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专题02
直线与直线方程（知识点串讲）
知识网络
重难点突破
知识点一
直线的倾斜角与斜率
1.直线的倾斜角与斜率的关系
(1).倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.
(2).倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在．
当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大．
当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大．
2..求直线斜率的公式
经过两点的直线的斜率公式为
.
例1．（江苏省无锡一中2019届期中）直线l的方程为x＋3y－1＝0，则直线l的倾斜角为( )
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
【变式训练1-1】、（陕西省渭南一中2019届模拟）已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为__________________．
所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，即4x－3y－4＝0.
【变式训练1-2】、（2020·鸡西市一中高二期中）过点的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是（
）．
A．
B．
C．或
D．
知识点二
直线的点斜式方程与斜截式方程
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y1＝k(x－x1)
不能表示与x轴垂直的直线
斜截式
y＝kx＋b
不能表示与x轴垂直的直线
两点式
＝
不能表示与坐标轴垂直的直线
截距式
＋＝1
不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
适合所有的直线
例2、已知点和直线l：.求：
（1）过点A且与直线l平行的直线方程；
（2）过点A且与直线l垂直的直线方程.
【变式训练2-1】、（山西省吕梁一中2019届模拟）l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是____________________．
知识点三
直线的两点式方程与截距式方程
例3．已知直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程．
【变式训练3-1】、（2020全国高二课时练）根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式：
(1)斜率是，经过点A(8，－2)；
(2)经过点B(－2,0)，且与x轴垂直；
(3)斜率为－4，在y轴上的截距为7；
(4)经过点A(－1,8)，B(4，－2)．
(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；
(6)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.
知识点四
点到直线的距离与平行线间的距离
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
＝
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝
例4．（湖北省十堰一中2019届期末）已知点M是直线x＋y＝2上的一个动点，且点P(，－1)，则点|PM|的最小值为( )
A.
B．1
C．2
D．3
【变式训练4-1】、（湖南省郴州一中2019届模拟）在平面直角坐标系中，已知点P(－2,2)，直线l：a(x－1)＋b(y＋2)＝0(a，b∈R且不同时为零)，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是________．
【变式训练4-2】、(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos
θ，sin
θ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练4-3】、若直线：与直线：平行，则与的距离为(
)
A．
B．
C．
D．
知识点五
直线与直线的平行与垂直
若两条直线的方程是用一般式给出的,设直线的方程分别为,，
则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下：
（1）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且.
即,且或.
（2）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，或.即
（3）平行直线系方程
把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为
(其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.
（4）垂直直线系方程
一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为
(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.
例5．（江苏省盐城一中2019届期末）若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于( )
A．1
B．－
C．－
D．－2
【变式训练5-1】、（一中2019届期末）已知点A(1，－2)，B(m,2)，若线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值为( )
A．－2
B．－7
C．3
D．1
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直线与直线方程（知识点串讲）
知识网络
重难点突破
知识点一
直线的倾斜角与斜率
1.直线的倾斜角与斜率的关系
(1).倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.
(2).倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在．
当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大．
当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大．
2..求直线斜率的公式
经过两点的直线的斜率公式为
.
例1．（江苏省无锡一中2019届期中）直线l的方程为x＋3y－1＝0，则直线l的倾斜角为( )
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
【答案】A
【解析】由直线l的方程为x＋3y－1＝0可得直线l的斜率为k＝－，设直线l的倾斜角为α(0°≤α<180°)，则tan
α＝－，所以α＝150°.故选A.
【变式训练1-1】、（陕西省渭南一中2019届模拟）已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为__________________．
【答案】4x－3y－4＝0
【解析】由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，
因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tan
α＝，
所以直线l的斜率k＝tan
2α＝＝＝，
所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，即4x－3y－4＝0.
【变式训练1-2】、（2020·鸡西市一中高二期中）过点的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是（
）．
A．
B．
C．或
D．
【答案】D
【解析】当时，直线的倾斜角为，满足题意；当时，直线的斜率为或，所以或，所以或.综合得实数的取值范围是.故选：D.
知识点二
直线的点斜式方程与斜截式方程
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y1＝k(x－x1)
不能表示与x轴垂直的直线
斜截式
y＝kx＋b
不能表示与x轴垂直的直线
两点式
＝
不能表示与坐标轴垂直的直线
截距式
＋＝1
不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
适合所有的直线
例2、已知点和直线l：.求：
（1）过点A且与直线l平行的直线方程；
（2）过点A且与直线l垂直的直线方程.
【解析】因为直线l：，所以该直线的斜率.
（1）过点且与直线l平行的直线方程为.
（2）过点且与直线l垂直的直线方程为.
【变式训练2-1】、（山西省吕梁一中2019届模拟）l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是____________________．
【答案】x＋2y－3＝0
【解析】当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以当l1，l2间的距离最大时，直线l1的斜率为k＝－，此时，直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
知识点三
直线的两点式方程与截距式方程
例3．已知直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程．
【解析】设直线的方程为，则，①
又直线过点，∴，②由①②得或.
∴直线的方程为或，即或．
【变式训练3-1】、（2020全国高二课时练）根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式：
(1)斜率是，经过点A(8，－2)；
(2)经过点B(－2,0)，且与x轴垂直；
(3)斜率为－4，在y轴上的截距为7；
(4)经过点A(－1,8)，B(4，－2)．
(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；
(6)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.
【解析】
(1)由点斜式，得y＋2＝
(x－8)，化简，得x－3y－8－6＝0.
(2)直线方程为x＝－2，即x＋2＝0.
(3)由斜截式，得y＝－4x＋7，化成一般式为4x＋y－7＝0.
(4)由两点式，得＝，化成一般式为2x＋y－6＝0.
(5)由两点式方程得＝，整理得2x＋y－3＝0；
(6)由截距式方程得＋＝1，整理得x＋3y＋3＝0.
知识点四
点到直线的距离与平行线间的距离
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
＝
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝
例4．（湖北省十堰一中2019届期末）已知点M是直线x＋y＝2上的一个动点，且点P(，－1)，则点|PM|的最小值为( )
A.
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】|PM|的最小值即为点P(，－1)到直线x＋y＝2的距离，又＝1，故|PM|的最小值为1.
【变式训练4-1】、（湖南省郴州一中2019届模拟）在平面直角坐标系中，已知点P(－2,2)，直线l：a(x－1)＋b(y＋2)＝0(a，b∈R且不同时为零)，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是________．
【答案】[0,5]
【解析】易知直线l经过定点(1，－2)，则点P到直线l的最大距离为＝5，最小距离为0，所以d的取值范围是[0,5]．
【变式训练4-2】、(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos
θ，sin
θ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】易知d＝＝＝＝
(其中cos
φ＝，sin
φ＝)，因为－1≤sin(θ－φ)≤1，所以≤d≤，＝1＋，所以当m＝0时，d取得最大值3，故选C。
【变式训练4-3】、若直线：与直线：平行，则与的距离为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由两直线平行的等价条件可得，在直线：
上取点，由于点到直线：的距离即为两平行线之间的距离，所以应选B.
知识点五
直线与直线的平行与垂直
若两条直线的方程是用一般式给出的,设直线的方程分别为,，
则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下：
（1）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且.
即,且或.
（2）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，或.即
（3）平行直线系方程
把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为
(其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.
（4）垂直直线系方程
一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为
(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.
例5．（江苏省盐城一中2019届期末）若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于( )
A．1
B．－
C．－
D．－2
【答案】D
【解析】由a×1＋2×1＝0得a＝－2.故选D.
【变式训练5-1】、（一中2019届期末）已知点A(1，－2)，B(m,2)，若线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值为( )
A．－2
B．－7
C．3
D．1
【答案】C
【解析】因为A(1，－2)和B(m,2)的中点在直线x＋2y－2＝0上，所以＋2×0－2＝0，所以m＝3.
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