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专题02
一元二次方程、函数与不等式（知识点串讲）
知识网络
重难点突破
知识点一
等式的性质与不等式的性质
(1)对称性：a＞b?b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c.
(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc.
(5)加法法则：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.
(7)乘方法则：a＞b＞0?an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．
例1．（1）（2018·全国高一专题练习）若，则下列不等式错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2）（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））已知，那么下列不等式中成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
（3）．（2020·齐齐哈尔市朝鲜族学校高一期中）若，则下列不等式不能成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-1】、（2020·浙江高一课时练习）设，则的大小关系为（
）．
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2】、（多选题）（2020·山东新泰
泰安一中高二期中）如果，那么下列不等式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
知识点二
基本不等式
1、基本不等式(或)均值不等式
2、基本不等式的变形与拓展
(1)若,则；
(2)若,则（当且仅当时取“=”）．
(3)若,则；
(4)若,则（当且仅当时取“=”）；
(5)若,则（当且仅当时取“=”）．
(6)若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
(7)若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
(8)一个重要的不等式链：．
例2.（1）（2020·贵州省高二学业考试）已知，若，则的最小值为（
）
A．3
B．2
C．
D．1
（2）函数的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．1
【变式训练1-1】．（1）（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知，函数的最小值是（
）
A．4
B．5
C．8
D．6
（2）设若的最小值为（
）
A
8
B
4
C
1
D
（3）．（2020·吉林省长春市实验中学高一月考（理））已知，，，则的最大值为（
）
A．1
B．
C．
D．
【变式训练2-2】（1）．（2020·浙江省高一期中）已知正数a，b满足a+b=1，则的最小值等于__________
，此时a=____________.
（2）．（2019·全国高一课时练习）正实数，满足，则的(
)
A．最小值为
B．最大值为
C．最小值为3
D．最大值为3
（3）．（2019·全国高一课时练习）函数的最小值为
（
）
A.3
B.2
C.
D.
知识点三
二次函数与一元二次方程、不等式
1.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2.三个“二次”的关系
设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解不等式y＞0或y＜0的步骤
求方程y＝0的解
有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
不等式解集
y＞0
{x|x＜x1_或x＞x2}
R
y＜0
{x|x1＜x＜x2}
?
?
3.（1）不等式的解集为R(或恒成立)的条件
不等式
ax2＋bx＋c>0
ax2＋bx＋c<0
a＝0
b＝0，c>0
b＝0，c<0
a≠0
(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
设二次函数y＝ax2＋bx＋c
若ax2＋bx＋c≤k恒成立?ymax≤k
例3. 解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3>0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2<0.
【变式训练3-1】．（2020·河南省高三其他（理））关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
例4．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是( )
A．a>0
B．b>0
C．c>0
D．a＋b＋c>0
【变式训练4-1】．解关于x的不等式56x2＋ax－a2<0.
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一元二次方程、函数与不等式（知识点串讲）
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重难点突破
知识点一
等式的性质与不等式的性质
(1)对称性：a＞b?b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c.
(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc.
(5)加法法则：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.
(7)乘方法则：a＞b＞0?an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．
例1．（1）（2018·全国高一专题练习）若，则下列不等式错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵，∴，故A对；
∵，∴，，∴，故B错；
∵，∴，即，∴，故C对；
∵，∴，∴，即，故D对；故选B．
（2）（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））已知，那么下列不等式中成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由不等式的性质可知，若，则：
，，，
.故选：C.
（3）．（2020·齐齐哈尔市朝鲜族学校高一期中）若，则下列不等式不能成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
选项A：由于，即，，所以，所以，所以成立；
选项B：由于，即，所以，所以，所以不成立；
选项C：由于，所以，所以，所以成立；
选项D：由于，所以，所以，所以，所以成立.
故选：B.
【变式训练1-1】、（2020·浙江高一课时练习）设，则的大小关系为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，，，，.又，故．综上可得：．
故选：.
【变式训练1-2】、（多选题）（2020·山东新泰
泰安一中高二期中）如果，那么下列不等式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】
A.
，故错误；
B.
，当时，，故错误；
C.
，故正确；
D.
，，故正确.
故选CD.
知识点二
基本不等式
1、基本不等式(或)均值不等式
2、基本不等式的变形与拓展
(1)若,则；
(2)若,则（当且仅当时取“=”）．
(3)若,则；
(4)若,则（当且仅当时取“=”）；
(5)若,则（当且仅当时取“=”）．
(6)若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
(7)若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
(8)一个重要的不等式链：．
例2.（1）（2020·贵州省高二学业考试）已知，若，则的最小值为（
）
A．3
B．2
C．
D．1
【答案】C
【解析】由于，，所以，当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.故选：C
（2）函数的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】（当且仅，即时取等号）。故选B。
【变式训练1-1】．（1）（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知，函数的最小值是（
）
A．4
B．5
C．8
D．6
【答案】A
【解析】由题意可得，满足运用基本不等式的条件——一正，二定，三相等，所以，故选A
（2）设若的最小值为（
）
A
8
B
4
C
1
D
【答案】B
【解析】选B.
因为，所以，
，
当且仅当即时“=”成立，故选择B.
（3）．（2020·吉林省长春市实验中学高一月考（理））已知，，，则的最大值为（
）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为，，，所以有，
当且仅当时取等号，故本题选D.
【变式训练2-2】（1）．（2020·浙江省高一期中）已知正数a，b满足a+b=1，则的最小值等于__________
，此时a=____________.
【答案】3
【解析】根据题意，正数a、b满足，则，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为3，此时.故答案为：3；.
（2）．（2019·全国高一课时练习）正实数，满足，则的(
)
A．最小值为
B．最大值为
C．最小值为3
D．最大值为3
【答案】A
【解析】，
所以的最小值为，
故选:A.
（3）．（2019·全国高一课时练习）函数的最小值为
（
）
A.3
B.2
C.
D.
【答案】A
【解析】，则，，当时取“=”，所以正确选项为A。
知识点三
二次函数与一元二次方程、不等式
1.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2.三个“二次”的关系
设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解不等式y＞0或y＜0的步骤
求方程y＝0的解
有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
不等式解集
y＞0
{x|x＜x1_或x＞x2}
R
y＜0
{x|x1＜x＜x2}
?
?
3.（1）不等式的解集为R(或恒成立)的条件
不等式
ax2＋bx＋c>0
ax2＋bx＋c<0
a＝0
b＝0，c>0
b＝0，c<0
a≠0
(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
设二次函数y＝ax2＋bx＋c
若ax2＋bx＋c≤k恒成立?ymax≤k
例3. 解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3>0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2<0.
【答案】(1).
(2)
(3)R
【解析】(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为2≤0，所以原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.
【变式训练3-1】．（2020·河南省高三其他（理））关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题可知是不等式的解集的一个真子集.
当时，不等式的解集为，此时；
当时，不等式的解集为，
，合乎题意；
当时，不等式的解集为，
由题意可得，此时.综上所述，.故选：D.
例4．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是( )
A．a>0
B．b>0
C．c>0
D．a＋b＋c>0
【答案】BCD
【解析】因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，故相应的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a<0，故A错误；易知2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝－1<0，－＝>0，又a<0，故b>0，c>0，故B、C正确；由二次函数的图象可知f(1)＝a＋b＋c>0，故D正确．故选B、C、D.
【变式训练4-1】．解关于x的不等式56x2＋ax－a2<0.
【解析】原不等式可化为，
即，
①当即时，；
②当时，即时，原不等式的解集为；
③当即时，，
综上知：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
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