江西省莲塘两校2021届高三1月联考理科数学试题（含答案）

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2021届高三上学期联考
理科数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）
1．已知，，则的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知平面，直线，满足，且互为异面直线，则“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图所示是一个正方体的表面展开图，，，均为棱的中点，是顶点，则在正方体中异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知1，a，x，b，16这五个实数成等比数列，则x的值为（ ）
A．4 B．－4 C．± 4 D．不确定
已知正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3
7．若，，则（ ）
A．或0 B． C． D．0
8．定义:，用表示不超过的最大整数，则称为取整函数，例如：，，已知函数，则的值域是（ ）
A． B． C． D．
9．已知直三棱柱的底面是正三角形，，是侧面的中心，球与该三棱柱的所有面均相切，则直线被球截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，若的零点都在区间内，当取最小值时，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．在凸四边形中，,且为等边三角形，若点在四边形上运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
已知函数，现将函数的图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像。当时，记方程的根从小到大依次为，，，则等于(　　).
A． B． C． D．
二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）
13．复数的共轭复数为，则的虚部为 .
14．如右图，在等腰直角三角形中，斜边.过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；…，以此类推，设，，，…，，则_______.
15．若实数，满足不等式组，
且使取得最大值的最优解有无穷
多个,则实数的值为__________.
如上图，水平桌面上放置一个棱长为
1米的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，小孔(孔的大小不计)到的距离为0.75米，现将该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，则整个正方体水槽在水平桌面上的投影面积大小为_______平方米.
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．已知. （1）求不等式的解集；
（2）记集合，若，求实数的取值范围．
18．已知等差数列及各项为正的等比数列,记数列的前项和为，
满足，，__________.在①；②这两个条件中任选其中一个，补充在横线上，并完成下面问题的解答（如果选择多个条件解答，则以选择第一个解答记分）.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若,求数列的前项和.
19．已知函数.
（1）当时，求出函数的最大值，并写出对应的的集合；
（2）在中，角、、的对边分别为、、，若，，求的最小值.
20．如图，在四棱锥中，面ABCD，，且，，，，，N为PD的中点
（1）求证：平面PBC．
（2）若点M为线段PD上三等份点且靠近点P，
求直线CM与平面PBC所成角的余弦值.
设函数().
（1）讨论函数的单调性；
（2）若且方程,在上有两个不相等的实数根，，
求证:.
22．已知函数(其中e为自然对数的底数)．
（1）若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设n∈N*，证明：.
2021届高三上学期联考
理科数学答案
1~12CCABA BDCDC BB 13． 14． 15．2 16.
8.【详解】函数的值域是.
9．【详解】因为球与直三棱柱的所有面均相切，且直三棱柱的底面是正三角形，
所以球心为该三棱柱上、下底面三角形重心连线的中点，
如图所示，设底面三角形的重心为，连接，
则底面，连接，易知点在上，
连接、，因为是侧面的中心，所以四边形为正方形，设球的半径为，则由，
可得，易得，
连接，可得，
∴，故所求弦长为，
10.【详解】依题意,
当时，根据等比数列求和公式，有，
故函数在上为增函数.，
故函数零点在区间内，所以零点在内,即:
11.【详解】
如图所示，四边形关于直线对称，故点在四边形上运动时，只需考虑点在边上的运动情况即可，易知，则，
①当点在边上运动时，设，则，
∴，当时，的最小值为；
②当点在边上运动时，设，则，
∴，当时，的最小值为；综上，的最小值为；
【详解】由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，可得方程在区间有5个解，即，
其中，
即
解得
所以.
16.【详解】投影为:正方形和正方形在桌面上的投影,先考虑平面和平面分别与桌面所成角,所以投影面积为
17．【详解】（1）依题意，；
当时，，则，故；
当时，，则，无解；
当时，，则，故；
故或； …………………………5分
,可知，
即的值域为，
因为，所以，故实数的取值范围为 …………………………5分
18．【详解】
（1）选①解：
设等差数列的公差为，
因为，，所以，解得，，
故，
由题意可知，，，
当时，，解得，，
当时，，即，
则是一个首项为、公比为的等比数列，，…………………5分
选②解：
设等差数列的公差为，
因为，，所以，解得，，
故，，
设等比数列的公比为，
因为，所以，
因为，，所以，解得或（舍去），
故， ………………………5分
（2）
①
② ①-②得：
故． …………………………7分
19．【详解】
（1），
，所以，，
当或时，
即当时，函数取最大值； …………………………5分
（2）由题意，化简得，，，，解得.
在中，根据余弦定理，得.
由，知，即.
当时，取最小值为 .…………………………7分
20．【详解】（1）证明：过作，垂足为，则，
如图，以为坐标原点，分別以，，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，?，，，为的中点，，则，
设平面的一个法向量为，，，
则，令，解得：.
，即，
又平面，所以平面． …………………………4分
（2）由题意知.则
又平面的一个法向量,
所以直线CM与平面PBC所成角的正弦值为:，
即:直线CM与平面PBC所成角的余弦值为: ……………………8分
21．【详解】（1）
当时，恒成立,在上单调递增
当时，令得，令得
在上单调递增，在上单调递减
综上：当时，在上单调递增
当时，在上单调递增，在上单调递减. ………………4分
（2）方程即
在上有两个不等实根和不妨设
则①
② ①-②得
欲证
只需证
因为，所以,则
即需证：
整理得：, 即证
令，,显然在上单增．
所以,故原命题得证. …………………………8分
22．【详解】
若对任意，不等式恒成立,即:恒成立
当时，恒成立．
令g(x)＝－1，则g′(x)＝.
令g′(x)>0，，g′(x)<0，，0所以g(x)在(0，1)上单调递减，在上单调递增．
∴x＝1时，g(x)取最小值e－1.
所以．
当时，若,恒成立;
若,取,则显然不成立,所以
综上, …………………………6分
（2）证明 ：在（1）中，令可知对任意实数x都有，当时,取”=”
两边同量取对数得:,当时,取”=”
故:(当时,取”=”),
所以:
则:
即: ………………………6分