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专题01
空间向量与立体几何（知识点串讲）
知识网络
重难点突破
知识点一
空间向量的概念、性质与运算
1、空间向量及其有关概念
概念
语言描述
共线向量(平行向量)
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合
共面向量
平行于同一个平面的向量
共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb
共面向量定理
若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面?存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
空间向量基本定理及推论
定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1
2.
数量积及坐标运算
(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b?a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝.
(2)空间向量的坐标运算：
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数量积
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)
垂直
a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
夹角公式
cos〈a，b〉＝
3.
直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或或共线，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
4.
空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2?n1＝kn2(k∈R)
l1⊥l2
n1⊥n2?n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m?n·m＝0
l⊥α
n∥m?n＝km(k∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m?n＝km(k∈R)
α⊥β
n⊥m?n·m＝0
5．证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：
(1)＝λ
(λ∈R);
(2)对空间任一点O，＝＋t
(t∈R)；
(3)对空间任一点O，＝x＋y
(x＋y＝1)．
6．证明空间四点共面的方法
对空间四点P，M，A，B除空间向量基本定理外也可通过证明下列结论成立来证明四点共面：
(1)
＝x＋y；
(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；
(3)
∥
(或∥或∥
)．
例1.
（广东佛山一中2019届期中）平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于( )
A.2
B.－4
C.4
D.－2
【答案】C
【解析】∵α∥β，∴两平面的法向量平行，∴＝＝，∴k＝4.
例2.
（黑龙江鹤岗一中2019届期末）如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为＝－，所以·＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝8×4×cos
135°－8×6×cos
120°＝－16＋24.
所以cos〈，〉＝＝＝.
即OA与BC所成角的余弦值为.
例3.
（安徽淮北一中2019届期末）已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝________.
【答案】
【解析】由条件得
解得x＝，y＝－，z＝4，∴x＋y＝－＝.
例4．（
广西南宁三中2019届高三模拟）如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】设＝λ，＝μ，(λ，μ∈[0，1])．所以＝λ(0，1，2)＝(0，λ，2λ)，
＝＋μ(－)＝(1，0，0)＋μ(－1，1，0)＝(1－μ，μ，0)．
所以||＝|－|＝|(1－μ，μ－λ，－2λ)|＝
＝≥＝，当且仅当λ＝，μ＝，即λ＝，μ＝时取等号．
所以线段PQ长度的最小值为.故选C.
知识点二
求异面直线形成的角
1.
异面直线所成的角
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
a与b的夹角β
l1与l2所成的角θ
范围
(0，π)
求法
cos
β＝
cos
θ＝|cos
β|＝
例5.
（广东省惠州一中2019届期末）在正方体A1B1C1D1－ABCD中，AC与B1D所成角大小为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体边长为1，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0).
∴＝(1，1，0)，＝(－1，1，－1)，
∵·＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0，∴⊥，∴AC与B1D所成的角为.
【变式训练5-1】、
（四川省乐山一中2019届期末）如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是__________.
【答案】60°
【解析】以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系.设AB＝BC＝AA1＝2，
则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，则＝(0，－1，1)，＝(2，0，2)，
∴·＝2，∴cos〈，〉＝＝，∴EF和BC1所成的角为60°.
知识点三
求直线与平面形成的角
1.
求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin
θ＝|cos〈a，n〉|＝.
例6.
（江西省新余一中2019届期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M.则CD与平面ACM所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，P(0，0，4)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，D(0，4，0)，M(0，2，2).
所以＝(2，4，0)，＝(0，2，2)，＝(－2，0，0).
设平面ACM的一个法向量n＝(x，y，z)，由n⊥，n⊥，
可得令z＝1，得n＝(2，－1，1).设所求角为α，则sin
α＝＝.
【变式训练6-1】、.（浙江省绍兴一中2019届高三质检）如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为__________.
【答案】60°
【解析】∵＝＋＋，
∴·＝||·||·
cos〈，〉＝－24.
∴
cos〈，〉＝－.又所求二面角与〈，〉互补，∴所求的二面角为60°.
知识点四
求平面与平面形成的角
1.
求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈，〉.
(2)如图②③，n1，n2
分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos
θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).
【特别提醒】
1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin
θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos
θ＝|cos〈a，n〉|.
2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.
例7.
（山东省济宁一中2019届期末）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，
∴＝(0，1，－1)，＝.
设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，
则有即∴
∴n1＝(1，2，2).
∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，∴|cos〈n1，n2〉|＝＝，
即平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为.
【变式训练7-1】、（江西省上饶二中2019届质检）如图，在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面△ABC是边长为2的正三角形，A1A＝A1C，A1A⊥A1C.
(1)求证：A1C1⊥B1C；
(2)求二面角B1－A1C－C1的正弦值.
(1)证明 如图，取A1C1的中点D，连接B1D，CD，
∵C1C＝A1A＝A1C，
∴CD⊥A1C1，
∵底面△ABC是边长为2的正三角形，
∴AB＝BC＝2，A1B1＝B1C1＝2，
∴B1D⊥A1C1，
又B1D∩CD＝D，B1D?平面B1CD，CD?平面B1CD，
∴A1C1⊥平面B1CD，∴A1C1⊥B1C.
(2)解 法一 如图，过点D作DE⊥A1C于点E，连接B1E.
∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，
∴侧面AA1C1C⊥平面A1B1C1，又B1D⊥A1C1，
侧面AA1C1C∩平面A1B1C1＝A1C1，
∴B1D⊥平面A1CC1，∴B1D⊥A1C，
∴A1C⊥平面B1DE，∴B1E⊥A1C，
∴∠B1ED为所求二面角的平面角.
∵A1B1＝B1C1＝A1C1＝2，∴B1D＝，
又ED＝CC1＝，∴tan
∠B1ED＝＝＝，
∴sin∠B1ED＝.
∴二面角B1－A1C－C1的正弦值为.
法二 如图，取AC的中点O，以O为坐标原点，射线OB，OC，OA1分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，B(，0，0)，A1(0，0，1)，B1(，1，1)，C1(0，2，1)，C(0，1，0)，
∴＝(，1，0)，＝(0，1，－1).
设m＝(x，y，z)为平面A1B1C的法向量，
∴
令y＝，得m＝(－1，，)，
又＝(，0，0)为平面A1CC1的一个法向量，
∴cos
〈m，〉＝＝－，
由图易知所求二面角为锐角，
∴二面角B1－A1C－C1的正弦值为.
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知识点一
空间向量的概念、性质与运算
1、空间向量及其有关概念
概念
语言描述
共线向量(平行向量)
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合
共面向量
平行于同一个平面的向量
共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb
共面向量定理
若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面?存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
空间向量基本定理及推论
定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1
2.
数量积及坐标运算
(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b?a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝.
(2)空间向量的坐标运算：
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数量积
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)
垂直
a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
夹角公式
cos〈a，b〉＝
3.
直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或或共线，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
4.
空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2?n1＝kn2(k∈R)
l1⊥l2
n1⊥n2?n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m?n·m＝0
l⊥α
n∥m?n＝km(k∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m?n＝km(k∈R)
α⊥β
n⊥m?n·m＝0
5．证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：
(1)＝λ
(λ∈R);
(2)对空间任一点O，＝＋t
(t∈R)；
(3)对空间任一点O，＝x＋y
(x＋y＝1)．
6．证明空间四点共面的方法
对空间四点P，M，A，B除空间向量基本定理外也可通过证明下列结论成立来证明四点共面：
(1)
＝x＋y；
(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；
(3)
∥
(或∥或∥
)．
例1.
（广东佛山一中2019届期中）平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于( )
A.2
B.－4
C.4
D.－2
例2.
（黑龙江鹤岗一中2019届期末）如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
例3.
（安徽淮北一中2019届期末）已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝________.
例4．（
广西南宁三中2019届高三模拟）如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
知识点二
求异面直线形成的角
1.
异面直线所成的角
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
a与b的夹角β
l1与l2所成的角θ
范围
(0，π)
求法
cos
β＝
cos
θ＝|cos
β|＝
例5.
（广东省惠州一中2019届期末）在正方体A1B1C1D1－ABCD中，AC与B1D所成角大小为( )
A.
B.
C.
D.
【变式训练5-1】、
（四川省乐山一中2019届期末）如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是__________.
知识点三
求直线与平面形成的角
1.
求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin
θ＝|cos〈a，n〉|＝.
例6.
（江西省新余一中2019届期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M.则CD与平面ACM所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【变式训练6-1】、.（浙江省绍兴一中2019届高三质检）如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为__________.
知识点四
求平面与平面形成的角
1.
求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈，〉.
(2)如图②③，n1，n2
分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos
θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).
【特别提醒】
1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin
θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos
θ＝|cos〈a，n〉|.
2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.
例7.
（山东省济宁一中2019届期末）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【变式训练7-1】、（江西省上饶二中2019届质检）如图，在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面△ABC是边长为2的正三角形，A1A＝A1C，A1A⊥A1C.
(1)求证：A1C1⊥B1C；
(2)求二面角B1－A1C－C1的正弦值.
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