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专题01
集合与常用的逻辑用语（知识点串讲）
知识网络
重难点突破
知识点一
集合的概念
1．集合的有关概念
(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.
(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b?A.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)常用数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
(或N＋)
Z
Q
R
例1．（广东湛江2020年高一11月联考）下列各组对象不能构成集合的是（
）
A．大于1且小于10的实数
B．欧洲的所有国家
C．广东省的省会城市
D．早起的人
【答案】
D．
【解析】
早起的人不符合元素的确定性，不能构成集合，故选D.
【变式训练1-1】、考察下列每组对象，能组成一个集合的是
①油高高一年级聪明的学生
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点
③不小于3的正整数
④的近似值．
A．①②
B．③④
C．②③
D．①③
【答案】对于①，“某高中高一年级聪明的学生”，其中聪明没有明确的定义，故不能构成集合；
对于②，“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”，符合集合的定义，能构成集合；
对于③，“不小于3的正整数”，符合集合的定义，能构成集合；
对于④，“的近似值”，对近似的精确度没有明确定义，故不能构成集合．
综上所述，只有②③能构成集合，①④不能构成集合．故选：C．
例2．（南京师大附中2020年高一期中考试）若，则（
）
A．1
B．
C．0或1
D．0或
【答案】
B．
【变式训练2-1】、（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）若，则
．
【答案】．
【解析】由题意可知：或，故.
当时，不满足元素的互异性，故舍去；当时，符合题意.
知识点二
集合间的关系
2．集合间的基本关系
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A?B(或B?A)
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
A
B
集合相等
集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集
A＝B
(1)空集φ：任何集合的子集
(2)子集个数结论：
①含有n个元素的集合有2n个子集；
②含有n个元素的集合有2n－1个真子集；
③含有n个元素的集合有2n－2个非空真子集．
例3．（2020·全国高一）已知集合,,若,则实数m的取值范围是______.
【答案】
【解析】由可得：当,则，∴，
当,则m应满足:,解得，综上得;
∴实数m的取值范围是.故答案为:.
【变式训练3-1】、已知集合，，，，则
A．
B．M?N
C．N?M
D．M∩N=?
【思路分析】将集合M，N中的表达式形式改为一致，由N的元素都是M的元素，即可得出结论．
【答案】M＝{x|x，k∈Z}＝{x|，k∈Z}，N＝{x|x，k∈Z}＝{x|，k∈Z}，
∵k+2（k∈Z）为整数，而2k+1（k∈Z）为奇数，∴集合M、N的关系为N?M．故选：C．
例4．（2019·浙江省温州中学高一月考）已知集合，若，则______；的子集有______个.
【答案】0或
8
【解析】∵集合，，∴或，解得或.
的子集有个.故答案为：0或，8.
【变式训练4-1】、若集合，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．，
【解析】∵A＝{x|x2﹣2x+m＝0}＝?，∴方程x2﹣2x+m＝0无解，即△＝4﹣4m＜0，
解得：m＞1，则实数m的范围为（1，+∞），故选：C．
【点睛】此题考查了空集的定义，性质及运算，熟练掌握空集的意义是解本题的关键．
知识点三
集合的基本运算
3．集合间的基本运算
如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为
，全集通常用字母
表示；
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
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符号
A∪B＝
A∩B＝
?UA＝
(1)．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B
.[]
(2)．奇数集：.
(3).
德?摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即；
②交集的补集等于补集的并集，即．
例5.（河南省金太阳2020年高一期中联考）已知全集为，集合，，，下列韦恩图中的阴影部分能表示集合的是（
）
【答案】
B.
【解析】
由集合，，知，故选B.
例6.（成都七中2020年高一上期半期考试）已知集合,，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C.
【解析】
由题意得，,,∴,故选C.
【变式训练6-1】、（成都七中2020年高一上期半期考试）已知集合，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】
（1）；（2）.
【解析】
（1）集合.又，由可知：且.
解得，满足条件.
（2）法1：，.要使得，且解得，
实数的取值范围为.
法2：由，，且，即实数的取值范围为.
【变式训练6-2】、（河南省金太阳2020年高一期中联考）已知集合，集合，集合.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）因为，，则，∴.
（2）因为，所以，
①若，则，即；
②若，则，即.
综上，的取值范围为.
知识点四
充分条件与必要条件
1、充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p?q且q?p
p是q的必要不充分条件
p?q且q?p
p是q的充要条件
p?q
p是q的既不充分也不必要条件
p?q且q?p
2、若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A?B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．
①若AB，则p是q的充分不必要条件；
②若A?B，则p是q的必要条件；
③若AB，则p是q的必要不充分条件；
④若A＝B，则p是q的充要条件；
⑤若A?B且A?B，则p是q的既不充分也不必要条件．
例7、（2019年高考天津理数）设，则“”是“”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由可得，由可得，
易知由推不出，由能推出，
故是的必要而不充分条件，
即“”是“”的必要而不充分条件.故选B.
例8、“”是“”的（
）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】．A
【解析】由“”显然能推出“”，故条件是充分的；
又由“”可得，所以条件也是必要的；故选A．
【变式训练8-1】、（2020·全国高一单元测试）已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）或；（2）
【解析】（1）∵当时，，或，
∴或；
（2）∵或，∴，
由“”是“”的充分不必要条件得A是的真子集，且，
又，∴，∴．
知识点五
全称量词与存在量词
1．全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“?”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“?”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：?x∈M，p(x)．
(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：?x0∈M，p(x0)．
2．含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：
(1)全称量词命题p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)；
(2)存在量词命题p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
命题
命题的否定
?x∈M，p(x)
?x0∈M，p(x0)
例9．（1）（2019·内蒙古集宁一中高三月考）命题“存在实数x,，使x
>
1”的否定是（
）
A．对任意实数x,
都有x
>
1
B．不存在实数x，使x1
C．对任意实数x,
都有x1
D．存在实数x，使x1
【答案】C
【解析】特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词．
∵命题“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”故选C．
（2）．（2019·全国高一课时练习）（多选）下列存在量词命题中，是真命题的是（
）．
A．，
B．至少有一个，使能同时被2和3整除
C．，
D．有些自然数是偶数
【答案】ABD
【解析】A中，时，满足，所以A是真命题；
B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；
C中，因为所有实数的绝对值非负，即，所以C是假命题．故选：ABD．
【变式训练9-1】、（2020·沈阳二中北校高三模拟）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是．故选B．
【变式训练9-2】、
已知命题“?x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】由“?x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋a>0对任意实数x恒成立．设f(x)＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方．故Δ＝25－4×a<0，
解得a>，即实数a的取值范围为.
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精品试卷·第
2
页
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集合与常用的逻辑用语（知识点串讲）
知识网络
重难点突破
知识点一
集合的概念
1．集合的有关概念
(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.
(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b?A.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)常用数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
(或N＋)
Z
Q
R
例1．（广东湛江2020年高一11月联考）下列各组对象不能构成集合的是（
）
A．大于1且小于10的实数
B．欧洲的所有国家
C．广东省的省会城市
D．早起的人
【变式训练1-1】、考察下列每组对象，能组成一个集合的是
①油高高一年级聪明的学生
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点
③不小于3的正整数
④的近似值．
A．①②
B．③④
C．②③
D．①③
例2．（南京师大附中2020年高一期中考试）若，则（
）
A．1
B．
C．0或1
D．0或
【变式训练2-1】、（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）若，则
．
知识点二
集合间的关系
2．集合间的基本关系
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A?B(或B?A)
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
A
B
集合相等
集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集
A＝B
(1)空集φ：任何集合的子集
(2)子集个数结论：
①含有n个元素的集合有2n个子集；
②含有n个元素的集合有2n－1个真子集；
③含有n个元素的集合有2n－2个非空真子集．
例3．（2020·全国高一）已知集合,,若,则实数m的取值范围是______.
【变式训练3-1】、已知集合，，，，则
A．
B．M?N
C．N?M
D．M∩N=?
例4．（2019·浙江省温州中学高一月考）已知集合，若，则______；的子集有______个.
【变式训练4-1】、若集合，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．，
知识点三
集合的基本运算
3．集合间的基本运算
如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为
，全集通常用字母
表示；
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
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符号
A∪B＝
A∩B＝
?UA＝
(1)．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B
.[]
(2)．奇数集：.
(3).
德?摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即；
②交集的补集等于补集的并集，即．
例5.（河南省金太阳2020年高一期中联考）已知全集为，集合，，，下列韦恩图中的阴影部分能表示集合的是（
）
例6.（成都七中2020年高一上期半期考试）已知集合,，则（
）
A.
B.
C.
D.
【变式训练6-1】、（成都七中2020年高一上期半期考试）已知集合，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
【变式训练6-2】、（河南省金太阳2020年高一期中联考）已知集合，集合，集合.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
知识点四
充分条件与必要条件
1、充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p?q且q?p
p是q的必要不充分条件
p?q且q?p
p是q的充要条件
p?q
p是q的既不充分也不必要条件
p?q且q?p
2、若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A?B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．
①若AB，则p是q的充分不必要条件；
②若A?B，则p是q的必要条件；
③若AB，则p是q的必要不充分条件；
④若A＝B，则p是q的充要条件；
⑤若A?B且A?B，则p是q的既不充分也不必要条件．
例7、（2019年高考天津理数）设，则“”是“”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
例8、“”是“”的（
）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练8-1】、（2020·全国高一单元测试）已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
知识点五
全称量词与存在量词
1．全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“?”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“?”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：?x∈M，p(x)．
(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：?x0∈M，p(x0)．
2．含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：
(1)全称量词命题p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)；
(2)存在量词命题p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
命题
命题的否定
?x∈M，p(x)
?x0∈M，p(x0)
例9．（1）（2019·内蒙古集宁一中高三月考）命题“存在实数x,，使x
>
1”的否定是（
）
A．对任意实数x,
都有x
>
1
B．不存在实数x，使x1
C．对任意实数x,
都有x1
D．存在实数x，使x1
（2）．（2019·全国高一课时练习）（多选）下列存在量词命题中，是真命题的是（
）．
A．，
B．至少有一个，使能同时被2和3整除
C．，
D．有些自然数是偶数
【变式训练9-1】、（2020·沈阳二中北校高三模拟）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
【变式训练9-2】、
已知命题“?x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是________．
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精品试卷·第
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