江西省莲塘两校2021届高三1月联考文科数学试题（含答案）

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2021届高三上学期联考
文科数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）
1．已知，，则的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知向量，，若，则实数（ ）
A．8 B． C．2 D．
3．若等差数列满足，则的前2021项之和（ ）
A．2020 B．2021 C．4040 D．4042
4．已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知1，a，x，b，16这五个实数成等比数列，则x的值为（ ）
A．4 B．－4 C．± 4 D．不确定
6．若，，则（ ）
A． B．0 C． D．或0
7．已知函数，则的值域是（ ）
A． B． C． D．
8．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知平面向量是单位向量，且.则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，若函数的零点都在区间内，当取最小值时，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．在凸四边形中，,且为等边三角形，若点在边上运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，现将函数的图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像。当时，记方程的根从小到大依次为，，，则等于(　　　)
A． B． C． D．
二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）
13．复数的共轭复数为，则的虚部为 .
14．若实数，满足不等式组，则的最大值为__________.
15．已知幂函数的图象关于原点对称，则______________．
已知数列满足，，则数列的前项和________．
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．已知.
（1）求不等式的解集；
（2）记集合，若，求实数的取值范围．
18．已知公比大于1的等比数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19．已知函数,.
（1）求出函数的最大值，并写出对应的的集合；
（2）在中，角、、的对边分别为、、，若，，求的最小值.
20．已知等差数列及各项为正的等比数列,记数列的前项和为，
满足，，__________.在①；②,从这两个条件中任选其中一个，补充在横线上，并完成下面问题的解答（如果选择多个条件解答，则以选择第一个解答记分）.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若,求数列的前项和.
21．设函数().
（1）若,求函数的极值;
（2）讨论函数的单调性.
22．已知函数 (其中e为自然对数的底数)．
（1）若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设n∈N*，证明：.
2021届高三上学期联考
文科数学答案
1~12 CDDAA BDCAC BA 13． 14．4 15． 16．
10．【详解】依题意，显然，故函数在上为增函数.，故函数零点在区间内，所以零点在内,所以.
11．【详解】由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，可得方程在区间有6个解，即，
其中，
解得,所以.
12．【详解】如图所示，四边形关于直线对称，故点在四边形上运动时，只需考虑点在边上的运动情况即可，易知，则，
当点在边上运动时，设，则，∴，
当时，的最小值为；
16.【详解】两式相减得, ，
.
17．【详解】（1）依题意，；
当时，，则，故；
当时，，则，无解；
当时，，则，故；
故或； …………………………5分
,可知，即的值域为，
因为，所以，故实数的取值范围为 .……………………5分
(注:若只通过函数图像得到值域扣1分)
【详解】（1），解得或，
． …………………5分
（2）
． ………7分
19．【详解】
（1），当时，
即当时，函数取最大值； …………………………5分
（2）由题意，化简得，，，，解得.
在中，根据余弦定理，得.
由，知，即.
当时，取最小值为. …………………………7分
20．【详解】（1）选①解：
设等差数列的公差为，
因为，，所以，解得，，
故，
当时，，即，
则是一个首项为、公比为的等比数列，; …………………………5分
选②解：
设等差数列的公差为，
因为，，所以，解得，，
故，，
设等比数列的公比为，
因为，所以，
因为，，所以，解得或（舍去），
故; …………………………5分
（2）
①
② ①-②得：
故． …………………………7分
21．【详解】（1）,求导得:
令得，在上单调递增;
令得，在上单调递减
所以当时,函数的极小值,无极大值. ………………4分
（2）
当时，恒成立,在上单调递增
当时，令得，令得
在上单调递增，在上单调递减
综上：当时，在上单调递增
当时，在上单调递增，在上单调递减. …………………8分
22．【详解】（1）若对任意，不等式恒成立,则恒成立，也即恒成立．令g(x)＝－1，
则g′(x)＝, 令g′(x)>0，，g′(x)<0，，0所以g(x)在(0，1)上单调递减，在上单调递增．
∴x＝1时，g(x)取最小值e－1.
所以． …………………………5分
（2）证明 ：在（1）中，令可知对任意实数x都有，当时,取”=”
两边同量取对数得:,当时,取”=”
故:(当时,取”=”),
所以:
则:
即: …………………………7分
2021届高三上学期联考
文科数学答案
1~12 CDDAA BDCAC BA 13． 14．4 15． 16．
10．【详解】依题意，显然，故函数在上为增函数.，故函数零点在区间内，所以零点在内,所以.
11．【详解】由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，可得方程在区间有6个解，即，
其中，
解得,所以.
12．【详解】如图所示，四边形关于直线对称，故点在四边形上运动时，只需考虑点在边上的运动情况即可，易知，则，
当点在边上运动时，设，则，∴，
当时，的最小值为；
16.【详解】两式相减得, ，
.
17．【详解】（1）依题意，；
当时，，则，故；
当时，，则，无解；
当时，，则，故；
故或； …………………………5分
,可知，即的值域为，
因为，所以，故实数的取值范围为 .……………………5分
(注:若只通过函数图像得到值域扣1分)
【详解】（1），解得或，
． …………………5分
（2）
． ………7分
19．【详解】
（1），当时，
即当时，函数取最大值； …………………………5分
（2）由题意，化简得，，，，解得.
在中，根据余弦定理，得.
由，知，即.
当时，取最小值为. …………………………7分
20．【详解】（1）选①解：
设等差数列的公差为，
因为，，所以，解得，，
故，
当时，，即，
则是一个首项为、公比为的等比数列，; …………………………5分
选②解：
设等差数列的公差为，
因为，，所以，解得，，
故，，
设等比数列的公比为，
因为，所以，
因为，，所以，解得或（舍去），
故; …………………………5分
（2）
①
② ①-②得：
故． …………………………7分
21．【详解】（1）,求导得:
令得，在上单调递增;
令得，在上单调递减
所以当时,函数的极小值,无极大值. ………………4分
（2）
当时，恒成立,在上单调递增
当时，令得，令得
在上单调递增，在上单调递减
综上：当时，在上单调递增
当时，在上单调递增，在上单调递减. …………………8分
22．【详解】（1）若对任意，不等式恒成立,则恒成立，也即恒成立．令g(x)＝－1，
则g′(x)＝, 令g′(x)>0，，g′(x)<0，，0所以g(x)在(0，1)上单调递减，在上单调递增．
∴x＝1时，g(x)取最小值e－1.
所以． …………………………5分
（2）证明 ：在（1）中，令可知对任意实数x都有，当时,取”=”
两边同量取对数得:,当时,取”=”
故:(当时,取”=”),
所以:
则:
即: …………………………7分