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专题04指数函数与对数函数的概念、简单性质（知识点串讲）
知识网络
重难点突破
知识点一
指数运算、对数运算与幂运算
1、
指数与指数运算
(1).；
(2).
(3).正分数指数幂：规定：a＝(a>0，m，n∈N
，且n>1)
(4).负分数指数幂：规定：a－＝eq
\f(1,a)＝(a>0，m，n∈N
，且n>1)
(5).幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
2、对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).
例1.（成都市2019-2020学年高一上学期期末调研考试）计算的值为（
）
A.
B.
C.
D.
【变式训练1-1】、（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2】、（1）计算：.
（2）化简：.
知识点二
指数函数与对数函数的概念及图像
3、指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；当x<0时，0当x<0时，y>1；当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
4、对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
0图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；当0当x>1时，y<0；当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
例2.（成都市2019-2020学年高一上学期期末调研考试）已知函数（，且）的图象恒过定点.若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（
）
【变式训练2-1】、已知变量，满足关系式且，且，变量，满足
关系式．
（1）求关于的函数表达式；
（2）若（1）中确定的函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围．
【变式训练2-2】、函数的图像大致为
( )
A．
B．
C．
D．
知识点三
指数函数与对数函数的简单性质
例3．（四川省成都市2019-2020学年高一上学期期末调研考试）已知函数（且）满足.
（1）求的值；
（2）解不等式.
【变式训练3-1】、（四川省成都市2019-2020学年高一上学期期末调研考试）
近年来,我国在航天领域取得了巨大成就,得益于我国先进的运载火箭技术.据了解,在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下,可以用公式计算火箭的最大速度.其中是喷流相对速度,是火箭(除推进剂外)的质量,是推进剂与火箭质量的总和.当称为“总质比".已知型火箭的喷流相对速度为.
(Ⅰ)当总质比为时,利用给出的参考数据求型火箭的最大速度﹔
(Ⅱ)经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍,总质比变为原来的,若要使火箭的最大速度至少增加,求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.
参考数据：
知识点四
比较大小
例4．若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-1】、（成都市2019-2020学年高一上学期期末调研考试）设，，，则，，的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-2】、已知2a4，则（
）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a
【变式训练4-3】、已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数.设，，，则，，的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
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重难点突破
知识点一
指数运算、对数运算与幂运算
1、
指数与指数运算
(1).；
(2).
(3).正分数指数幂：规定：a＝(a>0，m，n∈N
，且n>1)
(4).负分数指数幂：规定：a－＝eq
\f(1,a)＝(a>0，m，n∈N
，且n>1)
(5).幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
2、对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).
例1.（成都市2019-2020学年高一上学期期末调研考试）计算的值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【解析】
，∴，
故选C．
【变式训练1-1】、（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】
D．
【解析】，故选D．
【变式训练1-2】、（1）计算：.
（2）化简：.
【答案】
（1）；（2）.
【解析】
（1）原式.
（2）原式.
知识点二
指数函数与对数函数的概念及图像
3、指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；当x<0时，0当x<0时，y>1；当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
4、对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
0图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；当0当x>1时，y<0；当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
例2.（成都市2019-2020学年高一上学期期末调研考试）已知函数（，且）的图象恒过定点.若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（
）
【答案】
A．
【解析】
∵，则，设，则，解得，则，故选A.
【变式训练2-1】、已知变量，满足关系式且，且，变量，满足
关系式．
（1）求关于的函数表达式；
（2）若（1）中确定的函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）
；（2）．
【解析】（1）由
可得，
再把代入可得，即，即
．
（2）令，则．
由函数在区间上是单调递增函数，所以或
解得，或，故实数的取值范围是．
【变式训练2-2】、函数的图像大致为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】为奇函数，舍去A，舍去D；
，所以舍去C；故选B。
知识点三
指数函数与对数函数的简单性质
例3．（四川省成都市2019-2020学年高一上学期期末调研考试）已知函数（且）满足.
（1）求的值；
（2）解不等式.
【答案】
（1）；（2）.
【解析】
（1），即，;
（2）不等式.即，又在上单调递减，∴.
所以原不等式的解集为.
【变式训练3-1】、（四川省成都市2019-2020学年高一上学期期末调研考试）
近年来,我国在航天领域取得了巨大成就,得益于我国先进的运载火箭技术.据了解,在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下,可以用公式计算火箭的最大速度.其中是喷流相对速度,是火箭(除推进剂外)的质量,是推进剂与火箭质量的总和.当称为“总质比".已知型火箭的喷流相对速度为.
(Ⅰ)当总质比为时,利用给出的参考数据求型火箭的最大速度﹔
(Ⅱ)经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍,总质比变为原来的,若要使火箭的最大速度至少增加,求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.
参考数据：
【答案】(Ⅰ)
(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)根据题意，有：
当总质比为330时，.由参考数据得.
所以当总质比为330时，型火箭的最大速度约为.
(Ⅱ)由题意，经过材料更新和技术改进后，
型火箭的喷流相对速度为，总质比变为.
要使火箭的最大速度至少增加，则需
.化简，得.
所以，整理得.
所以，则.
由参考数据，知.所以.
所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为279.
知识点四
比较大小
例4．若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】
C．
【解析】
由得，因为为减函数，则，又因为在上单调递增，则，所以，故选C．
【变式训练4-1】、（成都市2019-2020学年高一上学期期末调研考试）设，，，则，，的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】
A．
【解析】由题意，所以选择A.
【变式训练4-2】、已知2a4，则（
）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a
【答案】D
【解析】，，，，故选D。
【变式训练4-3】、已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数.设，，，则，，的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可知在上是增函数，在上是减函数。因为，，，
所以，故，故选A。
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