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专题03
函数的概念与性质（知识点串讲）
知识网络
重难点突破
知识点一
函数的概念与分段函数
1．函数与映射的相关概念
(1)函数与映射的概念
函数
映射
两个集合A、B
设A、B是两个非空数集
设A、B是两个非空集合
对应关系
按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
f：A→B
注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(3)构成函数的三要素
函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
(4)函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
①解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
②列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
③图象法：注意定义域对图象的影响.
例1.（河南省金太阳2020年高一期中联考）若函数，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
【变式训练1-1】、（2012·全国高一课时练习）设集合，，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2】、（2020·全国高一）已知函数，若，则实数之值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
知识点二
函数的三要素
1．函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).
(7)y＝tanx的定义域为.
2．函数的解析式
(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.
(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.
3．函数的值域
函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：
(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.
(2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(?∞，0)∪(0，＋∞)．
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，
当a>0时，二次函数的值域为；
当a<0时，二次函数的值域为.
求二次函数的值域时，应掌握配方法：.
(4)y＝sinx的值域为[?1,1]．
例2.若函数的定义域是[0，4]，则函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-1】、（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为(
)
A．
B．
C．
D．
例3．（2020·全国高一）设函数，满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-1】.（2020·河北衡水中学调研）已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
例4．（2019·东台创新高级中学高三月考）函数的值域是
_____.
【变式训练4-1】、（成都七中2020年高一上期半期考试）已知函数，，若在
区间上的最大值为3，则_______．
知识点三
函数的单调性
1、函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2、函数的最值
前提
设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件
（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得
（3）对于任意的，都有；（4）存在，使得
结论
为最大值
为最小值
注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；
（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.
3、函数单调性的常用结论
（1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数；
（2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；
（3）函数在公共定义域内与，的单调性相反；
（4）函数在公共定义域内与的单调性相同；
（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；
（6）一些重要函数的单调性：
①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减；
②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．
例5.（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）下列函数在上为增函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-1】、（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）已知函数满足对于任意的，都有成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-2】、.（河南省金太阳2020年高一期中联考）已知函数.
（1）当时，判断函数在上的单调性，并用定义法加以证明.
（2）已知二次函数满足，.若不等式恒成立，求的取值范围.
知识点四
函数的奇偶性
1．函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数
图象关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数
图象关于原点对称
（1）判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
（2）由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
（3）若奇函数的定义域包括，则．
（4）若函数是偶函数，则．
（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．
（6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数．
（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：
①函数为偶函数，函数为奇函数．
②函数（且）为奇函数．
③函数（且）为奇函数．
④函数（且）为奇函数．
例6.（成都七中2020年高一上期半期考试）下列函数是偶函数的为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-1】、（成都七中2020年高一上期半期考试）已知函数是定义在
上的偶函数，当时，，（）.
（1）求的函数解析式：
（2）当时，求满足不等式的实数的取值范围.
知识点五
奇偶性与单调性的综合应用
例8.（河南省金太阳2020年高一期中联考）.已知是定义在上的奇函数，且当时，．
（1）求的值；
（2）求在上的解析式．
【变式训练5-1】、（2019·浙江湖州
高一期中）函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）设，，求函数的值域；
（2）当时，若，求实数的值.
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函数的概念与性质（知识点串讲）
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知识点一
函数的概念与分段函数
1．函数与映射的相关概念
(1)函数与映射的概念
函数
映射
两个集合A、B
设A、B是两个非空数集
设A、B是两个非空集合
对应关系
按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
f：A→B
注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(3)构成函数的三要素
函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
(4)函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
①解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
②列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
③图象法：注意定义域对图象的影响.
例1.（河南省金太阳2020年高一期中联考）若函数，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A.
【解析】法1（换元法）：令，则，所以，即.由，得，故选A.
法2（等价法）：由，结合函数，令等式右边，代入，因为作用下的原象等价，故有，故选A.
【变式训练1-1】、（2012·全国高一课时练习）设集合，，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】图象不满足函数的定义域，不正确；满足函数的定义域以及函数的值域，正确；
不满足函数的定义，故选：C．
【变式训练1-2】、（2020·全国高一）已知函数，若，则实数之值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】令，则，所以，
由，解得.故选：D．
知识点二
函数的三要素
1．函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).
(7)y＝tanx的定义域为.
2．函数的解析式
(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.
(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.
3．函数的值域
函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：
(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.
(2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(?∞，0)∪(0，＋∞)．
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，
当a>0时，二次函数的值域为；
当a<0时，二次函数的值域为.
求二次函数的值域时，应掌握配方法：.
(4)y＝sinx的值域为[?1,1]．
例2.若函数的定义域是[0，4]，则函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】先根据抽象函数的定义域，求出的定义域，结合分式，可得选项.
因为的定义域是[0，4]，所以，即；由于，所以，故选：C.
【变式训练2-1】、（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】
D
【解析】由题意得，解得；选D.
例3．（2020·全国高一）设函数，满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可知，
所以
，解得：，，所以.故选：D
【变式训练3-1】.（2020·河北衡水中学调研）已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
【答案】f(x)＝x2＋x(x∈R)
【解析】设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.所以f(x)＝x2＋x(x∈R)．
例4．（2019·东台创新高级中学高三月考）函数的值域是
_____.
【答案】
【解析】故答案为：
【变式训练4-1】、（成都七中2020年高一上期半期考试）已知函数，，若在
区间上的最大值为3，则_______．
【答案】
．
【解析】
为二次函数，开口向上，对称轴为，在闭区间上的最值肯定在区间端点处取，
故讨论对称轴与区间中点的位置关系即可，
①若，即时，，解得满足题意；
②若，即时，，解得舍
综上所述，．
知识点三
函数的单调性
1、函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2、函数的最值
前提
设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件
（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得
（3）对于任意的，都有；（4）存在，使得
结论
为最大值
为最小值
注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；
（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.
3、函数单调性的常用结论
（1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数；
（2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；
（3）函数在公共定义域内与，的单调性相反；
（4）函数在公共定义域内与的单调性相同；
（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；
（6）一些重要函数的单调性：
①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减；
②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．
例5.（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）下列函数在上为增函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】
A．
【解析】
在上为增函数，A正确；在上为减函数，B错误；
为在上为增函数，C错误；在上为减函数，D错误；
故选A．
【变式训练5-1】、（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）已知函数满足对于任意的，都有成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B．
【解析】
根据题意，对于任意的都有
成立
则函数在上是增函数
∴，解得，故选B．
【变式训练5-2】、.（河南省金太阳2020年高一期中联考）已知函数.
（1）当时，判断函数在上的单调性，并用定义法加以证明.
（2）已知二次函数满足，.若不等式恒成立，求的取值范围.
【解析】
（1）当时，在上单调递减.证明如下：
设任取
，
，不妨设，则有
由，得，，即，即，
故在上单调递减.
（2）设，
则，，因此，由已知得
，解得，，，即.
因此，，
而，则，
综上，实数的取值范围为.
知识点四
函数的奇偶性
1．函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数
图象关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数
图象关于原点对称
（1）判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
（2）由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
（3）若奇函数的定义域包括，则．
（4）若函数是偶函数，则．
（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．
（6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数．
（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：
①函数为偶函数，函数为奇函数．
②函数（且）为奇函数．
③函数（且）为奇函数．
④函数（且）为奇函数．
例6.（成都七中2020年高一上期半期考试）下列函数是偶函数的为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】
A．
【解析】
由奇偶函数的定义得，令，则，，故A为偶函数；
，故B为奇函数；
，故C为奇函数；
，故D为奇函数；故选A.
【变式训练6-1】、（成都七中2020年高一上期半期考试）已知函数是定义在
上的偶函数，当时，，（）.
（1）求的函数解析式：
（2）当时，求满足不等式的实数的取值范围.
【解析】
（1）设，，，又∵为偶函数，，
∴.综上：.
（2）当时，可知：，，
原不等式等价于，解得.
同理可知：，.
原不等式等价于，解得.
综上：实数的取值范围为.
知识点五
奇偶性与单调性的综合应用
例8.（河南省金太阳2020年高一期中联考）.已知是定义在上的奇函数，且当时，．
（1）求的值；
（2）求在上的解析式．
【答案】（1）0（2）．
【解析】
（1）∵，∴．
（2）当时，；当时，，∴，
综上，．
【变式训练5-1】、（2019·浙江湖州
高一期中）函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）设，，求函数的值域；
（2）当时，若，求实数的值.
【答案】（1）；（2）或或
【解析】
（1）设时，则，为奇函数，且时，，
，即.，
，
当时，得关于对称，在上递增，在递减，
，，得；当时，由奇函数关于原点对称，得.
的值域为；
（2）由（1）知，，时，，
i）当时，令，解得；
ii）当时，令=3，解得
综上：或或
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