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专题07
三角恒等变换（知识点串讲）
知识网络
重难点突破
知识点一
两角和与差公式的基本应用
.
=
(由点的象限决定,
).
例1．（1）（2019·山东高一期末）（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由诱导公式
，所以选择A
（2）（2019·安徽高三月考）若，则（
）
A．3
B．-3
C．2
D．-2
【答案】C
【解析】
因为，解得故选C
【变式训练1-1】、（2018·广东高一期末）（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】.
故选：C.
【变式训练1-2】、已知，，那么（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
知识点二
两角和与差公式的变形应用与逆向应用
例2.（1）已知sin
θ＝，则cos(450°＋θ)的值是( )
A．
B．－
C．－
D．
【答案】选B
【解析】cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin
θ＝－.
（2）（2018·上海交大附中高一开学考试）已知，，且、均为锐角，则______.
【答案】
【解析】由得，所以
，
∴，由于、均为锐角，所以.故答案为：.
【变式训练2-1】、已知sinα，cos（α+β），且α，β∈（0，），则sin（α﹣β）的值等于
．
【答案】
【解析】∵α，β∈（0，），∴2α∈（0，π），α+β∈（0，π）
∵sinα，∴cos2α＝1﹣2sin2α，∴sin2α，
∵cos（α+β），∴sin（α+β），
∴sin（α﹣β）＝sin[2α﹣（α+β）]＝sin2αcos（α+β）﹣cos2αsin（α+β）
（）﹣（），
【变式训练2-2】、已知tan
α，tan
β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－＜α＜，－＜β＜，则α＋β的值为( )
A．
B．－
C．或－
D．－或
【答案】B
【解析】由一元二次方程根与系数的关系得tan
α＋tan
β＝－3，tan
α·tan
β＝4，∴tan
α＜0，tan
β＜0.
∴tan(α＋β)＝＝＝.又∵－＜α＜，－＜β＜，且tan
α＜0，tan
β＜0，
∴－π＜α＋β＜0，∴
α＋β＝－.
知识点三
二倍角与半角公式的应用
.
.
例3．（1）（2017·北京高一期中）__________；__________．
【答案】
【解析】
；
．
（2）（2020·黄梅国际育才高级中学高一期中）下列各式中，值为的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于选项A：；对于选项B：；对于选项C：；对于选项D：；故选C
【变式训练3-1】、
函数的最大值为（
）
（A）4
（B）5
（C）6
（D）7
【答案】B
【解析】因为，而，所以当时，取得最大值5，选B．
【变式训练3-2】、（2020·全国高三其他）若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为，
又，所以，故选B.
【变式训练3-3】、（2020·营口市第二高级中学高一期末）化简下式，与相等的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】
对于A：，由解得，即，解得，故A错误；
对于B：因为所以，
故B正确；
对于C：
对于D：
故选：BC
知识点四
三角函数的图像变换
由函数y＝sin
x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
例4．（1）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最
小正值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，将函数的图象向右平移个单位得
，由该函数为偶函数可知，
即，所以的最小正值是为．
（2）．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是
A．是奇函数
B．的周期是
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点
【答案】D
【解析】函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，为偶函数，排除A；的周期为，排除B；因为，所以不关于直线对称，排除C；故选D．
【变式训练4-1】、将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（
）
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
【答案】B
【解析】
将的图象向有右移个单位长度后得到，即的图象，令，，化简可得，，
即函数的单调递增区间为，，令．可得在区间上单调递增，故选B．
【变式训练4-2】、将函数的图像沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则
的一个可能取值为（
）
A．
B．
C．0
D．
【答案】B
【解析】将函数y=sin(2+)的图像沿x轴向左平移个单位，得到函数
，因为此时函数为偶函数，所以，即，所以选B．
知识点五
三角函数的综合应用
例5．设函数，其中．已知．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值．
【解析】（Ⅰ）因为，
所以
由题设知，
所以，．
故，，又，
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以．
因为，
所以，
当，
即时，取得最小值．
【变式训练5-1】、已知函数．
(Ⅰ)求的定义域与最小正周期；
(Ⅱ)讨论在区间[]上的单调性．
【解析】(Ⅰ)的定义域为．
所以的最小正周期．
令函数的单调递增区间是
由，得
设，
易知．
所以，
当时，
在区间上单调递增，
在区间上单调递减．
【变式训练5-2】、某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，
列表并填入了部分数据，如下表：
0
0
5
0
(Ⅰ)请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
(Ⅱ)将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．
【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得．
数据补全如下表：
0
0
5
0
0
且函数表达式为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，得．
因为的对称中心为，．
令，解得，．
由于函数的图象关于点成中心对称，令，
解得，．
由可知，当时，取得最小值．
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三角恒等变换（知识点串讲）
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重难点突破
知识点一
两角和与差公式的基本应用
.
=
(由点的象限决定,
).
例1．（1）（2019·山东高一期末）（
）
A．
B．
C．
D．
（2）（2019·安徽高三月考）若，则（
）
A．3
B．-3
C．2
D．-2
【变式训练1-1】、（2018·广东高一期末）（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2】、已知，，那么（
）
A．
B．
C．
D．
知识点二
两角和与差公式的变形应用与逆向应用
例2.（1）已知sin
θ＝，则cos(450°＋θ)的值是( )
A．
B．－
C．－
D．
（2）（2018·上海交大附中高一开学考试）已知，，且、均为锐角，则______.
【变式训练2-1】、已知sinα，cos（α+β），且α，β∈（0，），则sin（α﹣β）的值等于
．
【变式训练2-2】、已知tan
α，tan
β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－＜α＜，－＜β＜，则α＋β的值为( )
A．
B．－
C．或－
D．－或
知识点三
二倍角与半角公式的应用
.
.
例3．（1）（2017·北京高一期中）__________；__________．
（2）（2020·黄梅国际育才高级中学高一期中）下列各式中，值为的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-1】、
函数的最大值为（
）
（A）4
（B）5
（C）6
（D）7
【变式训练3-2】、（2020·全国高三其他）若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-3】、（2020·营口市第二高级中学高一期末）化简下式，与相等的是（
）
A．
B．
C．
D．
知识点四
三角函数的图像变换
由函数y＝sin
x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
例4．（1）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最
小正值是（
）
A．
B．
C．
D．
（2）．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是
A．是奇函数
B．的周期是
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点
【变式训练4-1】、将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（
）
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
【变式训练4-2】、将函数的图像沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则
的一个可能取值为（
）
A．
B．
C．0
D．
知识点五
三角函数的综合应用
例5．设函数，其中．已知．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值．
【变式训练5-1】、已知函数．
(Ⅰ)求的定义域与最小正周期；
(Ⅱ)讨论在区间[]上的单调性．
【变式训练5-2】、某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，
列表并填入了部分数据，如下表：
0
0
5
0
(Ⅰ)请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
(Ⅱ)将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．
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