中小学教育资源及组卷应用平台
专题05
求圆锥曲线的离心率与离心率的范围问题（知识点串讲）
知识网络
重难点突破
知识点一
借助平面几何图形中的不等关系
根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值
等得到不等关系,然后将这些量结合曲线的几何性质用进行表示,进而得到不等式,从而确定离心率
的范围.
例1、已知两定点和,动点在直线上移动,椭圆以为焦点且经过点,则椭圆的离心率的最大值为（
）
A．
B．
C.
D．
【答案】A
【解析】关于直线的对称点为,连接交直线于点,则椭圆的长轴长的最小值为,所以椭圆的离心率的最大值为,故选A.
【点评】求解本题的关键是利用对称性求距离的最小值
【变式训练1-1】、设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为（
）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
∴，，
又点在圆上，，即．
，故选A．
【变式训练1-2】、（2020届广西柳州市高三第一次模拟）已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为，若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】抛物线的焦点为，
双曲线的右顶点为，
在的渐近线上存在点，使得，
不妨设渐近线方程为，
则以为直径的圆与渐近线有公共点，
即的中点到直线的距离，
即
.
故选B。
知识点二
借助题目中的给出的不等式关系
根据试题本身给出的不等条件,如已知某些量的范围,存在点或直线使方程成立,的范围等,进一步得到离心率的不等关系式,从而求解.
例2．已知平行四边形内接于椭圆，且，
斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意，
关于原点对称，设，
，
，故选A.
【变式训练2-1】、若，则双曲线的离心率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得，∵，∴，则，故选C．
【变式训练2-2】、（2020届湖南省衡阳市高三一模）已知，分别是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点，若，则该双曲线离心率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】不妨设过点与双曲线的一条渐进线平行的直线方程为，
与另一条渐近线的交点为，
由是，
即有，又因为，
故选D。
知识点三
借助函数的值域
根据题设条件,如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式,通过确定函数的定义域后,利用函数求值域的方法求解离心率的范围.
例3、已知二次曲线,则当时,该曲线的离心率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由当时,二次曲线为双曲线,双曲线即为,且,则,即有,故选C.
【变式训练3-1】、已知，是双曲线：的左、右焦点，点在上，与轴垂直，，则的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】设，将代入双曲线方程，得，化简得，
因为，所以，所
以，所以，故选A．
【变式训练3-2】、已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为
．
【答案】2
【思路导引】根据双曲线的几何性质可知，，，即可根据斜率列出等式求解即可．
【解析】依题可得，，而，，即，变形得，化简可得，，解得或（舍去）．故答案为：．
知识点四
借助椭圆或双曲线的自身性质求范围
在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质,如椭圆中,,P是椭圆上任意一点,则等.
例4、椭圆的左、右顶点分别是，左、右焦点分别是．若
成等比数列，则此椭圆的离心率为_________．
【答案】【解析】由椭圆的性质可知：，，．又已知，，成等比数列，故，即，
则．故．即椭圆的离心率为．
【变式训练4-1】、已知是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，等腰三角形，，则的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】试题分析：先根据条件得，再利用正弦定理得关系，即得离心率．
试题解析：因为为等腰三角形，，
由斜率为得，，由正弦定理得，故选D．
【变式训练4-2】、如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，=60°．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）已知△的面积为40，求a，
b
的值．
【解析】（Ⅰ）
（Ⅱ）设；则，在中，
，
面积．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题05
求圆锥曲线的离心率与离心率的范围问题（知识点串讲）
知识网络
重难点突破
知识点一
借助平面几何图形中的不等关系
根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值
等得到不等关系,然后将这些量结合曲线的几何性质用进行表示,进而得到不等式,从而确定离心率
的范围.
例1、已知两定点和,动点在直线上移动,椭圆以为焦点且经过点,则椭圆的离心率的最大值为（
）
A．
B．
C.
D．
【变式训练1-1】、设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为（
）
A．
B．
C．2
D．
【变式训练1-2】、（2020届广西柳州市高三第一次模拟）已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为，若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是（
）．
A．
B．
C．
D．
知识点二
借助题目中的给出的不等式关系
根据试题本身给出的不等条件,如已知某些量的范围,存在点或直线使方程成立,的范围等,进一步得到离心率的不等关系式,从而求解.
例2．已知平行四边形内接于椭圆，且，
斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【变式训练2-1】、若，则双曲线的离心率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2】、（2020届湖南省衡阳市高三一模）已知，分别是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点，若，则该双曲线离心率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
知识点三
借助函数的值域
根据题设条件,如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式,通过确定函数的定义域后,利用函数求值域的方法求解离心率的范围.
例3、已知二次曲线,则当时,该曲线的离心率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-1】、已知，是双曲线：的左、右焦点，点在上，与轴垂直，，则的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．2
【变式训练3-2】、已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为
．
知识点四
借助椭圆或双曲线的自身性质求范围
在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质,如椭圆中,,P是椭圆上任意一点,则等.
例4、椭圆的左、右顶点分别是，左、右焦点分别是．若
成等比数列，则此椭圆的离心率为_________．
【变式训练4-1】、已知是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，等腰三角形，，则的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-2】、如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，=60°．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）已知△的面积为40，求a，
b
的值．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
