中小学教育资源及组卷应用平台
专题06
三角函数的图像与性质（知识点串讲）
知识网络
重难点突破
知识点一
扇形的弧长与面积
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝
rad；
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
例1.（成都市2019-2020学年高一上学期期末调研考试）半径，为弧长为的扇形的面积为（
）
A.
B.
C.
D.
【变式训练1-1】、（山东省烟台市2018-2019学年期末）若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2】、（山东省潍坊市2018-2019学年期中）“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦尺，弓形高寸，则阴影部分面积约为（注：，，1尺=10寸）（
）
A．6.33平方寸
B．6.35平方寸
C．6.37平方寸
D．6.39平方寸
知识点二
同角三角函数的关系与诱导公式
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：tan
α＝.
平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)．
2．诱导公式
一
二
三
四
五
六
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
sin
α
－sin
α
－sin
α
sin_α
cos_α
cos_α
cos
α
－cos
α
cos
α
－cos_α
sin_α
－sin_α
tan
α
tan
α
－tan
α
－tan_α
例2．（2020届湖北省宜昌市高三调研）已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-1】、已知，那么（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2】、（成都市2019-2020学年高一上学期期末调研考试）已知，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
例3．若，则的值为
（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-1】、（四川省成都市2019-2020学年高一上学期期末调研考试）已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
知识点三
基本三角函数的图像与性质（正弦、余弦与正切）
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在(k∈Z)上是递增函数，在(k∈Z)上是递减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数
在(k∈Z)上是递增函数
周期性
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对称性
对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)
对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是(k∈Z)
对称中心是(k∈Z)
例4.（成都市2019-2020学年高一上学期期末调研考试）下列关于函数算的表述正确的是（
）
A.函数的最小正周期是
B.当时，取最大值2
C.函数是奇函数
D.函数的值域为
【变式训练4-1】、（2020届四川省遂宁市高三二诊）函数（其中，，）的图象如图，则此函数表达式为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-2】、函数的部分图象如图所示．则函数的单调递增区间为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【变式训练4-3】、设函数，则下列结论错误的是（
）
A．的一个周期为
B．的图像关于直线对称
C．的一个零点为
D．在单调递减
知识点四
三角函数的图像变换
1.
y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈R
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
_ωx＋φ_
_φ_
2.
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示：
x
ωx＋φ
__0__
__π__
__2π__
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.
函数y＝sinx的图像经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像的步骤如下：
例5．（2020届广东省东莞市高三模拟）已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位后，所得图象关于原点对称，则函数的图象（
）
A．关于直线对称
B．关于直线对称
C．关于点(，0)对称
D．关于点(，0)对称
【变式训练5-1】、将函数的图像向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（
）
A．函数的最大值为
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在区间上单调递增
【变式训练5-2】、已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是
A．①
B．①③
C．②③
D．①②③
知识点五
三角函数的实际应用
例6．（2019春?潍坊期中）建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计．某市通宵
营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超过28°C时，才开放中央空调降温，否则关闭
中央空调．如图是该市夏季一天的气温（单位：°C）随时间（0≤t≤24，单位：小时）的大致变
化曲线，若该曲线近似的满足函数y＝Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）关系．
（1）求函数y＝f（x）的表达式；
（2）请根据（1）的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？
【变式训练6-1】、（四川省成都市2019-2020学年高一上学期期末调研考试）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，试由实数的取值讨论函数的零点个数.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题06
三角函数的图像与性质（知识点串讲）
知识网络
重难点突破
知识点一
扇形的弧长与面积
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝
rad；
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
例1.（成都市2019-2020学年高一上学期期末调研考试）半径，为弧长为的扇形的面积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由题意得:，故选B．
【变式训练1-1】、（山东省烟台市2018-2019学年期末）若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设扇形的半径是，由扇形的弧长公式得：，解得：，故选D。
【变式训练1-2】、（山东省潍坊市2018-2019学年期中）“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦尺，弓形高寸，则阴影部分面积约为（注：，，1尺=10寸）（
）
A．6.33平方寸
B．6.35平方寸
C．6.37平方寸
D．6.39平方寸
【答案】A
【解析】连接OC，设半径为r，寸，则
在直角三角形中，
即，解得
则
，所以则
所以扇形的面积
三角形的面积
所以阴影部分面积为
所以选A。
知识点二
同角三角函数的关系与诱导公式
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：tan
α＝.
平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)．
2．诱导公式
一
二
三
四
五
六
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
sin
α
－sin
α
－sin
α
sin_α
cos_α
cos_α
cos
α
－cos
α
cos
α
－cos_α
sin_α
－sin_α
tan
α
tan
α
－tan
α
－tan_α
例2．（2020届湖北省宜昌市高三调研）已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为，所以
因为，所以可得因为，所以故选A。
【变式训练2-1】、已知，那么（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，选C．
【变式训练2-2】、（成都市2019-2020学年高一上学期期末调研考试）已知，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】
C．
【解析】由题，，
.
例3．若，则的值为
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】
B．
【解析】
，故选B．
【变式训练3-1】、（四川省成都市2019-2020学年高一上学期期末调研考试）已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】
（1）；（2）.
【解析】
（1）∵，得，∴.
（2）∵，且，则，
又，则，∴，∴.
知识点三
基本三角函数的图像与性质（正弦、余弦与正切）
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在(k∈Z)上是递增函数，在(k∈Z)上是递减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数
在(k∈Z)上是递增函数
周期性
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对称性
对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)
对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是(k∈Z)
对称中心是(k∈Z)
例4.（成都市2019-2020学年高一上学期期末调研考试）下列关于函数算的表述正确的是（
）
A.函数的最小正周期是
B.当时，取最大值2
C.函数是奇函数
D.函数的值域为
【答案】
D．
【解析】
由题意得，为的周期，∴A错；
当时，，∴B错；
∵，∴不是奇函数，∴C错；
∵的值域为，∴的值域为，D正确，故选D．
【变式训练4-1】、（2020届四川省遂宁市高三二诊）函数（其中，，）的图象如图，则此函数表达式为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由图象知，，则，
图中的点应对应正弦曲线中的点，
所以，解得，故函数表达式为，故选B。
【变式训练4-2】、函数的部分图象如图所示．则函数的单调递增区间为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【解析】根据函数的部分图象，
可得：，
解得：，
由于点在函数图象上，可得：，
可得：，，
解得：，，
由于：，
可得：，即，
令，解得：，，
可得：则函数的单调递增区间为：，．
故选C．
【变式训练4-3】、设函数，则下列结论错误的是（
）
A．的一个周期为
B．的图像关于直线对称
C．的一个零点为
D．在单调递减
【答案】D
【解析】函数的图象可由向左平移个单位得到，如图可知，在上先递减后递增，D选项错误，故选D．
知识点四
三角函数的图像变换
1.
y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈R
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
_ωx＋φ_
_φ_
2.
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示：
x
ωx＋φ
__0__
__π__
__2π__
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.
函数y＝sinx的图像经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像的步骤如下：
例5．（2020届广东省东莞市高三模拟）已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位后，所得图象关于原点对称，则函数的图象（
）
A．关于直线对称
B．关于直线对称
C．关于点(，0)对称
D．关于点(，0)对称
【答案】D
【解析】因为将的图象向左平移个单位后，所得图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，故D正确；又f（x）的最小正周期为π，则π，得ω＝2，则f（x）＝cos（2x+φ），
将f（x）的图象向左平移个单位后，得到y＝cos[2（x）+φ]＝cos（2xφ），所得图象关于原点对称，则φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ，k∈Z，∵φ，∴当k＝0时，φ，
即f（x）＝cos（2x），验证其它选项不满足；故选D。
【变式训练5-1】、将函数的图像向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（
）
A．函数的最大值为
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在区间上单调递增
【答案】D
【解析】函数向右平移个单位长度得：
横坐标伸长到原来的倍得：
最大值为，可知错误；
最小正周期为，可知错误；
时，，则不是的对称轴，可知错误；
当时，，此时单调递增，可知正确.
本题正确选项：
【变式训练5-2】、已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是
A．①
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】B
【思路导引】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可．
【解析】因为，所以周期，故①正确；
，故②不正确；
将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故③正确．故选B．
知识点五
三角函数的实际应用
例6．（2019春?潍坊期中）建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计．某市通宵
营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超过28°C时，才开放中央空调降温，否则关闭
中央空调．如图是该市夏季一天的气温（单位：°C）随时间（0≤t≤24，单位：小时）的大致变
化曲线，若该曲线近似的满足函数y＝Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）关系．
（1）求函数y＝f（x）的表达式；
（2）请根据（1）的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？
【解答】解：（1）由图知，T＝2（14﹣2）＝24，所以，
解得：．由图知，，A，
所以：f（t）＝8sin（）+24．
将点（2，16）代入函数解析式得：，
得（k∈Z），即：（k∈Z），又因为|φ|＜π，得．
所以：．
（2）依题意，
令，可得，所以：（∈Z），
解得：24k+10＜t＜24k+18（k∈Z）令k＝0，得，10＜t＜18，
故中央空调应在上午10时开启，下午18时关闭．
【变式训练6-1】、（四川省成都市2019-2020学年高一上学期期末调研考试）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，试由实数的取值讨论函数的零点个数.
【答案】（1）；（2）当或时，函数的零点个数为0；
当或时，函数的零点个数为1；当时，函数的零点个数为2．
【解析】
（1）由函数的部分图象知，；函数最小正周期为，
即，解得；又，则，；
解得，；又，所以；
所以函数的解析式为．
（2）由题意，在内的零点个数，
即为函数与的图象在时公共点的个数；
由（1）知，，；
又，，，画出图象如图所示；
由图象知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；
（i）当或时，与的图象在时没有公共点，
（ii）当或时，与的图象在时恰有一个公共点；
（iii）当时，与的图象在时恰有两个公共点．
综上可知，当或时，函数的零点个数为0；
当或时，函数的零点个数为1；
当时，函数的零点个数为2．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
