-2
-4
-1
-3
y
纵轴
x
横轴
A
B
C
D
(3,0)
(-4,0)
(0,5)
(0,-4)
(0,0)
坐标轴上点有何特征?
在x轴上的点,
纵坐标等于0.
在y轴上的点,
横坐标等于0.
坐标轴上的点有何特征?
①y轴上的点横坐标为0,纵坐标为任意实数.
②x轴上的点纵坐标为0,横坐标为任意实数。
小结:
1)原点0的坐标为______.
练习:
1.(9,0)在____轴上,(-3,0)在_____轴上。
2..在y轴上的点的横坐标是______,
在x轴上的点的纵坐标是_______.
2)坐标轴上的点P(a,b)坐标的特征:
①点P在x轴上,则b为0,a为任意实数;
②点P在y轴上,则a为0,b为任意实数。
(0,0)
第2课时
象 限
-5
5
-3
-4
4
-2
3
-1
2
1
-6
6
o
X
5
-2
-3
-4
-1
3
2
4
1
6
y
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
象限:
两条坐标轴把平面分成如图所示的四个部分.
注意:坐标轴上的点不属于任何象限。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
1
x
y
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
(+,+)
(-,+)
(-,-)
(+,-)
x
y
o
-1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
A
B
C
观察:各象限内的点的坐标有何特征?
D
E
(-2,3)
(5,3)
(3,2)
(5,-4)
(-7,-5)
F
G
H
(-7,2)
(-5,-4)
(3,-5)
5
-5
-2
-3
-4
-1
3
2
4
1
-6
6
y
-5
5
-3
-4
4
-2
3
-1
2
1
-6
6
o
X
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
(+,+)
(-,+)
(-,-)
(+,-)
注意:坐标轴上的点不属于任何象限。
四个象限内点的特点:
第一象限:(+,+)
第二象限:(-,+)
第三象限:(-,-)
第四象限:(+,-)
例1:在平面直角坐标系中,描出下列各点,并指出它们分别在哪个象限. A(5,4),B(-3,4),
C (-4 ,-1),D(2,-4).
解
如图,先在x 轴上找到表示5的点,再在y 轴
上找出表示4 的点,过这两个点分别作x 轴,y 轴的垂线,垂线的交点就是点A. 类似地,其他各点的位置如图所示.点A 在第一象限,点B 在第二象限,点C在第三象限,点D在第四象限.
(5,4)
(-3,4)
(-4 ,-1)
(2,-4)
例2 设点M(a,b)为平面直角坐标系内的点.
(1)当a>0,b<0时,点M位于第几象限?
(2)当ab>0时,点M位于第几象限?
(3)当a为任意有理数,且b<0时,点M位于第几象限?
解:(1)点M在第四象限;
(2)在第一象限(a>0,b>0)或者在第三象限(a<0,b<0);
(3)在第三象限(a<0,b<0)或者第四象限(a>0,b<0)或者y轴负半轴上(a=0,b<0).
练一练
已在平面直角坐标系中,点P(m,m-2)在第一象限内,则m的取值范围是________.
解析:根据第一象限内点的坐标的符号特征,横坐标为正,纵坐标为正,可得关于m的一元一次不等式组 解得m>2.
m>2
【方法总结】求点的坐标中字母的取值范围的方法:根据各个象限内点的坐标的符号特征,列出关于字母的不等式或不等式组,解不等式或不等式组即可求出相应字母的取值范围.
例3 点A(m+3,m+1)在x轴上,则A点的坐标为( )
A.(0,-2) B.(2,0) C.(4,0) D.(0,-4)
【解析】点A(m+3,m+1)在x轴上,根据x轴上点的坐标特征知m+1=0,求出m的值代入m+3中即可.
B
【方法总结】坐标轴上的点的坐标特点:x轴上的点的纵坐标为0,y轴上的点的横坐标为0.根据点所在坐标轴确定字母取值,进而求出点的坐标.
第3课时
坐标特点
1
2
3
-3
x
-2
·
-2
-3
o
-1
y
4
2
5
3
6
1
·
·
·
·
·
·
-4
-1
4
(-4,3)
(4,3)
(-2,3)
(2,3)
(-2,-3)
(2,-3)
·
观察直角坐标系中下列各点.你能发现什么?
B
C
D
E
F
G
小结:
平行于横轴的直线上的点的纵坐标相同;
平行于纵轴的直线上的点的横坐标相同;
练习:
1.平行于横轴的直线上的点的_______相同;
平行于纵轴的直线上的点的_______相同;
2.已知平面直角坐标系内两点M(5,a),N(b,-2).
①若MN∥y轴,则a______,b____.
②若MN∥x轴,则a______,b____.
3.已知点M(3a-2,a+6),点N的坐标为(2,5)且直线MN∥x轴,求点M的坐标。
分别写出图中点A、B、C、D的坐标,
观察图形,并回答问题.
(3,2)
(3,-2)
-2
-1
4
3
2
1
-3
-4
-4
y
1
2
3
-3
-1
-2
(-3,2)
(-3,-2)
0
点A与点B的位置有什么特点?
点A与点B的坐标有什么关系?
点A与点C的位置有什么特点?
点A与点C的坐标有什么关系?
关于x轴对称的点:横坐标相同,纵坐标互为相反数.
关于y轴对称的点:纵坐标相同,横坐标互为相反数.
A
B
C
D
(3,2)
(3,-2)
-2
-1
4
3
2
1
-3
-4
-4
y
1
2
3
-3
-1
-2
(-3,2)
(-3,-2)
0
点B与点C的位置有什么特点?
点B与点C的坐标有什么关系?
关于原点对称的点:横坐标、纵坐标都互为相反数
A
B
C
D
归纳:
平面直角坐标系中的点p(x,y):
关于x轴的对称点是(x,-y);
关于y轴的对称点是(-x,y);
关于原点的对称点是p(-x,-y)。
关于x轴对称的点:横坐标相同,纵坐标互为相反数.
关于y轴对称的点:纵坐标相同,横坐标互为相反数.
关于原点对称的点:横坐标、纵坐标都互为相反数
练习:
1. 平面直角坐标系中的点p(x,y):
关于x轴的对称点是________;
关于y轴的对称点是________;
关于原点的对称点是_______。
2.点A(2,-3)关于x轴对称的点的坐标是____.
3.点B(-2,1)关于y轴对称的点的坐标是____.
4.点(4,3)与点(4,- 3)的关系是( ) .
(A)关于原点对称 (B)关于 x轴对称
(C)关于 y轴对称 (D)不能构成对称关系
5.与点P(M,-1)关于原点的对称点是P(2,n),
则m+n的值为_______.
6.若点A(n,2)与B(-3,m)关于原点对称,
则n-m的值为______.
7.在平面直角坐标系中,点P(m?+1,-2)关于x轴对称的点在第___象限;关于y轴对称的点在第____象限。
观察图形,并回答问题.
点B和点C在第二、四象限的角平分线上,
(3,-3)
-2
-1
4
3
2
1
-3
-4
-4
y
1
2
3
-3
-1
-2
(-3,3)
0
点B与点C的坐标有什么关系?
B
C
第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点;
的横、纵坐标互为相反数。
观察图形,并回答问题.
点A和点D在第二、四象限的角平分线上,
(2,2)
-2
-1
4
3
2
1
-3
-4
-4
y
1
2
3
-3
-1
-2
(-2,-2)
0
点A与点D的坐标有什么关系?
A
D
第一、三象限两坐标轴夹角平分线上的点
的横、纵坐标相等。
两坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征:
①第一、三象限两坐标轴夹角平分线上的点
的横、纵坐标相等。
②第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点
的横、纵坐标互为相反数。
练习:
1.第一、三象限两坐标轴夹角平分线上的点
的横、纵坐标______。
第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点
的横、纵坐标______。
2.已知点A(a,-2),B(-3,b)根据下列条件
求出a,b的值。
①A、B两点在二、四象限的角平分线上。
②A、B两点在一、三象限的角平分线上。
平面直角坐标系及点的坐标
定义:原点、坐标轴
课堂小结
点的坐标
定义与符号特征
点的坐标的确定
建立合适的平面直角坐标系