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专题05
指数型与对数型复合函数的性质（知识点串讲）
知识网络
重难点突破
知识点一
复合函数简单的单调性与奇偶性问题
例1．（1）函数的单调递减区间是（
）
A．
B．
C．
D．
（2）已知是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的零点.
【变式训练1-1】、已知指数函数的图象经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求x的取值范围．
知识点二
复合函数的单调性
例2．（1）函数的单调递增区间是(
)
A．
B．
C．
D．
（2）函数为增函数的区间是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-1】、已知函数.
（1）当时，求f(x)的值域和单调减区间；
（2）若f(x)存在单调递增区间，求a的取值范围．
【变式训练2-2】、设，
（1）求函数的定义域；
（2）判断f(x)的单调性，并根据函数单调性的定义证明；
（3）解关于x的不等式；
知识点三
复合函数的最大值与最小值
例3．（1）函数的定义域为______，最小值为______.
（2）已知函数，则该函数的最大值为__________，最小值为_________.
（3）函数的单调增区间是________；的值域是________．
【变式训练3-1】、已知f(x)＝log2(1－x)＋log2(x＋3)，求f(x)的定义域、值城．
【变式训练3-2】、设,且.
（1）求的值及的定义域；
（2）求在区间上的最大值．
知识点四
最值问题（含有参数）
例4．）函数在上为减函数，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-1】、已知函数（，且）在上的最大值为2.
（1）求的值；
（2）若，求使得成立的的取值范围.
【变式训练4-2】、若函数在上是单调增函数，则的取值范围是____________．
【变式训练4-3】、已知函数
（）.
（1）若，求函数的值域；
（2）若方程有解，求实数的取值范围.
知识点五
恒成立问题
例5．已知函数，若它的定义域为，则a_________，若它的值域为，则a__________．
【变式训练5-1】、已知函数.
(1)当时,求；
(2)求解关于的不等式；
(3)若恒成立,求实数的取值范围.
【变式训练5-2】、已知函数.
(1)当时,求；
(2)求解关于的不等式；
(3)若恒成立,求实数的取值范围.
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专题05
指数型与对数型复合函数的性质（知识点串讲）
知识网络
重难点突破
知识点一
复合函数简单的单调性与奇偶性问题
例1．（1）函数的单调递减区间是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为为增函数，根据复合函数同增异减知，只需求的减区间，因此当时，函数是减函数，故选A．
（2）已知是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的零点.
【答案】
（1）；（2），，.
【解析】（1）∵时，.
则当时，，所以，
因为为奇函数，所以，
所以，
故的解析式为.
（2）由，得或，
解得或或，所以的零点为，，.
【变式训练1-1】、已知指数函数的图象经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求x的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）由题意设（且），
∴的图象经过点
∵，解得，
∴．[来源:
:（2）学§科由（1）的函数是增函数，
所以，解得或
知识点二
复合函数的单调性
例2．（1）函数的单调递增区间是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由，得到，令，则在上递减，而在上递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到在上递增，
故选：A
（2）函数为增函数的区间是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
∵是减函数，在上递增，在上递减，
∴函数的增区间是．
故选：C．
复合函数的单调性（在函数定义域内）：
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
【变式训练2-1】、已知函数.
（1）当时，求f(x)的值域和单调减区间；
（2）若f(x)存在单调递增区间，求a的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）当时，，
设，
由，得，得，即函数的定义域为，
此时，
则，即函数的值域为，
要求的单调减区间，等价为求的单调递减区间，
的单调递减区间为，
的单调递减区间为．
（2）若存在单调递增区间，
则当，则函数存在单调递增区间即可，则判别式得或舍，
当，则函数存在单调递减区间即可，则判别式得或，此时不成立，
综上实数的取值范围是．
【变式训练2-2】、设，
（1）求函数的定义域；
（2）判断f(x)的单调性，并根据函数单调性的定义证明；
（3）解关于x的不等式；
【答案】（1）见解析；（2）或.
【解析】（1）因为函数，所以且，解得，所以函数的定义域为；
（2）任取，且，
则，
因为，且，所以，
所以，
所以，即，所以函数为单调递减函数.
（3）因为函数，
令，则，
则不等式，即，
所以，解得或.
知识点三
复合函数的最大值与最小值
例3．（1）函数的定义域为______，最小值为______.
【答案】
【解析】
由题意得，解得，所以函数的定义域为，
令，所以在递减，且.
因此函数的值域为，最小值为.故答案为：；
（2）已知函数，则该函数的最大值为__________，最小值为_________.
【答案】2
【解析】
函数在上单调递增，在上单调递减，且，，
函数单调递增，，即函数的最大值为2，最小值为.故答案为：2；
（3）函数的单调增区间是________；的值域是________．
【答案】
【解析】
函数的定义域满足，得
所以函数的定义域为.
设，由是单调递减函数.
由复合函数单调性的性质，即求的减区间.
由二次函数的性质可得在上单调递减.
又当时，
由是单调递减，所以
所以的值域是
【变式训练3-1】、已知f(x)＝log2(1－x)＋log2(x＋3)，求f(x)的定义域、值城．
【答案】定义域为，值域为.
【解析】
由函数有意义得，解得，
所以函数的定义域为.
因为
，，
又因为在上递增，在上递减，所以，
所以.
所以函数的值域为.
【变式训练3-2】、设,且.
（1）求的值及的定义域；
（2）求在区间上的最大值．
【答案】（1），定义域为；（2）2
【解析】
（1）,解得.
故,
则,解得,
故的定义域为.
（2）函数,定义域为,,
由函数在上单调递增,函数在上单调递增,在上单调递减,可得函数在上单调递增,在上单调递减.
故在区间上的最大值为
知识点四
最值问题（含有参数）
例4．）函数在上为减函数，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
试题分析：若函数在上为减函数,则，计算得出，所以B选项是正确的.
点睛：复合函数的单调性需遵循原则“同增异减”，即内层函数和外层函数单调性相异时，符合函数才会单减，作为对数的底，所以有，所以内层函数单减，所以外层函数必须单增，故，还需保证真数在定义域上恒大与，只需保证正数部分最小值大于即可.
【变式训练4-1】、已知函数（，且）在上的最大值为2.
（1）求的值；
（2）若，求使得成立的的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
（1）由题意，当时，函数在上单调递增，
因此，解得；
当时，函数在上单调递减，
因此，解得.
综上可知：或.
（2）由不等式，即，
又，根据对数函数的性质，可得，
即，解得.
【变式训练4-2】、若函数在上是单调增函数，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
由题意得，设，根据对数函数及复合函数单调性可知：在上是单调增函数，且，所以，所以．
【变式训练4-3】、已知函数
（）.
（1）若，求函数的值域；
（2）若方程有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1），（）
设，得，
（1）当时，，
所，，
所以函数的值域为；
（2）方程有解等价于函数在上有零点，
也即在上有解，
而函数在上单调递减，
故函数在上的值域为，
所以实数的取值范围为.
知识点五
恒成立问题
例5．已知函数，若它的定义域为，则a_________，若它的值域为，则a__________．
【答案】
【解析】
函数的定义域为，则恒成立，故，
即；
函数为，则是函数值域的子集，
则，即.
故答案为：；.
【变式训练5-1】、已知函数.
(1)当时,求；
(2)求解关于的不等式；
(3)若恒成立,求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】
（1）当时，
（2）由得：
或
当时，解不等式可得：或
当时，解不等式可得：或
综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为
（3）由得：
或
①当时，，
或，解得：
②当时，，
或，解得：
综上所述：的取值范围为
【变式训练5-2】、已知函数.
(1)当时,求；
(2)求解关于的不等式；
(3)若恒成立,求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】
（1）当时，
（2）由得：
或
当时，解不等式可得：或
当时，解不等式可得：或
综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为
（3）由得：
或
①当时，，
或，解得：
②当时，，
或，解得：
综上所述：的取值范围为
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