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专题06
直线与圆锥曲线的综合问题（知识点串讲）
知识网络
重难点突破
知识点一
直线与椭圆的位置关系
第一步：代入消元，联立
化简：
第二步：计算判别式
可直接利用结论：（范围、最值问题）
第三步：根与系数关系表达式
，
第四步：利用
，计算
第五步：利用，计算
第六步：利用，，计算弦中点
第七步：利用,计算弦长和的面积
进而计算原点到直线的距离
第八步:利用,，计算
第九步：利用,计算
例1、已知椭圆，直线：，直线与椭圆的位置关系是（
）
相离
B．相交
C．相切
D．不确定
例2、已知是椭圆的左右焦点，是直线上一点，若的最小值是，则实数__________.
例3、椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线AB的斜率为，求△ABF2的面积．
例4、已知椭圆C：＋y2＝1(a＞0)，过椭圆C的右顶点和上顶点的直线与圆x2＋y2＝相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝2，证明：直线AB过定点．
知识点二
直线与双曲线的位置关系
第一步：代入消元，联立
化简：
第二步：计算判别式
可直接利用结论：（范围、最值问题）
第三步：根与系数关系表达式
，
第四步：利用
，计算
第五步：利用，计算
第六步：利用，，计算弦中点
第七步：利用,计算弦长和的面积
进而计算原点到直线的距离，
例5、已知直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则k的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
例6、已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与圆
相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为______.
例7、已知双曲线
（1）求直线被双曲线截得的弦长；
（2）过点能否作一条直线与双曲线交于两点,且点是线段的中点？
知识点三
直线与抛物线的位置关系
第一步：代入消元，联立
化简：
第二步：根与系数关系表达式
，
第三步：一些小结论
点在抛物线的准线上，过点作抛物线的两条切线，切点分别为
结论1：的斜率为结论2：若的中点为，则
结论3：
结论4：过焦点
结论5：
例8、已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
例9、过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（
）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
例10、设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
例11、已知动圆过定点(2,0)，且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为H，点E(m,0)(m＞0)为一个定点，过点E作斜率分别为k1，k2的两条直线交H于点A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点．
(1)求轨迹H的方程；
(2)若m＝1，且过点E的两条直线相互垂直，求△EMN的面积的最小值．
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专题06
直线与圆锥曲线的综合问题（知识点串讲）
知识网络
重难点突破
知识点一
直线与椭圆的位置关系
第一步：代入消元，联立
化简：
第二步：计算判别式
可直接利用结论：（范围、最值问题）
第三步：根与系数关系表达式
，
第四步：利用
，计算
第五步：利用，计算
第六步：利用，，计算弦中点
第七步：利用,计算弦长和的面积
进而计算原点到直线的距离
第八步:利用,，计算
第九步：利用,计算
例1、已知椭圆，直线：，直线与椭圆的位置关系是（
）
相离
B．相交
C．相切
D．不确定
【解析】直线：化为，
可得直线恒过点，由可知该点在椭圆内部.所以直线与椭圆相交，故选：B.
例2、已知是椭圆的左右焦点，是直线上一点，若的最小值是，则实数__________.
【解析】依题意椭圆，则，，又因为，是直线上一点，若的最小值是，则此直线与椭圆相切.由消去并化简得，判别式，解得.
故答案为：.
例3、椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线AB的斜率为，求△ABF2的面积．
【解析】(1)由题意知，4a＝8，所以a＝2，又e＝，所以＝，c＝1，
所以b2＝22－1＝3，所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)设直线AB的方程为y＝(x＋1)，由得5x2＋8x＝0，
解得x1＝0，x2＝－，所以y1＝，y2＝－.
所以S△ABF2＝c·|y1－y2|＝1×＝.
例4、已知椭圆C：＋y2＝1(a＞0)，过椭圆C的右顶点和上顶点的直线与圆x2＋y2＝相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝2，证明：直线AB过定点．
【解析】(1)∵直线过点(a，0)和(0，1)，∴直线的方程为x＋ay－a＝0，∵直线与圆x2＋y2＝相切，
∴＝，解得a2＝2，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，设A(x0，y0)，则B(x0，－y0)，由k1＋k2＝2
得＋＝2，解得x0＝－1.
当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝kx＋m(m≠1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由?(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，得x1＋x2＝－，x1·x2＝，
由k1＋k2＝2?＋＝2?＝2，
即(2－2k)x1x2＝(m－1)(x1＋x2)?(2－2k)(2m2－2)＝(m－1)(－4km)，
即(1－k)(m2－1)＝－km(m－1)，由m≠1得(1－k)(m＋1)＝－km?k＝m＋1，
即y＝kx＋m＝(m＋1)x＋m?m(x＋1)＝y－x，
故直线AB过定点(－1，－1)．综上，直线AB过定点(－1，－1)．
知识点二
直线与双曲线的位置关系
第一步：代入消元，联立
化简：
第二步：计算判别式
可直接利用结论：（范围、最值问题）
第三步：根与系数关系表达式
，
第四步：利用
，计算
第五步：利用，计算
第六步：利用，，计算弦中点
第七步：利用,计算弦长和的面积
进而计算原点到直线的距离，
例5、已知直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则k的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】双曲线渐近线为，直线过定点.画出双曲线的图像以及双曲线渐近线的图像如下图所示，由图可知，要使直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则，结合选项可知只有D选项符合.由消去得，化简得，因为直线与双曲线的右支相交于不同的两点，所以，解得.
故选：D.
例6、已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与圆
相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为______.
【解析】
如图，由题可知，，则，
又，，，
又，
作，可得，，则
在，，即，
又，化简可得，同除以，得
解得，双曲线的离心率为
例7、已知双曲线
（1）求直线被双曲线截得的弦长；
（2）过点能否作一条直线与双曲线交于两点,且点是线段的中点？
【解析】（1）设直线与的交点
联立方程组，化简得：，
解得，所以，
所以弦长
（2）假设存在直线与双曲线交于两点,且点是线段的中点.
设,,易知,由
两式相减得,
又,，所以,所以,
故直线的方程为,即.
由,消去得,
因为,方程无解,
故不存在一条直线与双曲线交于两点,且点是线段的中点.
知识点三
直线与抛物线的位置关系
第一步：代入消元，联立
化简：
第二步：根与系数关系表达式
，
第三步：一些小结论
点在抛物线的准线上，过点作抛物线的两条切线，切点分别为
结论1：的斜率为结论2：若的中点为，则
结论3：
结论4：过焦点
结论5：
例8、已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】据已知可得直线的方程为，
联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得，
由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，
故有，解得或.
例9、过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（
）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
【解析】画出图像如下图所示，由图可知，这两条直线与抛物线只有一个公共点，另外过点还可以作出一条与抛物线相切的直线，故符合题意的直线有条，故选C.
例10、设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
【解析】(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝1或k＝－1(舍去)．[来源:学
科
网]因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，
即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
例11、已知动圆过定点(2,0)，且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为H，点E(m,0)(m＞0)为一个定点，过点E作斜率分别为k1，k2的两条直线交H于点A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点．
(1)求轨迹H的方程；
(2)若m＝1，且过点E的两条直线相互垂直，求△EMN的面积的最小值．
【解析】(1)设动圆圆心的坐标为(x，y)，由题意可以得到＝，化简得y2＝4x，所以动圆圆心的轨迹H的方程为y2＝4x.
(2)当m＝1时，E为抛物线y2＝4x的焦点，因为k1k2＝－1，所以AB⊥CD.设直线AB的方程为y＝k1(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由，得k1y2－4y－4k1＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4，x1＋x2＝＋2＝＋2.
因为M，所以M.同理，可得N(2k＋1，－2k1)．
所以S△EMN＝|EM|·|EN|＝·＝2≥2＝4，当且仅当k＝，即k1＝±1时，△EMN的面积取最小值4.
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