一元二次方程当堂达标
1.把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.
2.下列是一元二次方程的是（
）
A.
X2+3x-2
B.
x2+3x-2=x2
C.
X2=2+3x
D.
x2-x3+4=0
3．方程4x(x-1)=2(x+1)+7化成一般形式是______________________,二次项系数是_______
,一次项系数是_______,
常数项是________
4.若关于x的方程(k-2)x2+x=1是一元二次方程，则k的取值范围是__________.
5.根据题意，列出方程：
有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？
6.拓展题
我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，意思是：有一个水池，水面是边长为10尺的正方形．在水池的中央有一根新生的芦苇，它比水深的2倍少5尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端正好到达岸边，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度是多少？(共23张PPT)
一元二次方程
初三数学第八章第一课时
从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框多４尺，竖着比门框多2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．
实际问题的探究
实际问题的探究
转化
x
(x-4)
(x-2)
(x－4)2＋
(x－2)2＝
x2
解:设竹竿的长为x尺,
则门的宽度为(x－4)尺,
长为(x－2)尺.依题意得方程：
梯子下滑问题：
如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端向外滑动距离是多少？
1米
x米
解：设梯子的底端向外滑动距离是
x米
根据题意，列方程得：
6米
(x+6)2＋
72＝
102
试一试 花边有多宽
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面积为１８m2
，则花边多宽?
5
x
x
x
x
（8－2x）
（5－2x）
8
解：如果设花边的宽x
m
，那么地毯中央长方形图案的长为
宽为
m,
根据题意，
可得方程：
(8
－
2x)
(5
－
2x)
=
18
18m2
（8－2x）m
（5－2x）
8
把上面三个方程整理一下：
例：1.(x－4)2＋
(x－2)2＝
x2
X2-8x+16+X2
-4x+4=X2
x2－12
x
＋20
＝
0
2.
(x+6)2＋
72＝
102
x2+12
x
-15
＝
0
3.(8
－
2x)
(5
－
2x)
=
18
4x2－26x
＋22
＝
0
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
上述三个方程有什么共同特点？(类比一元一次方程和二元一次方程)
上面的方程都是只含有________________________的______并且都可以化为_________________________
的形式，这样的方程叫做
_________方程
．
4x2
-26x
+
22
=
0
一个未知数X,
整式
ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，
）
x2-12
x
+20
＝
0
x2+12
x
-15
＝
0
③
都是整式方程;
①
只含一个未知数;
即：一元二次方程的共同特点:
②未知数的最高次数是2.
④
都可以化为
ax２＋bx＋c＝０（a,b,c为常数a≠０)
一元二次
a≠０
方程
X的最高次数为2
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x
的一元二次方程都可以
化为
的形式,我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
想一想
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
(a
≠
0)
二次项系数
一次项系数
常数项
一元二次方程的特殊形式：
ax２＋bx＝０（
）
ax２＋c＝０
（
）
ax２＝０
（
）
≠０，
=0
a
c
≠０,
=0
=0
≠０，
=0
a
a
b
c
注意：要灵活掌握一元二次方程概念，会判断这几种特殊形式
一般形式：ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠0
）
b
例1：
判断下列方程是否为一元二次方程？
(3)x2+x
=0
(2)
x3+
x2=36
(8)x2+3y=36
(9)
x+1=0
?
?
?
?
?
?
(1)7x2
+1＝0
?
(5)
y2＝0
?
(6)x-2+3x=36
?
一元
二次
整式方程
这就是这三种特殊形式代表
抢答下列方程哪些是一元二次方程?
为什么？
(2)2x2－5xy＋6y＝0
(5)x2＋2x－3＝1＋x2
(1)7x2－6x＝0
解:
(1)、
(4)
(3)2x2－
－1
＝0
－
1
3x
(4)
＝0
－
y2
2
练习巩固
注意：判断是否为一元二次方程应先化为一般形式
一元二次方程
二次项
系数
一次项
系数
常数项
4
2x2+x+4=0
2
1
-4y2+2y=0
-4
2
0
3x2-x-1=0
3
-1
-1
抢答：
4x2-5=0
4
0
-5
m-3
-(m-1)
-m
3x(x-1)=5(x+2)
(m-3)x2-(m-1)x-m=0(m≠3)
3
-8
-10
3x2=5x-1
3
-5
1
3x2-5x+1=0
例２．已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长？根据题意列出方程，化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
解：设一直角边长为x,另一直角边长为(X+1),斜边长(x+2)
根据题意列方程得：x2＋(x+1)2=(x+2)2
x2＋
x2
+2x+1＝
x2
+4x+4
二次项系数为
，
一次项系数为
，
常数项为
.
1
-2
-3
1
-2
-
3
x2
-2x-3=0
在写一元二次方程的一般形式时,通常按未知数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写一次项,最后是常数项（数字连同前面的符号作为二次、一次项的系数）
例3：关于x的方程
(2m-1)x2-(m-1)x=5m
是一元二次方程,
求：m的取值范围.
解：∵原方程是一元二次方程,
(a
≠0
)
∴
2m-1≠0，
∴
m≠
当m
≠
时原方程是一元二次方程
1.关于x的方程(n2－4)x2
＋
2
(n－2)
x
＋
2n＋
2＝0,当n
时，是一元二次方程,
当n
时，是一元一次方程．
当n
时，这个方程没有常数项，
请写出这个方程____________________
≠±2
＝－2
概念的内涵与外延的具体理解（想一想,
议一议）:
=
-1
-3x2-6x=0
2.若关于x的方程（m+1)x
|m|+1
-2x+3m=0
是一元二次方程,求m的值。
m=1
m=±1
m
≠
-1
｛
∵｛
|m|+1=2
m+1
≠0
∴
∴
1.关于x的方程(k－3)x2
＋
2x－1＝0,
当k 时，是一元二次方程．
2.关于x的方程(k2－1)x2
+2(k－1)x+2k+2＝0,
当k
时，是一元二次方程．
当k
时，是一元一次方程．
≠3
≠±1
＝－1
3.m为何值时，方程(m-1)xm2+1+3x+2=0是关于x的一元二次方程？
巩固提高
m=-1
m=±1
m
≠
1
｛
∵｛
m2
+1=2
m-1
≠0
∴
∴
拓展提升：
如图,在RT△ABC中,
∠C=90°,AC=8,BC=6点P,Q同时由A,B两点出发分别沿AC,BC方向向点C匀速移动（到点C为止），他们的速度都是1m/s,经过几秒△PCQ的面积为RT△ACB面积的一半？
A
B
P
Q
C
6m
8m
解：设x秒后△PCQ的面积为RT△ACB面积的一半
即AP=x,BQ=x
,则PC=8-x,CQ=6-x
根据题意得：
(8-x)(6-x)=
(6×8)
÷2
整理得：
X2-14x+24=0
x
x
1.本节学习的数学知识是：
2.学习的数学思想方法是
3、如何理解一元二次方程的一般形式
(a≠0)？
（1）
（2）
（1）
（2）
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般与特殊形式
转化、建模思想.数形结合思想
(a≠0)是成为一元二次方程的必要条件
找一元二次方程的二次项、一次项
系数及常数项要先化为一般式
1.把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.
当堂达标
2.下列是一元二次方程的是（
）
A.
X2+3x-2
B.
x2+3x-2=x2
C.
X2=2+3x
D.
x2-x3+4=0
4.若关于x的方程(k-2)x2+x=1是一元二次方程，则k的取值范围是____.
5.根据题意，列出方程：
（1）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？
3．方程4x(x-1)=2(x+1)+7化成一般形式是_______,二次项系数是____
,一次项系数是____,
常数项是______
（2）我国古代数学著作《九章算术》中记载了道有趣的问题，意思是：有一个水池，水面是边长为10尺的正方形．在水池的中央有一根新生的芦苇，它比水深的2倍少5尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端正好到达岸边，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度是多少？
当堂达标答案：
c
4x?-6x+9=0
K≠2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
x2
+
7x-
44
＝0
4
-6
9
3x2-20x=0
我国古代数学著作《九章算术》中记载
了一道有趣的问题，意思是：有一个水池，水面是边长为10尺的正方形．在水池的中央有一根新生的芦苇，它比水深的2倍少5尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端正好到达岸边，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度是多少？
能
力提
升
5
x
2x-5
转化
解：设水池的深度为xm，则芦苇的长的长为(2x-5)
m,
依题意得方程：
(2x-5)2
–x2＝52
整理得：
3x2-20x=0
思考作业:你能通过那些方法解得这一芦苇的长？课后认真思考、交流
教师寄语：
人生就像一个等式，它的左边是不思进取，它的右边就是一事无成。它的左边是付出的艰辛，它的右边就是收获的快乐。它的左边是少壮不努力，它的右边就是老大徒伤悲。它的左边是锐意进取，它的右边就是学有所成。
数学是思维的体操，只有认真学习数学，并努力学好数学的人，才会使自己的思维更敏锐，更科学，更完美，才能使自己的思维品质更优秀。《一元二次方程（1）》教学设计方案
济南市莱芜区高庄街道中心中学
吴芳
课题名称
一元二次方程（1）
科
目
数学
年级
八年级
教学时间
一课时
学生分析
本班有学生43人，数学课还比较喜欢，学习热情也较高，课堂气氛比较活跃。学生在学过一元一次方程的基础上学习，还是对方程有一定的认识。所以老师放手让学生自学、合作的探究方式来学习此课。但有极少部分学生较懒，学习习惯差，不愿思考问题。总体来说学生喜欢动手操作，喜欢小组合作的学习方式。
教学目标
一、情感态度与价值观1. 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。2. 感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
二、过程与方法1. 通过观察，归纳一元二次方程概念的教学2. 使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式。
三、知识与技能1. 通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义。2. 一元二次方程的一般形式、特殊形式及其有关概念
教学重点、难点
1.一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程有关概念解决问题。 2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。
教学资源
⑴每人一份印刷导学案⑵每人一份印刷达标检测⑶教师自制的多媒体课件⑷课前录制的短片
?
《一元二次方程的概念》教学过程描述
??教学活动1??
㈠师生互动，激趣导入情境创设（课前准备的视频短片）从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．学生根据等量关系：设竹竿长x尺,
则门的宽度为(x－4)尺,长为(x－2)尺.依题意得方程：(x-4)2+(x-2)2=x2整理得X2-12x+20=0，（老师参与并分析如何把实际问题转化成数学问题，从而为一元二次方程数学模型的建立做好基础，并加以阐述整理．）梯子下滑问题：一个如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端向外滑动距离是多少？解：设梯子的底端向外滑动距离是
x米根据题意，列方程得：(x+6)2＋(8-1)2＝102整理得：x2+12x-15＝0（逐步引导学生学会把生活中的数学问题通过转化的数学思想，转化成我们所熟知的数学问题，再借助我们已有的知识经验将其解决）试一试 花边有多宽一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面积为１８m2
，则花边多宽?解：如果设花边的宽x
m
，那么地毯中央长方形图案的长为
（8－2x)m宽为（5－2x）m,
根据题意得(8－2x)(5－2x)=18整理得:2x2－13x＋11＝0（通过对三个问题的分析研究，大部分同学已经逐步建立起了一元二次方程的建模思想，这就为下一步的学习做好了准备）板书1：X2-12x+20=0x2+12x-15＝02x2－13x＋11＝0上述三个方程有什么共同特点？与以前学过的一元一次方程有什么不同，这节课我们就来学习它---------一元二次方程板书2：板书3：超链接（学习目标）理解概念、掌握一般形式与特殊形式、应用、数学思想
?????教学活动2 ?
㈡问题启发，合作探究学生通过经历上面对具体情境中的数学的建模、转化过程，再通过观察讨论结合以前学习的一元一次方程和二元一次方程，不难总结出一元一次方程的定义：即：上面的方程都是只含有____的______并且都可以化为_______的形式，这样的方程叫做一元二次方程
分析、总结可得一元二次方程的共同特点:
①
只含一个未知数;②未知数的最高次数是2.③
都是整式方程;④
都可以化为
ax２＋bx＋c＝０（a,b,c为常数a≠０)立马跟进练习：判断下列方程是否为一元二次方程？
做练习后立马总结：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是整式方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．4．追问条件，由一般式得出特殊式（1）为什么a≠0？b和c能等于0吗？（2）特殊式：ax2+bx=0,ax2+c=0，ax2=0
?教学活动3
㈢ 例题示范，巩固提高例2．将方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程(3x＋2)2＝4(x－3)2必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项、合并同类项等．
（学生活动：请四位同学上台演练）把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项（一人）3x2=5x-1
（二人）(x+2)(x
-1)=6
（一人）4-7x2=0例3：关于x的方程
(2m-1)x2-(m-1)x=5m
是一元二次方程,
求：m的取值范围.解：∵原方程是一元二次方程,
(a
≠0
)
∴
2m-1≠0，
∴
m≠
当m
≠
时原方程是一元二次方程板书16：教师板书完整的步骤板书17：教师板书第二题的具体步骤
教学活动4
（四）归纳总结，畅谈收获本节课要掌握：（1）?一元二次方程的概念；（2）?一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．（3）定义要条件化：二次项系数不等于0的条件（4）利用一元二次方程解决实际生活问题。
??教学活动5?
（五） 当堂达标?程序：1.学生自己独立完成2.老师给组长副组长打分3.组长给组员打分4．学生交流疑难杂症5.学生总结易错点和方法6.老师作最后强调。
??教学活动6
㈥拓展迁移，提升能力思考作业:你能通过那些方法解得这个正方形的边长？课后认真思考、交流
板书
